2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点（人教版）：压轴题专训30题（第五、六、七章）（解析版）

一．解答题(共30小题)CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC(已知)，EF∥AB(辅助线的作法)，∴EF∥DC，∴∠B+∠C＝．即∠B+∠C＝∠BEC． (2)拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC． (3)解决问题：如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A是多少度？【分析】(1)过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可； (2)过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可； (3)过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可．∵AB∥DC(已知)，EF∥AB(辅助线的作法)，∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行)，∴∠C＝∠CEF(两直线平行，内错角相等)，∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF(同理)，∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF(等量代换)，即∠B+∠C＝∠BEC， FAB∵AB∥DC(已知)，EF∥AB(辅助线的作法)，∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行)，∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC； ∵AB∥DC(已知)，EF∥AB(辅助线的作法)，∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行)，∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，∴∠A＝∠AEF＝20°．故答案为：20°． (1)如图1，若∠BAE＝30°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝； (2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°； (3)如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．【分析】(1)过点E作直线MN∥AB，利用平行线的性质证明∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，即可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝30°+20°＝50°； (2)过点E作EG∥AB，利用平行线的性质证明∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，即可证明∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°； (3)由(1)可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再证明∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由(2)可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，即可证明2∠AFC+∠AEC＝360°．点E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD，∴∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM，当∠BAE＝30°，∠DCE＝20°时，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝30°+20°＝50°；当∠BAE＝α，∠DCE＝β时，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝α+β．°，α+β； (2)如图2，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°； (3)2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由(1)可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由(2)可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．3．(2023春•东台市月考)把一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG＝90°，∠EGF＝60°)放在两条平行线AB，CD之间． (1)如图1，若三角形的60°角的顶点G放在CD上，且∠2＝2∠1，求∠1的度数； (2)如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系； (3)如图3，若把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请直接写出∠AEG与∠CFG的数量关系．【分析】(1)依据AB∥CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60°，即可得出，进而得到∠1＝40°； (2)根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE＝180°，再根据∠FEG+∠EGF＝90°，即可得到∠AEF+∠FGC＝90°； (3)依据AB∥CD，可知∠AEF+∠CFE＝180°，再代入∠AEF＝∠AEG﹣30°，∠CFE＝∠CFG﹣90°，即可求出∠AEG+∠CFG＝300°．【解答】解：(1)∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴，∴∠1＝40°； (2)∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°； (3)∠AEG+∠CFG＝300°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴∠AEG﹣∠FEG+∠CFG﹣∠EFG＝180°，∵∠FEG＝30°，EFG＝90°，∴∠AEG﹣30°+∠CFG﹣90°＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝300°．4．(2022秋•香坊区期末)已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED． 点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NEDENADE∠ENG； (3)如图3，在(2)的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．【分析】(1)利用角平分线的定义可得∠ADE＝∠BDE，然后再利用等量代换可得∠ADE＝∠BED，从而利用平行线的判定，即可解答； (3)设∠BDM＝2x，利用角平分线的定义可得∠BDM＝∠MDE＝2x，从而可得∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，进而可得∠ADB＝2∠BDE＝8x，然后利用平行线的性质可得∠B＝180°﹣8x，再根据垂直定义可得∠DEN＝90°，最后利用(2)的结论可得∠ENG＝90°﹣4x，再利用角平分线的定义可得∠MDN＝90°﹣x，从而可得∠EDN＝90°﹣3x，进而可得∠DNE＝3x，∠FDN＝7x﹣90°，再根据已知∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】(1)证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵∠BDE＝∠BED，∴∠ADE＝∠BED，∴AD∥BE； (2)证明：过点E作EH∥BD，∴∠DEH＝∠BDE，∵∠BDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DEH，∵BD∥FG，∴EH∥FG，∴∠HEN＝∠ENG，∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG； (3)解：设∠BDM＝2x，∵DM平分∠BDE，∴∠BDM＝∠MDE＝2x，∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，∵DE⊥EN，∴∠DEN＝90°，由(2)得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，∵DN平分∠PDM，∴∠MDN＝∠PDM＝(180°﹣∠BDM)＝(180°﹣2x)＝90°﹣x，∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣(90°﹣3x)＝7x﹣90°，∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，x解得：x＝15°，∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，∴∠EDN的度数为45°．5．(2022秋•翠屏区期末)将一块三角板ABC(∠ACB＝90°，∠A＝30°)按如图①所示放置在锐角∠POQ＝α内，使直角边BC落在OQ边上．现将三角板ABC绕点B逆时针以每秒m°的速度旋转t秒(直角边BC旋转到如图②所示的位置)，过点A作MN∥OQ交射线OP于点M，AD平分∠MAB，其中m的值 (1)求m的值； (2)当t＝4秒时，求∠NAC的度数； (3)在某一时刻，当BC∥OP时，试求出∠ADO与α之间的数量关系． (2)当t＝4时，∠CBQ＝40°，先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝60°，从而可得∠ABQ＝100°，然后利用平行线的性质可得∠NAB＝80°，再利用角的和差关系，进行计算即可解答； (3)先利用平行线的性质可得∠POQ＝∠CBQ＝α，从而可得∠ABQ＝60°+α，然后利用平行线的性质可得∠MAB＝∠ABQ＝60°+α，从而利用角平分线的定义可得∠MAD＝∠MAB＝30°+α，最后利用平行线的性质，进行计算即可解答．∴m的值为10； (2)当t＝4时，∠CBQ＝40°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，∴∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ＝100°，∵MN∥OQ，∴∠NAB＝180°﹣∠ABQ＝80°，∴∠NAC＝∠NAB﹣∠BAC＝50°，∴∠NAC的度数为50°； (3)∠ADO与α之间的数量关系是：∠ADO＝150°﹣α，∴∠POQ＝∠CBQ＝α，∵∠ABC＝60°，∴∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ＝60°+α，∵MN∥OQ，∴∠MAB＝∠ABQ＝60°+α，∵AD平分∠MAB，∴∠MAD＝∠MAB＝30°+α，∵MN∥OQ，∴∠ADO＝180°﹣∠MAD＝150°﹣α，∴∠ADO与α之间的数量关系是：∠ADO＝150°﹣α．6．(2023•广东模拟)【学习新如】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． OOE若∠B＝90°，证明：DO1∥O2E； O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠2+∠3＝90°，进而得到∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，根据平角的定义求出∠DO1O2+∠O1O2E＝180°，即可判定DO1∥O2E； (2)过点O2作O2M∥O1E，则O2M∥O1E，EO1∥O3F，根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．【解答】(1)证明：∵∠B＝90°，∠B+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1+∠DO1O2+∠2＝180°，∠3+∠O1O2E+∠4＝180°，∴∠DO1O2+∠O1O2E＝180°，∴DO1∥O2E； (2)解：如图3，过点O2作O2M∥O1E，∵∠1＝∠2＝36°，∠B＝120°，∴∠3＝180°﹣36°﹣120°＝24°，∴∠4＝∠3＝24°，∵∠1＝∠2＝36°，∠1+∠EO1O2+∠2＝180°，∴∠EO1O2＝108°，同理，∠O1O2O3＝132°，∵O2M∥O1E，∴∠EO1O2+∠O1O2M＝180°，∴∠O1O2M＝72°，∴∠MO2O3＝∠EO1O2﹣∠O1O2M＝60°，∵O2M∥O1E，EO1∥O3F，∴O2M∥O3F，∴∠MO2O3+∠O2O3F＝180°，∴∠O2O3F＝120°，∴∠5＝∠6＝×(180°﹣∠O2O3F)＝30°，∴∠C＝180°﹣∠4﹣∠5＝126°．动点． PEF∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系． PEFAEPEPF∠PFC之间的数量关系为． (3)若∠PEB、∠PFD的平分线交于点Q，且∠EPF＝70°，则∠EQF＝．【分析】(1)点P作直线PH∥AB，根据平行线性质及角度加减即可得到； (2)点P作直线PH∥AB，根据平行线性质及角度加减即可得到； (3)在(1)(2)的基础上作出图形，根据邻补角得∠PEB、∠PFD的和，结合角平分线得到两半角之和，根据(2)的结论即可得到答案；∴∠AEP＝∠EPH，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠HPF＝∠PFC，∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF，∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC； PPH∥AB，如图②，∴∠AEP+∠EPH＝180°，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠HPE+∠PFC＝180°，∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF，∴∠EPF＝360°﹣∠AEP﹣∠PFC，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； PEF∵∠EPF＝∠AEP+∠PFC，∠EPF＝70°，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣70°＝290°，∴∠EQF＝∠EBQ+∠DFQ＝(∠PED+∠PFD)＝145°；PEF∵∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，∠EPF＝70°，∴∠AEP+∠PFC＝360°﹣70°＝290°∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣290°＝70°，∴∠EQF＝∠EBQ+∠DFQ＝(∠PED+∠PFD)＝35°；故答案为：35°或145°． 证明； (3)如图3，在(2)的条件下，HP平分∠GHD，GB平分∠PGE，GP⊥PH，求∠FHP的度数．【分析】(1)根据对顶角相等和已知条件得到∠BGH＝∠CHG，再根据平行线的判定即可证明； (2)过点P作PQ∥AB，得到AB∥CD∥PQ，利用两直线平行，内错角相等得到∠BGP＝∠GPQ，∠PHD＝∠HPQ，结合角的和差得到结果； (3)设∠DHP＝x，根据角平分线的定义得到∠DHP＝∠GHP＝x，根据垂线的定义得到∠P＝90°，则有∠PGH＝90°﹣x，根据平行线的性质得到∠DHG+∠BGH＝180°，求出∠BGP＝90°﹣x，再次利用角平分线的定义得到∠BGP＝90°﹣x，根据平角的定义得到方程，解之求出x值，得到∠PHG，即可得到结果．【解答】解：(1)∵∠AGE＝∠BGH，∠CHG＝∠FHD，∠AGE＝∠FHD，∴∠BGH＝∠CHG，∴AB∥CD； (2)∠GPH＝∠PGB+∠PHD，证明如下：如图，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ，∴∠BGP＝∠GPQ，∠PHD＝∠HPQ，∴∠GPH＝∠GPQ+∠HPQ＝∠BGP+∠PHD； (3)设∠DHP＝x，∵HP平分∠GHD，∴∠DHP＝∠GHP＝x，∵GP⊥PH，∴∠P＝90°，∴∠PGH＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠DHG+∠BGH＝180°，∴∠BGH＝180°﹣2x，∴∠BGP＝∠BGH﹣∠PGH＝180°﹣2x﹣(90°﹣x)＝90°﹣x，∵GB平分∠PGE，∴∠BGP＝∠BGE＝90°﹣x，∴∠BGE+∠BGP+∠PGH＝3(90°﹣x)＝180°，解得：x＝30°，即∠DHP＝30°＝∠PHG，∴∠DHF＝180°﹣30°＝150°．9．(2022秋•南岗区期末)已知：直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，且∠AGH+∠DHF＝180°． MPG+∠NQH＝90°，分别延长MP，NQ交于点K，求证：MK⊥NK； 求∠KMN的度数．【分析】(1)利用∠CHG＝∠DHF，再利用等量代换，即可解决； (2)过K作KR∥AB，因为AB∥CD，所以RK∥AB∥CD，则∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，代入即可解决． (3)过M作MT∥AB，过K作KR∥AB，可以得到MT∥AB∥CD∥KR，设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，【解答】(1)证明：∵∠CHG＝∠DHF，∠AGH+∠DHF＝180°，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴AB∥CD； ∵AB∥CD，∴RK∥AB∥CD，∴∠MPG＝∠MKR，∠NQH＝∠RKN，∵∠MPG+∠NQH＝90°，∴∠MKR+∠NKR＝90°∴∠MKN＝90°，∴MK⊥NK； ∵AB∥CD，∴MT∥AB∥CD∥KR，∵KH平分∠MKN，∴∠MKH＝∠NKH＝45°，∴设∠DHG＝17x，∠MPG＝7x，∵HE平分∠KHD，∴∠KHM＝∠DHG＝17x，∴∠KHD＝34x∴∠KHQ＝180°﹣34x，∵CD∥KR，∴∠RKH＝∠KHQ＝180°﹣34x，∵MT∥AB∥KR∴∠TMP＝∠MKR＝∠MPG＝7x，∠TMH＝∠MHD＝17x，∵∠MKH＝45°，∴∠RKH+∠MKR＝180°﹣34x+7x＝45°，∴x＝5°，∵∠KMN＝∠TMH﹣∠TMP，∴∠KMN＝17x﹣7x＝10x＝50°．同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． D之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知MN∥PQ，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，请你说明∠ABP+∠DCE＝∠CAB； (把下面的解答补充完整)解：因为CD∥AB所以∠CAB+＝180°()因为∠ECM+∠ECN＝180°()又因为∠ECN＝∠CAB所以∠＝∠()即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE所以∠MCA＝∠DCE由(1)知∠MCA+∠ABP＝∠CAB∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB (3)【拓展延伸】如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝68°，请直接写出∠AFB的度数为．【分析】(1)过点E作EH∥AB，利用平行线的性质和判定可得结论； (2)利用平行线的性质、平角的定义及等角的补角相等填空即可； (3)先利用(1)的结论用∠ACG表示出∠ABF，再利用平行线的性质用∠ACG表示出∠FAB，最后利用三角形的内角和定理求出∠AFB．【解答】解：(1)∠BED＝∠B+∠D．理由：过点E作EH∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH．∴∠B＝∠BEH，∠D＝∠HED．∵∠BED＝∠BEH+∠DEH，∴∠BED＝∠B+∠D． (2)解：因为CD∥AB，所以∠CAB+∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为∠ECM+∠ECN＝180°(平角的定义)，又因为∠ECN＝∠CAB，所以∠ACD＝∠ECM(等角的补角相等)，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE．所以∠MCA＝∠DCE．由(1)知∠MCA+∠ABP＝∠CAB，∴∠ABP+∠DCE＝∠CAB． (3)∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠PBF＝∠ABF＝∠PBA，∠ACG＝∠NCG＝∠NCA．∵MN∥PQ，由(1)知∠CAB＝∠ABP+∠MCA，即∠ABP+MCA＝68°．∵∠MCA＝180°﹣∠ACN＝180°﹣2∠ACG，∴2∠ABF+180°﹣2∠ACG＝68°，即∠ABF+90°﹣∠ACG＝34°．∴∠ABF＝∠ACG﹣56°．∵AF∥CG，∴∠FAC+∠ACG＝180°，即∠FAB+∠CAB+∠ACG＝180°．∴∠FAB＝112°﹣∠ACG．∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB＝180°﹣(∠ACG﹣56°)﹣(112°﹣∠ACG)＝180°﹣∠ACG+56°﹣112°﹣∠ACG＝124°．故答案为：124°．EM分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． (1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线MD上一动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若α＝30°，求β的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【分析】(1)依据角平分线，可得∠AEM＝∠FEM，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEM＝∠FME，进而得出AB∥CD； (2)①依据平行线的性质可得∠AEG＝130°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH＝∠AEG，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠HEN＝90°﹣30°＝60°，可得结论；FGF理由：∵EM平分∠AEF∴∠AEM＝∠FEM，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD； (2)①如图2，∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠HEN＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEG＝120°，∵AB∥CD，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∴β＝180°﹣120°＝60°；②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：∴∠AEG＝180°﹣β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝(180°﹣β)，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣(180°﹣β)＝即α＝；∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝(∠AEF﹣∠FEG)＝∠AEG又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣．12．(2022秋•皇姑区期末)如图①，已知：BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB＝90°． (1)求证：AB∥CD； (2)若射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°，如图②，当∠FBE＝2∠ABF时，直接写出的值； (3)H是直线CD上一动点(不与点D重合)，BP平分∠HBD交直线CD于点P．设∠EBP＝x°，直接写出∠BHD的度数(用含x的代数式表示)．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC补，两直线平行证明； (2)作EP∥AB，FQ∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可； (3)根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解．【解答】(1)证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，又∵∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝2×90°＝180°，∴AB∥CD， 又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，AB∥CD∥FQ，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝90°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF∴∠BFD＝∠ABE+∠CDF＝30°＝∠BED， (3)解：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠EBD，∵BI平分∠HBD，∴∠HBD＝2∠IBD，HD的左边时，∠ABH＝∠ABD﹣∠HBD，∠EBI＝∠EBD﹣∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵AB∥CD，∴∠BHD＝∠ABH，∴∠BHD＝2∠EBI，如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD+∠HBD，∠EBI＝∠EBD+∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵AB∥CD，∴∠BHD＝180°﹣∠ABH∴∠BHD＝180°﹣2∠EBI＝180°﹣2x°，综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°﹣2x°，13．(2022秋•石狮市期末)将一块三角板CDE(∠CED＝90°，∠CDE＝30°)按如图所示方式放置，使顶点C落在∠AOB的边OB上，CE∥OA．经过点D画直线MN∥OB，交OA边于点M． (1)如图1，若∠AMN＝60°．①求∠ECB的度数；②试说明：DE平分∠NDC； (2)如图2，DF平分∠MDC，交OB边于点F，试探索∠O与∠OFD之间的数量关系，并说明理由．用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ECB的度数；②由∠ECB及∠DCE的度数，可求出∠DCB的度数，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠NDC的度数，再结合∠CDE＝30°，即∠CDE＝∠NDC，可得出DE平分∠NDC； (2)∠OFD＝150°﹣∠O，由∠ECB＝∠O及∠DCE的度数，可求出∠DCB＝60°+∠O，由MN∥OB，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠MDC＝60°+∠O，结合角平分线的定义，可得出∠MDF＝30°+∠O，由MN∥OB，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得出∠OFD＝150°﹣∠【解答】解：(1)①∵MN∥OB，∠AMN＝60°，∴∠O＝∠AMN＝60°．∵CE∥OA，∴∠ECB＝∠O＝60°；②∵∠ECB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠DCB＝∠DCE+∠ECB＝60°+60°＝120°．∵MN∥OB，∴∠NDC＝180°﹣∠DCB＝180°﹣120°＝60°．又∵∠CDE＝30°，∴∠CDE＝∠NDC，∴DE平分∠NDC； OFDO：∵∠ECB＝∠O，∠DCE＝60°，∴∠DCB＝∠DCE+∠ECB＝60°+∠O．∵MN∥OB，∴∠MDC＝∠DCB＝60°+∠O，∵DF平分∠MDC，∴∠MDF＝∠MDC＝(60°+∠O)＝30°+∠O．∵MN∥OB，∴∠OFD＝180°﹣∠MDF＝180°﹣(30°+∠O)＝150°﹣∠O．14．(2022秋•惠来县期末)已知如图AB∥CD． (1)由图①易得∠B、∠BED、∠D的关系(直接写结论)；由图②易得∠B、∠BED、∠D的关系(直接写结论)． (2)从图①图②任选一个图形说明上面其中一个结论成立的理由． (3)利用上面(1)得出的结论完成下题：已知，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠E＝60°，求∠BFD的度数．【分析】(1)观察图形即可求解； ：，，由AB∥CD得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，再根据四边形的内角和可得结论．【解答】解：(1)由图①易得∠B、∠BED、∠D的关系∠BED＝∠B+∠D．由图②易得∠B、∠BED、∠D的关系∠BED＝360°﹣(∠B+∠D)．故答案为：∠BED＝∠B+∠D；∠BED＝360°﹣(∠B+∠D)； (2)如图①所示：过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴EN∥CD∥AB，∴∠B＝∠BEM，∠MED＝∠D，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝∠B+∠D，∴∠BED＝∠B+∠D；如图②所示：过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴EN∥CD∥AB，∴∠B+∠BEM＝180°，∠MED+∠D＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝360°﹣(∠B+∠D)； (3)如图③，过点E作NE∥CD，∴AB∥EN，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝60°，∴∠ABE+∠CDE＝300°，∴∠EBF+∠EDF＝150°，∴∠BFD＝360°﹣60°﹣150°＝150°．15．(2022秋•社旗县期末)【教材回顾】如下是华师版七年级下册教材第167页，关于同旁内角的定义．图中∠4和∠5处于直线l的同一侧，直线a、b的中间．具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．【类比探究】 (1)如图①，具有∠1与∠2这种位置关系的两个角叫做同旁外角，请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3，∠4在图中标记出来； (2)如图②，已知∠1+∠2＝180°时，试说明直线a∥b． (3)如图③，直线a∥b，当∠1＝125°时，求出∠2的度数．【分析】(1)根据题意在图中标记即可； (2)根据邻补角的定义及平行线的判定定理求解即可； (3)根据邻补角的定义及平行线的性质定理求解即可．【解答】解：(1)如图所示，∠3与∠4互为同旁外角； (2)如图：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，∴∠1＝∠3，∴a∥b． (3)如图：∵a∥b，∠1＝125°，∴∠1＝∠3＝125°，又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣125°＝55°．16．(2023春•开福区校级月考)已知线段AB∥线段CD，直线MN分别交AB、CD于点M、N． 则∠BEN的度数为； (2)如图2，点E在线段MN上，∠MBE＝∠MEB，DF平分∠EDC交BE的延长线于点F，试判断∠DEF、∠EDN与∠END之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点P在直线MN上运动时，若∠ABP与∠CDP的角平分线交于点Q，试判断∠BPD与∠BQD的数量关系，请画好图形并给予证明．【分析】(1)根据算术平方根和平方的非负性求出x，y的值，根据AB∥CD可得∠EMB＝180°﹣∠MND＝110°，再根据三角形外角的定义和性质可得∠BEN＝∠EMB+∠MBE，由此可解； (2)作EH∥AB，根据平行线和对顶角的性质可证∠BEH＝∠MEB＝∠FEN，进而可得，再根据三角形内角和定理可得∠NED+∠END+∠EDN＝180°，通过等量代换可得； (3)分点P在线段MN上、在射线NM的延长线上、在射线MN的延长线上三种情况，作PG∥AB，QK∥AB，利用平行线的性质、角平分线的定义、角的和差关系，可证∠BPD＝2∠BQD．∴∠MBE＝10°，∠MND＝70°．∵AB∥CD，∴∠MND+∠EMB＝180°，∴∠EMB＝180°﹣∠MND＝110°，∴∠BEN＝∠EMB+∠MBE＝110°+10°＝120°，故答案为：120°； 作EH∥AB，则∠MBE＝∠BEH，∵∠MBE＝∠MEB，∠FEN＝∠MEB，∴∠BEH＝∠MEB＝∠FEN，∴，∵EH∥AB，AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠END＝∠MEH，∴，∵∠NED+∠END+∠EDN＝180°，∴∠DEF﹣∠FEN+∠END+∠EDN＝180°，∴，∴； (3)∠BPD＝2∠BQD，证明如下：P在线段MN上时，如图所示，作PG∥AB，QK∥AB，，则PG∥AB∥CD，QK∥AB∥CD，∵PG∥AB，PG∥CD，∴∠ABP＝∠BPG，∠CDP＝∠DPG，∴∠BPD＝∠DPG+∠BPG＝∠CDP+∠ABP，同理可得∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ，∵BQ平分∠ABP，DQ平分∠CDP，∴∠ABP＝2∠ABQ，∠CDP＝2∠CDQ，∴∠BPD＝2∠CDQ+2∠ABQ＝2∠BQD，即∠BPD＝2∠BQD；点P在射线NM的延长线上时，如图所示，作PG∥AB，QK∥AB，则PG∥AB∥CD，QK∥AB∥CD，∵PG∥AB，PG∥CD，∴∠ABP＝∠BPG，∠CDP＝∠DPG，∴∠BPD＝∠DPG﹣∠BPG＝∠CDP﹣∠ABP，同理可得∠BQD＝∠CDQ﹣∠ABQ，∵BQ平分∠ABP，DQ平分∠CDP，∴∠ABP＝2∠ABQ，∠CDP＝2∠CDQ，∴∠BPD＝2∠CDQ﹣2∠ABQ＝2∠BQD，即∠BPD＝2∠BQD；点P在射线MN的延长线上时，如图所示，作PG∥AB，QK∥AB，同理可证∠BPD＝2∠BQD．问题： x ∴4⊗16＝2，∵，∴； 三种情况： ，． (1)点C表示的数是； (2)若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运 (3)在(2)的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求t的值．【方法迁移】如图2，∠AOB＝140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和OOP转．问经过几秒后，射线OP、OQ的夹角为30°？【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为90°，经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°．【分析】(1)利用线段中点的定义解答即可； (2)利用距离＝速度×时间关系式解答即可； (3)利用分类讨论的思想方法列出关于t的方程解答即可；【方法迁移】利用(3)中的方法和角平分线的定义解答即可；【生活运用】设经过x分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°，利用(3)中的方法列方程解答即可．【解答】解：(1)设点C表示的数是x，∵AC＝BC，∴点C表示的数是3． (3)∵P、Q两点之间的距离为2，∴(7+t)﹣(3t+3)＝2或(3t+3)﹣(7+t)＝2．∴若P、Q两点之间的距离为2，t的值为1秒或3秒．【方法迁移】∵∠AOB＝140°，OC平分∠AOB，∴∠COB＝∠AOB＝70°，设经过x秒后，射线OP、OQ的夹角为30°，∴70°﹣15°t+10°t＝30°或15°t﹣70°﹣10°t＝30°，∵射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转，∴0°≤15°t≤360°，∴0≤t≤24．∴经过8秒或20秒后，射线OP、OQ的夹角为30°．【生活运用】设经过x分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°，∵分针每分钟旋转5°，时针每分钟旋转0.5°，∴90°﹣5°x+0.5°x＝45°，∴经过10分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°．19．(2022秋•莱芜区期末)阅读下列解题过程：44\2)2 44\2)2 99\3)31616\4)4 1616\4)4…… 【分析】(1)利用算术平方根的意义解答即可； (2)利用式子的规律解答即可； (3)利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． (2)依据上述运算的规律可得：＝， (3)原式＝…×20．(2022秋•交口县期末)阅读理解题：1+2)i＝3+i．请类比完成以下任务： (3)计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2022． (2)原式＝(3+2i)×(1﹣i) ∵2022÷4＝505⋯⋯2，∴i+i2+i3+i4+⋯⋯+i202221．(2022秋•长兴县期末)阅读材料：是“和积等数对”．根据上述材料，解决下列问题： (1)下列数对中，“和积等数对”是(填序号)；②(，5) (2)如果(x，4)是“和积等数对”，请求出x的值； (3)如果(m，n)是“和积等数对”，那么m＝(用含n的代数式表示)．【分析】(1)利用题中的新定义判断即可； (2)根据题中的新定义列出方程，求出方程的解即可得到x的值； (3)利用题中的新定义得到等式，表示出m即可． (2)根据定义可列方程为：4+x＝4x， (3)根据定义可得：m+n＝mn，∴(1﹣n)m＝n，∴m＝，∵分母不能为0，满足(a+8)2+(b+2)2+|c﹣3|＝0． abc； (2)若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒、3个单位/秒．运动t秒后，求点B和点C之间的距离(用“BC”表示)和点A和点B之间的距离 (用“AB”表示)(用含t的式子表示)； (3)若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t(秒)．存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，请直接写出时间t的值．【分析】(1)根据绝对值和二次方的非负性求出a、b、c的值即可； (2)先用t表示出t秒后点A、B、C表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离表示出结果即可； 和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，列出关于t的方程，解绝对值方程即可．【解答】解：(1)∵(a+8)2+(b+2)2+|c﹣3|＝0， ∴点B和点C之间的距离BC＝3+3t﹣(﹣2+2t)＝t+5； ∵A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，∴；∴当t＜2时，∴符合题意；当2≤t≤5时，∵，∴符合题意；当t＞5时，∴不符合题意舍去；综上分析可知，t的值为或． (1)A、B两点间的距离为． (2)如图①，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．①运动t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为；(用含t的代数式表示)PQ相遇时，点P在数轴上对应的数是；③求P、Q相距6个单位长度时的t值； (3)如图②，若点D在数轴上，点M在数轴上方，且AD＝MD＝DC＝5，∠MDC＝90°，现点M绕着点D以每秒转15°的速度顺时针旋转(一周后停止)，同时点N沿射线BA自点B向点A运动．当M、N两点相遇时，直接写出点N的运动速度．【分析】(1)根据数轴直接计算即可； (2)①根据运动规律直接用代数式表示即可；②根据相遇时对应点在同一位置列方程求出时间，进而求出对应点即可；③分点P在点Q左右两侧两种情况，列方程计算即可； (3)根据M和N在点A和点C两种情况相遇，先算出时间再计算出速度即可． 解得t＝6，解得t＝5，解得t＝7，∴P、Q相距6个单位长度时的t值为5秒或7秒； ∴此时N点的运动速度为：26÷6＝单位长度/秒，∴此时N点的运动速度为：36÷18＝2单位长度/秒，综上，点N的运动速度为单位长度/秒或2单位长度/秒．长安区校级期末)阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如： (1)的整数部分是4，小数部分是； 于m，n的说法正确的是(填序号即可)； 【分析】(1)根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； (2)根据无理数A在数轴上的位置确定无理数A的大小，进而表示出m、n，最后根据估算无理数的大小的方法进行判断即可； (2)设点A所表示的无理数为a，由点A在数轴上的位置可知，3＜a＜4，所以点A所表示的无理数a的整数部分m＝3，小数部分n＝a﹣3，因此②正确；因此③不正确；∴3＜m+n＜4，因此④正确； 所以点A与点B互为“对角点”． ； (2)若点A的坐标是(5，﹣3)的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标； 点的坐标．定义，根据新定义解题即可； (3)根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．【解答】解：(1)根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”； (2)①当点B在x轴上时，②当点B在y轴上时，AB ∵m、n互为相反数，∴m+n＝0，26．(2023春•襄都区校级月考)在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′． 和n之间满足怎样的数量关系？说明理由； 【分析】(1)根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标； (2)根据题意列方程，解方程即可得到结论； 方程组，解方程组，即可得到结论．∴向上平移了4个单位，向右平移了4个单位， (2)m＝2n，理由：∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，A(m，n)，B(2n，m)，A′(3m，n)，B′ ∴m＝2n； (3)∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，点A，B，A′，B′的坐标分别为A(m，n+1)，是由点P向上平移一定单位长度得到的． (2)在(1)题的条件下，试求出符合条件的一个点Q的坐标； (3)若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围． a解而求