华师版九年级数学上册第24章解直角三角形教用课件

24.1测量第24章解直角三角形【学习目标】1．复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法；2．通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会数学建模的方法；3．通过运用相似以及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内容的积极性．

当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．但是如果天气……自主预习有一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？自主探究问题：如下图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴AC∶A1C1＝BC∶B1C1＝500∶1，∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B1C1＝acm，则BC＝500acm＝5am.故旗杆高(1＋5a)m.自主探究仿例1：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．合作探究解：设旗杆的高度为xm，则

，解得x＝12.答：旗杆的高度为12m.仿例2：如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E，点C、E、A在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方，且点D、B、C在同一条直线上，点B、C相距20米，点D、C相距40米，乙楼高BE为15米，求甲楼AD的高．(小明的身高忽略不计)∴AD＝30(米)．合作探究解：由题意知BC＝20，CD＝40，△CBE∽△CDA.答：甲楼AD高30米．∴，如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的度．（精确到0．1米）练一练（1）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．练一练（2）如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距都是10米，在这岸离开岸边16米的A处看对岸，看到对岸两棵树B、C的树干恰好被这岸两棵树D、E的树干遮住，这岸的两棵树D、E之间有一棵树，B、C之间有四棵树，求河C、D的宽。ABCDE到目前为止,你一定掌握了一些测量物体高度的方法。如果在测量旗杆时观察旗杆顶部的视线与水平所成的角度是300，人与旗杆之间的距离是10米，观测时目高是1.5米，你能计算出旗杆的高度吗？1.5米?10米1米?10米

实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？

1．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为(

)A．5.3米B．4.8米C．4.0米D．2.7米B2．垂直于地面的竹杆的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高为____米．2.5随堂练习3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距都是10米，在这岸离开岸边16米的A处看对岸，看到对岸两棵树B、C的树干恰好被这岸两棵树D、E的树干遮住，这岸的两棵树D、E之间有一棵树，B、C之间有四棵树，求河C、D的宽．解：CD＝24米．

1、测量物体高度时一般用到的知识点有哪些？（1）相似三角形（2）解直角三角形2、实际测量时，应先设计方案，选择合理方法和测量工具，尽量减少误差.3、平时的学习中要有转化意识，进行数学建模，灵活运用数学知识解决实际问题.知识梳理24.2直角三角形的性质【学习目标】1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明；2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充；3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心．我们已经知道了直角三角形的：

（1）在直角三角形中，两个锐角_______。

（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（___________________）互余勾股定理知识回顾如图：画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系。D已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。求证：CD=AB自主预习D证明：延长CD至点E，使DE=CD，连AE、BE∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=DB.又∵CD=DE∴四边形ACBE是平行四边形又∵∠ACB=90

°∴四边形ACBE是矩形∴CE=AB

∴CD=CE=ABE归纳：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。利用直角三角形的性质，可以解决某些与直角三角形有关的问题。ABCD例：如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠A﹦30°求证：BC=AB1212作斜边AB上的中线CD，则CD＝AD＝BD＝AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形．∴BC＝BD＝AB.课堂练习1．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边上的中线长是(

)A．13

B．6C．6.5D．无法确定C2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为__

__．30cm²3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，且这条高的长为a，则腰长为__

__．2a24.3.1锐角三角函数【学习目标】1．知道锐角一定，它的三角函数值就随之确定；2．已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四种三角函数值；3．运用相似三角形的判定定理、性质定理理解锐角一定，它的三角函数值就随之确定；4．在学习合作交流中学会与人相处．

操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。1米10米?

你想知道小明怎样算出的吗？情境导入我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.知识回顾如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;

∠M的对边是__________,∠M的邻边_______________;

MNPNPN

MN想一想：∠P的对边、邻边与∠M的对边、邻边有什么关系？自主预习观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3所以＝__________=__.可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的.B2C2AC2B3C3AC3________锐角三角函数定义及三角函数之间的关系任意画Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．能解释一下吗？ABCA'B'C'

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c引出定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？B对边aAC邻边b斜边c自主探究任意画Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，那么与有什么关系．能解释一下吗？ABCA'B'C'

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值．

当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的，我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作cosB，即引出定义：归纳1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦余弦

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？自主探究

在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.

BC

B′C′A′C′AC＝所以如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，问：有什么关系？由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ACBCA′C′B′C′与即ACBCA′C′B′C′＝如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°，

我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.一个角的正切表示定值、比值、正值.归纳想一想对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的吗？自主探究这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sinA、cosA、tanA，即

sinA=cosA=tanA=

分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数.注意：

1.我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.2.三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值只与锐角的大小有关与三角形边长无关.3.sinA、cosA、tanA都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解.4.sinA、cosA、tanA中∠A的角的记号“∠”∠习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿拉伯数字表示的角,角的记号“∠”不能省略.如sin∠1不能写成sin1.1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值(

)A.扩大2倍B.不变

C.缩小D.无法确定B2.如图，sinA的值为()7ACB330°A.B.C.D.C随堂练习如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=，求△ABC的面积.D55CBA解：作BD⊥AC于点D，∵sinA=，∴又∵△ABC为等腰△，BD⊥AC，∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.随堂练习知识梳理在Rt△ABC中=abtanA=定义中应该注意的几个问题:1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA

、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.24.3.3特殊的锐角三角函数值【学习目标】1．掌握特殊锐角的三角函数值；2．通过对特殊锐角三角函数值的探索，逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力；3．通过对锐角三角函数的学习，提高学生对几何图形美的认识．锐角三角函数定义锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数sinA=cosA=tanA=脑中有“图”，心中有“式”知识回顾如图,观察一副三角板:它们其中有几个锐角?分别是多少度?(1)sin300等于多少?┌┌300600450450(2)cos300等于多少?(3)tan300等于多少?自主预习ABC30°12sin30°=cos30°=tan30°=23300角的各类三角函数值的探索

在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。(4)sin450,sin600等于多少?(5)cos450,cos600等于多少?(6)tan450,tan600等于多少?┌┌300600450450讨论：ABC45°11Sin45°=cos45°=tan45°=221450角的各类三角函数值的探索ACB60°12sin60°=cos60°=tan60°=2600角的各类三角函数值的探索三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα300450600三角函数值归纳：对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（α为锐角）对于cosα，角度越大，函数值越小.例1：求值:

sin30°﹒

tan30°+cos60°﹒tan60°;解：sin30°﹒

tan30°+cos60°﹒tan60°==自主探究1、30°,45°,60°角的三角函数值2、三角函数值的计算与应用知识梳理1、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。ABCD(1)tanA=

=AC()CD()(2)tanB=

=BC()CD()BCADBDAC课堂练习2.计算：sin230－sin45＋sin260°解：原式通常我们把(sin30°)2简记为sin230°3.求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）解：（1）cos260°＋sin260°＝1（2）＝024.3.2用计算器求锐角三角函数值这节课我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．自主预习求已知锐角的三角函数值例

求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：SHIFTMODE(SETUP)3D显示

再按下列顺序依次按键：

sin63o’”52o’”o’”41=显示结果为0．897859012．所以sin63°52′41″≈0．8979例

求tan19°15′的值．（精确到0．0001）解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列顺序依次按键：tan19o’”5o’”=显示结果为0．349215633．所以tan19°15′≈0．3492．1自主探究1.求sin18°．第一步：按计算器键，sin第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18°=0.309016994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）用计算器求锐角三角函数值tan第一步：按计算器键，2.求tan30°36'.第二步：输入角度值30，分值36（可以使用键），°＇

″屏幕显示答案：0.591398351第一种方法：第二种方法：tan第一步：按计算器键，第二步：输入角度值30.6（因为30°36'＝30.6°）屏幕显示答案：0.591398351例：已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还可以接着按

键，进一步得到∠A＝30°7'8.97"第一步：按计算器键，SHIFTsin第二步：然后输入函数值0.5018屏幕显示答案：30.11915867°（按实际需要进行精确）°＇″典例精析由锐角三角函数值求锐角例

已知tanx＝0．7410，求锐角x．（精确到1′）D解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示 ），按下列顺序依次按键：

SHIFTtan0●4701=()

显示结果为36．53844577．SHIFTo’”再按键：显示结果为．所以x≈36°32′．课堂练习1.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.6275，sinB＝0.0547；（2）cosA＝0.6252，cosB＝0.1659；（3）tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.∠A=38°51′57.3″，∠B=3°8′8.32″∠A=51°18′11.27″，∠B=80°27′1.72″∠A=78°19′55.74″，∠B=41°23′57.84″A2.下列各式中一定成立的是（）A.tan75°＞tan48°＞tan15°B.tan75°＜tan48°＜tan15°C.cos75°＞cos48°＞cos15°D.sin75°＜sin48°＜sin15°课堂练习1.我们可以用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角.3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.归纳总结24.4.1解直角三角形（一）解直角三角形及其简单应用【学习目标】1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形；2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力；3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．1.在Rt△ABE中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,则SinA＝

，sinB=

，cosA=

，

cosB=

，

tanA=

，

tanB=

。

2.三角形由哪些元素组成?你能说出它们具有的性质吗?BCAacb知识回顾要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α

≤75°.现有一个长6m的梯子.问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精确到0.1m)这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求BC的长角α越大,攀上的高度就越高.ACB新课导入要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α

≤75°.现有一个长6m的梯子.问:(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人能否安全使用这个梯子?这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6,求锐角α的度数?ACB在Rt△ABC中,(1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗?(2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗?三角形有六个元素,分别是三条边和三个角.在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,就可以求出其余三个元素.(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗?ACB(其中至少有一个是边),自主预习已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.所以∠A≈5°28′可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ABCABC

例1如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:26＋10＝36（米）.答:大树在折断之前高为36米.自主探究

在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．归纳例2：如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）自主探究解在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，

＝tan∠CAB,∴BC＝AB•tan∠CAB=2000×tan50゜≈2384(米).又∵，∴AC＝答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.

在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，保留四个有效数字，角度精确到1′.

解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角

知识梳理已知一边和一锐角解直角三角形在图中的Rt△ABC中，（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABCα6=75°在图中的Rt△ABC中，（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABCα62.4事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=30，b=20，根据条件解直角三角形.

解：根据勾股定理ABCb=20a=30c随堂练习ABC解：2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，，解这个直角三角形.（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：归纳总结24.4.2解直角三角形（二）仰角、俯角与解直角三角形的应用【学习目标】1．理解俯角和仰角的概念，并利用其解直角三角形；2．综合利用仰角和俯角以及解直角三角形的知识，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．经历数学知识的挖掘与欣赏过程，近一步感受教学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣．在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠

B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)知识回顾仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.自主预习例

如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB高．（精确到0.1米）1.2022.7自主探究仰角、俯角问题分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：旗杆的高度为15.2m.拓展练习1.如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.ACB解：设在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.课堂练习∴AB的长为2.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE

的一个外角利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.知识梳理24.4.2解直角三角形（三）坡比、坡角与解直角三角形的应用【学习目标】1．理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形；2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题的能力；3．在数学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．1.测量高度时,仰角与俯角有何区别?2.解答下面的问题

如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC。AEDCB知识回顾读一读

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=hli=h:la坡度通常写成1：m的形式，如i=1:6坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i==tana自主预习

解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhααll自主探究

我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.hαl

以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．

如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的夹角分别是32°和28°，求路基下底的宽（精确到0.1米）ADCEFB解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F，由题意可知：DE=CF=4.2EF=CD=12.51在RT△ABC中，°°在RT△ABC中，同理可得≈6.72°≈7.90∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．知识梳理1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的值为()A．4B．6C．8D．10D随堂练习2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是()A．10B．20C．40D．28C随堂练习图①提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.

3.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC