九年级上数学《2412-垂直于弦的直径》课件

回顾圆1、填空：（1）圆的定义是什么？根据圆的定义，“圆”指的是“

”，是

线，而不是“圆面”。（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的

，半径决定圆的

，二者缺一不可。（3）同一个圆的半径

相等。圆周曲位置大小处处2.回忆弦的概念，过圆上一固定点可以作圆的最长弦有()条.A.1B.2C.3D.无数条A3.回忆弧的概念问题情境你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m。你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？新课导入实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？活动一圆是轴对称图形．任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．发现OABCDE

是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴。大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．下图是轴对称图形吗？活动二为什么？

你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE线段：

AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒活动二为什么？大胆猜想连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.验证猜想叠合法DOABEC看一看B.OCAEDO.CAEBDAE≠BEAE＝BECD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE老师提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.知识要点垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化：

1．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm．练习：2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.练习：

你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?实践应用37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵∴解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒

弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．cm练习：

在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．

求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO随堂练习AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直径过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？这五条进行排列组合，会出现多少个命题？①直径过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒（1）如何证明？探究：·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.证明：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求证：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？①直径过圆心④平分弦所对优弧③平分弦②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直径过圆心⑤平分弦所对的劣弧③平分弦④平分弦所对优弧②垂直于弦垂径定理的推论1（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦③平分弦①直径过圆心④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦④平分弦所对优弧①直径过圆心③平分弦⑤平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心③平分弦④平分弦所对优弧（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．③平分弦④平分弦所对优弧①直径过圆心②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧

．③平分弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦④平分弦所对优弧④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论结论CDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求AB的中点．⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线CD，交AB于点E．⌒小练习ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分点．⌒⌒作法：1．连结AB．3．连结AC．2．作AB的垂直平分线，交AB于点E．⌒4．作AC的垂直平分线，交AC于点F．⌒5．点G同理．点D、C、E就是AB的四等分点．⌒ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×CABO你能确定AB的圆心吗？⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线，交AB于点C．⌒3．作AC、BC的垂直平分线．4．三条垂直平分线交于一点O．点O就是AB的圆心．⌒你能破镜重圆吗？ABCmnO作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．已知：⊙O中弦AB∥CD．求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB．

∵AB∥CD，∴MN⊥CD．则AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．MCDABON你能用一句话概括一下吗？垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．ABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：OOABCD垂径定理三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．课堂小结1．圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．O

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2．垂径定理DOABEC条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．3．垂径定理的推论

经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．4．解决有关弦的问题

1．判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧．（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧．（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦．（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．