mmp 7 1 spherical coordinates separation of variables ode series solution dqlu cos shu多维空间本征值问题

PAGEPAGE2/ 1122334455PAGEPAGE3/ut−a2(uxx+uyy)=(0<x<L,0<y<W,t>u|t=0=ϕ(x, (0≤x≤L,0≤y≤Wux|x=0=ux|x=L=0,uy|y=0=uy|y=W=0,

(0≤y≤W,t≥(0≤x≤L,t≥u(x,y,t)=X(x)Y(y)T代入泛定方程,T X′′ Y

= (1)此等式成立,意味着式中各项均应为常数,X′′+αX=0,Y′′+βY=0,T′+λa2T=0,α,β,λ是引进的待定参数,λ=α+β.

(2)(3)(4)(5)iPDE,ii−1个本征值参数,i−1本征值问题.iODE的解依赖于前i−1个本征值.PAGEPAGE5/PAGEPAGE8/utt−a2∇2u=u(xt)=v(x)T(t)代入泛定方程,=T ∇2=a2T

2 (k≥k为待定参数.ω=ak.{T(t)

Acos(ωt)+Bsin(ωt),A+Bt,

(k̸=0)(k=∇2v+k2v=

(6)(扩散)ut−a2∇2u=u(xt)=v(x)T(t)代入泛定方程,得T′ ∇2va2T=

=−kT(t)=Cexp(−k2a2t),∇2v+k2v=看到Helmholtz方程中必然有k2 请阅读§9.1(185–186页Lace算utt−a2∇2u=0,ut−a2∇2u=(分离变量)之后,Helmholtz2v+k2v=0.Lace方程∇2u=0,Poisson2u= ce算子∇2接着,给出Lace算子∇2在球坐标系、 §9.1(181–190页PAGEPAGE9/(r,θφ),θ∈[0π],φ∈[0直角坐标系:x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ.dxdydz=r2sinθdrdθdφ.分离变量法中,m:m2,ll系).

mx)球坐标系),

mx)k2:Helmholtz方程中的本征值参数,λ=k2i:级数的指标PAGEPAGE10/PAGEPAGE11/球坐标系(r,θ,φ)中的 ce方 ∇2u=∇·∇u=1r2

r2∂r

∂2u+r2sin

+r2sin2 =EulerODE(Rλ=l(l+1))u(EulerODE(Rλ=l(l+1))rr2R′′+2rR′−l(l+1)R=(7)R(r)=Crl+ rl+1

(8)(( )+1∂2sin2 +l(l+1)S=0.S(θφ)=Θ(θ)Φ(φ)代入球函数方程,ΦΦ′′+m2Φ=(9)Φ(φ)=Acos(mφ)+B(m=0,1,2,3···). 特别地,m=0对应于轴对称问题,其中以球坐标ll(associated)Legendre[[(1−x2) −+l(l+1)]1−2Θ=Θ=Θ(x),x=coslLegendrem=0(轴对称问题),llLegendre(1x22–+l(l+1)Θ= 通常记y(1x22–+l(l+1)Θ=球坐标系(r,θ,φ)下Lace方程的本征函数u(r,θ,φ)=R(r)S(θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)R(r)r2R′′+2rR′−l(l+1)R=0R(r)=Crl+ rl+1m=0:lLegendreLegendrePl(cosθ)(轴对称问题);m̸=0:lLegendrelΦ′′+m2Φ=0Φ(φ)=Acos(mφ)+B特别地,m=0:Φ(φ)=A(轴对称问题).PAGEPAGE15/PAGEPAGE16/♢PDEODE.当这些方程是常系数线性ODE或可通过变量代换化为常系数线性ODE时,通解可用初等函数表示.♣但是,ODE是变系数线性方程,甚至是非线性的.他们的解常常是非初等函数,求他们的幂级数解是经常采用的有效方法.[3]♠显然,方程的解是由方程的系数决定的.方程系数的解析性决定了方程解的解析性,或者说决(Taylor级数,Laurent级数,Frobenius级数,...).请阅读§9.2(190–195页复变函数w(z)的线性二阶常微分方程初值 w′′+p(z)w′+q(z)w=w(z0)= w′(z0)= 其中z0为选定的点,C0C1为复常数.z0的邻域中,z0称为 (ordinarypoint):p(z),q(z)是解析的 (singularpoint):z0p(z),q(z)的奇点;(regularsingularpoint):z0p(z)的至多一级极点,是q(z)的至多二级极点.(irregularsingularpoint)【回顾】复变函数的奇点 级数解法:z0的邻域上,把待求的解表为系数待定的级数,代入方程以逐个确定系数.代入 将级数解代入方程合并同幂项归零 令合并后的各系数分别为零递推 找出系数之间的递推关系确定:利用已给的初值来确定各个系数注意 级数解的收敛性及收敛范围p(z),q(z的解析性质,决定了方程1919 【定理】(Cauchy)线性二阶常微分方程(11)在|z−z0|<R上存在唯一的解析解,并可表示成此邻域上的Taylor级数:w(z)

ai(z−z0)i, a0a1与初值条件一致,a2···ai··有待确定PAGEPAGE20/PAGEPAGE21/x0=0lLegendre(1−x2)y′′−2xy′+l(l+1)y= [初源:(r,θ,φ)Laceθ方向分离出的常微分方程,y(x)=y(cosθ)且(φ无关,m=0)].x0=0,p(x)=−2x/(1−x2),q(x)=l(l+1)/(1−x2)x0均为有限值,必然x0=0点为解析.因此,x0=0是方程的常点.根据常点∑域上解的定理y(x)

aixi.最后,lLegendrey(x)=a0y0(x)+a1y1(x),y0=1y1=x

i=1

1{

=11

[2(i−j)−l](l+2j− x2i, [2(i−j)+1−l](l+2j)

x2i+1.i=1

(2i+

=1a0a1为任意常数.注意到|x|=|cosθ|<1时,y0(x)y1(x)都收敛y0(x)y1(x)x=1处发散不少定解问题要求u在一切方向保持有限.而l阶Legendre方程在x=±1均为有限的级 PAGEPAGE25/l还是待定状态,的值.当l取整数时,在某些情况下,y0(x)和y1(x)有可能从级数解(无限项叠加) 式(有限项叠加). 当l为偶数即l=2n时,y0(x)只能到x2n项为止,n为正整数.因为从x2(n+1) 起[此时i=n+1&j=1,i=n+2&j=2,···2(i−j)−l=系数为零.y0(x)2n次多项式,并且只含偶次项.在一般解中,我们可选取a1=0,再选取适当的a0得到一个特解,称为l(次)Legendre♠ll=2n+1时,y1(x)项为止,n为零或正整数.x2n+3[i=n+1&j=1,i=n+2&j=2,···2(i j)+1 l=0]系数为零.y1(x)2n+1次多项式,并且只含奇次项.在一般解中,我们可选a0=0,再选取适当的a1得到一个特解,称为l(次)Legendre多项式x=1θ=0,π,即球坐标的极轴方向(北极)及其反方向(南极).lLegendre方程,“[−1,+1]的x=1保持有限”竟然是个严重的限制.在分离变量时所引入的待定本征参数λ=l(l+1)中的l被限制于零和正整数.通常通常,“[−1,+1]x=1有限”lLegendre方程的自然边界条件题 l(l+1),(l为零或正整数),本征函数:l阶Legendre多项式Pl(x).PAGEP