2019-2020年中考数学专题复习第7章圆第19讲圆的位置关系与计算

2019-2020年中考数学专题复习第7章圆第19讲圆的位置关系与计算☞归纳1：点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心①d<r⇔点P在⊙O内②d=r⇔点P在⊙O上③d>r⇔点P在⊙O外O的距离为d，则有：☞归纳2：直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：①相交：直线和圆有②相切：直线和圆有③相离：直线和圆两个公共点时，叫做直线和圆1个公共点时，叫做直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆O的半径为r，圆心O到直线的距离为相交相切，这时直线叫做圆的切线相离．d，那么：O相切⇔d=r；③直线与⊙如果⊙①直线与⊙O相交⇔d<r；②直线与⊙O相离⇔d>r；☞归纳3：弧长公式n°的圆心角所对的弧长的计算公式为【注意问题归纳】①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，π表示．n和180都不要带单位．②题设未标明精确度的，可以将弧长用③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念。☞归纳4：扇形面积扇形面积公式：【注】其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，是扇形的弧长．☞归纳5：阴影部分面积求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和法差；③割补法．【注意问题归纳】求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．☞【常考题型剖析】☜☺题型一、弧长、扇形的面积【例1】(xx包头)120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（）A.3B.4C.9D.18C【答案】【分析】根据弧长的计算公式，将【解答】解：根据弧长的公式，得到：6π=，解得r=9．n及l的值代入即可得出半径r的值．【例2】(xx新疆）一个扇形的圆心角是那么这个扇形的半径是（120°，面积为3π，）A.1cmB.3cmC.6cmD.9cmB【答案】【分析】根据扇形的面积公式：代入计算即可解决问题．【解答】解：设扇形的半径为R，由题意：3π=，解得R=±3，∵R＞0，∴R=3cm，∴这个扇形的半径为3cm．【举一反三】1.(xx哈尔滨)一个扇形的圆心角为则此扇形的半径为120°，面积为12πcm，2cm．【答案】6【分析】根据扇形的面积公式即可求得半径．【解答】解：设该扇形的半径为r，则=12π，解得r=6．即该扇形的半径为6cm．2.(xx岳阳)在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：cm．【答案】4π【分析】直接利用弧长公式求出即可．【解答】解：半径为=4π（cm）．3.(xx台州)如图3，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则的长是．图3图4【答案】【分析】由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式：n，圆的半径为（弧长为l，圆心角度数为r）即可求解．【解答】解：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°．∴的长是4.(xx长沙)如图4，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）【答案】2π【分析】直接利用弧长公式列式计算即可．【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，∴该扇形的弧长为：=2π．5.(xx莆田)如图5，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则的长为（结果保留π）．【答案】【分析】连接AC，由垂径定理的CE=DE，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，由等腰三角形的性质得到∠可得到结论．CAB=∠DAB=30°，由圆周角定理得到∠COB=60°，根据弧长的计算公式即【解答】解：连接AC，∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，∴CE=DE，∵AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠CAB=∠DAB=30°，∴∠COB=60°，∴的长=图5图6图76.(xx营口)如图6，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为．【答案】【分析】由CD垂直平分OB，得到OE=EB，且OB⊥CD，再利用垂径定理得到得到三角形CEB与三角形DEO全等，利用全等三角形对应边相等得到CE=DE，利用SASOD=BC=1，在直角三角形OED中，根据直角边等于斜边的一半确定出∠EDO的度数，进而求出∠BOD度数，利用扇形面积公式求出扇形【解答】解：∵OBD面积即可．AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，∴OE=EB，OB⊥CD，∴CE=DE，在△BEC和△OED中，CEDECEBDEO900，BEOE∴△BEC≌△OED（SAS），∴OD=BC=1，在Rt△OED中，OE=OB=OD，∴∠ODE=30°，∴∠BOD=60°，则扇形BOD面积S=7.(xx东营)如图7，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）【答案】25，则所得的扇形ABD的面积为_____________.【分析】根据扇形面积公式：S=•L•R（L是弧长，R是半径），求出弧长BD，根据题意=CD+BC，由此即可解决问题．=CD+BC=10，【解答】解：由题意S扇形ADB=••AB=×10×5=25，☺题型二、阴影部分的面积【例3】(xx通辽)如图1，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=，则阴影部分的面积为（）图1图2A.B.πC.2πD.4π【答案】A【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．【解答】解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=，故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形又∵∠ABD=60°，OBD的面积，∴∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2，∴S扇形OBD=，即阴影部分的面积为．【例4】(xx重庆)如图2，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到计算图中阴影部分的面积．ACB为等腰直角三角形，接着判断S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC=【举一反三】8.(xx苏州)如图8，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为．【答案】【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．OC，【解答】解：连接∵过点C的切线交AB的延长线于点∴OC⊥CD，D，∴∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，∵AO=CO，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=2∠A，∵∠A=∠D，∴∠COD=2∠D，∴3∠D=90°，∴∠D=30°，∴∠COD=60°∵CD=3，∴OC=3×=1=3360333∴阴影部分的面积23602图8图99.(xx滨州)如图9，△ABC是等边三角形，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是【答案】2π﹣3AB=2，分别以A，B，C为圆心，．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△求出扇形的面积，求差得到答案．ABC的面积，根据扇形的面积公式【解答】解：∵正△ABC的边长为2，∴△ABC的面积为扇形ABC的面积为则图中阴影部分的面积=3×（﹣）=2π﹣3，10.(xx大庆)如图10，在矩形ABCD中，AB=5，，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为．【答案】【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形【解答】解：设圆弧的圆心为BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为由勾股定理得，即x，则OF=x﹣5，，解得，x=10，则∠BOF=60°，∠BOC=120°，则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）=﹣+=图10图1111.(xx绥化)如图11，在半径弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是π﹣1AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交【答案】【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，ACB的面积与△ADC的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB=∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×﹣×=π﹣1．☞【巩固提升自我】☜1.(xx广东)如图1，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是____________cm；（结果保留）【答案】10π【分析】根据的长就是圆锥的底面周长即可求解．【解答】解：∵圆锥的高∴圆锥的底面半径为∴圆锥的底面周长为h为12cm，OA=13cm，10πcm，10πcm，∴扇形AOC中的长是图1图22.(xx广东)如图2，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形A.6B.7【答案】D(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为（）C.8D.9【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：3，S扇形DAB=，计算即可．【解答】解：∵正方形的边长为∴弧BD的弧长=6，∴S扇形DAB==×6×3=9．3.(xx广东)如图3,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是__________(结果保留).图3图4【答案】【分析】阴影部分可看成是圆心角为【解答】解：根据图示知，∠135°，半径为1是扇形．1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是∴阴影部分的面积应为：90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，S==．4.(xx广东)如图4，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是A为圆心，AD的（结果保留π）．【答案】【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．D点作DF⊥AB于点F．【解答】解：过∵AD=2，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，∴阴影部分的面积：4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣﹣1=5.(xx广东)如图5，△ABC绕点A顺时针旋转若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于45°得到△，。图5