二面角的定义课件

二面角二面角(一)二面角

1.半平面的定义

一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.(一)二面角

1.半平面的定义一个平面内的一

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.一、二面角的定义二面角二面角2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,二面角二、二面角的平面角ABP

l1、定义二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:[0,180]二面角的大小用它的平面角的大小来度量

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1二面角二、二面角的平面角ABPl1、定义二面角的平面2、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角2、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半ABPMNCDO解：连结CD，可得：设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60º

∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过

P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。∠COD是二面角的平面角①②③一“作”二“证”三“计算”ABPMNCDO解：连结CD，可得：设PO3、讲解例题：已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC1.定义法：D过A作AD⊥PC于D，E过D作DE⊥PC于D，交PB于E，连结AE，则∠ADE就是此二面角的平面角。二面角的求法3、讲解例题：已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=A1’.定义法：则∠BDE就是此二面角的平面角。连结BE，已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC过B作BD⊥PC于D，D过D作DE⊥PC于D，交AC于E，E二面角的求法1’.定义法：则∠BDE就是此二面角的平面角。连结BE，已知已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC2’.三垂线定理法：D过B作BD⊥PC于D，则∠BDE就是此二面角的平面角。连结DE，过B作BE⊥AC于E，E二面角的求法∵PA⊥面ABC，∴面PAC⊥面ABC，∴BE⊥面PAC，∴ED⊥PC，∵△ABC为正△，∴BE=在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=∴tg∠BDE=∴∠BDE=arctg已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC2’.三垂线定理法：连结AD，则∠ADO就是此二面角的平面角。D过O作OD⊥PC于D，O过A作AO⊥面BPC于O，F连结PO并延长交BC于F，二面角的求法已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。3.射影面积法：则△POC就是△PAC在面PBC上的射影。PABCO过A作AO⊥面BPC于O，二面角的求法F连结PO并延长交BC于F，连结OC，已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。PABC3’射影面积法：则△PDC就是△PBC在面PAC内的射影。过B作BD⊥AC于D，D连结PD，二面角的求法已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。二面角的求法几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个ABCD

例2.

A为二面角－CD－的棱CD上一点，AB在平面内且与棱CD成45º角，又AB与平面成30º，求二面角－CD－的大小。CO解：作BC于C，连结AC

过C作COCD于O，连结OB由三垂线定理可得：BOCD∠BOC是二面角的平面角则∴所求二面角的大小为45º设AO=a在RtAOB中，BO=a,AB=a

在RtACB中，BAC=30º,

AB=a,BC=a

在RtBCO中，sin∠BOC=ABCD例2.A为二面角－CD－的棱C解：ABP

lO二面角例3．如图P为二面角内一点，PA⊥,PB⊥,

且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

设过PA、PB的平面PAB

与棱l交于O点∵PA⊥∴PA⊥l

∵PB⊥

∴PB⊥l

∴l

⊥平面PAB∴∠AOB为二面角的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60º

∴∠AOB=120º

∴所求二面角的度数为120º解：ABPlO二面角例3．如图P为二面角

如图，正方体

中，其棱长为，求二面角的正切值。

例：如图，正方体

如图，正方体

中，棱长为，求面和面所成二面角的大小。

变题1：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：投影如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：投影如图，正方体

如图，正方体

中，其棱长为，E为的中点，求平面与面所成二面角的正切值。

变题2：三垂线如图，正方体PC练习1：

如图，在平面角为的二面角内有一点P，P到的距离分别为PC=2cmPD=3cm则垂足的连线CD=，P到棱的距离为FDPC练习1：如图，在平面角为的二面角练习2：

在直角坐标系中，设A、B沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，则的值为练习2：练习2：

在直角坐标系中，设A、B沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，则的值为练习2：练习2：

在直角坐标系中，设A、B沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，则的值为练习2：练习2：

在直角坐标系中，设A、B沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，则的值为练习2：练习2：

在直角坐标系中，设A、B沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，则的值为练习2：练习2：

在直角坐标系中，设A、B沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，则的值为练习2：三、课堂练习：1、已知正方形ABCD中，E为AB中点，沿DE、EC把正方形折成四面体，此时A、B重合为点P，求面PCD与面ECD所成的二面角的大小。ECDP(A,B)EABCD二面角的求法三、课堂练习：1、已知正方形ABCD中，E为AB中点，沿DE1、如图，AB是圆的直径