吉林省吉林市第五十五中学高一数学下学期期末考试试题

吉林省吉林市第五十五中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．i是虚数单位，复数eq\f(7－i,3＋i)＝()A．2＋i B．2－iC．－2＋i D．－2－i答案：B2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3bA．(－5，－10) B．(－4，－8)C．(－3，－6) D．(－2，－4)答案：B.3.已知一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,则这组数据的下四分位数是()A.47B.49C答案:D4.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等边三角形答案：C.5.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)答案：C6.某高校在2021年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2021届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2021年高考中的平均分和方差分别为()A.661.5,169.5 B.661,187C.661,175 D.660,180答案B7．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°答案：B.8.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,24)答案A9.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下面命题i正确的为()A.α∥β⇒l⊥mB.α⊥β⇒l∥mC.l∥m⇒α⊥βD.l⊥m⇒m与α不相交答案：D10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中不正确的是()eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC一定是等边三角形acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形bcosC＋ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形a2＋b2－c2>0，则△ABC不一定是锐角三角形答案B二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．11．下列说法中正确的是()A．若事件A与事件B互斥，则P(A)＋P(B)＝1B．若事件A与事件B满足P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B为对立事件C．“事件A与事件B互斥”是“事件A与事件B对立”的必要不充分条件D．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】C12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论中正确的是()A．a为单位向量 B．a⊥bC．b∥eq\o(BC,\s\up6(→)) D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))【答案】ACD三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填写在题中横线上)13．如果数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是eq\x\to(x)，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数为______方差分别是_______答案：3eq\x\to(x)＋2和9s214．体积为8的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.答案：12π15．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.答案：116.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝________.答案217．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b答案：718．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________.答案：eq\f(\r(21),7)3四、解答题(本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(12分)已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率[121,123)[123,125)[125,127)[127,129)[129,131]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.答案：解(1)频率分布表如下：分组频数频率[121,123)2[123,125)3[125,127)8[127,129)4[129,131]3合计20(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×eq\f(5,8)＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：eq\x\to(x)＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为eq\x\to(x)＝125.75.20.(12分)如图所示，平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝eq\f(1,3)BC.(1)以a，b为基底表示向量eq\o(AM,\s\up7(―→))与eq\o(HF,\s\up7(―→))；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求eq\o(AM,\s\up7(―→))·eq\o(HF,\s\up7(―→)).答案：解：(1)由已知得eq\o(AM,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(DM,\s\up7(―→))＝eq\f(1,2)a＋b.连接AF(图略)，∵eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BF,\s\up7(―→))＝a＋eq\f(1,3)b，∴eq\o(HF,\s\up7(―→))＝eq\o(HA,\s\up7(―→))＋eq\o(AF,\s\up7(―→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝a－eq\f(1,6)b.(2)由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6，从而eq\o(AM,\s\up7(―→))·eq\o(HF,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(11,12)a·b－eq\f(1,6)|b|2＝eq\f(1,2)×32＋eq\f(11,12)×(－6)－eq\f(1,6)×42＝－eq\f(11,3).21.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=QUOTE,B=A+QUOTE.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.【答案】(1)在△ABC中,由题意知,sinA=QUOTE=QUOTE,又因为B=A+QUOTE,所以sinB=sinQUOTE=cosA=QUOTE,由正弦定理,得b=QUOTE=QUOTE=3QUOTE.(2)由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE⇒c2-4QUOTEc+9=0⇒c=QUOTE或3QUOTE,又因为B=A+QUOTE为钝角,所以b>c,即c=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE.22.(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层随机抽样的方法从A，B，CA，B，C区分别有18,27,18个工厂.(1)求从A，B，C区分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.答案：解(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为eq\f(7,63)＝eq\f(1,9)，所以从A，B，C三个区分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种.随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝eq\f(11,21).23.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=QUOTE.M,N分别为BC和CC1的中点,P为侧棱BB1上的动点.(1)求证:平面APM⊥平面BB1C(2)若P为线段BB1的中点,求证:A1N∥平面APM.【答案】(1)由已知,M为BC中点,且AB=AC,所以AM⊥BC.又因为BB1∥AA1,且AA1⊥底面ABC,所以BB1⊥底面ABC.因为AM⊂底面ABC,所以BB1⊥AM,又BB1∩BC=