2023解析几何大题热点50题训练

2023解几大题热点50题训练

一.解答题(共50小题)

Y22

1.(2023•五华区校级模拟)已知双曲线C:5-v2=l(a>0,b>0)的右焦点为尸，C的两条渐近线分别与

ab

2

直线x=三交于4,8两点，且力8的长度恰好等于点尸到渐近线距离的6倍.

c

(1)求双曲线的离心率；

(2)已知过点尸且斜率为1的直线/与双曲线交于“，N两点，。为坐标原点，若对于双曲线上任意一点

P,均存在实数义，〃，使得丽=4两+〃丽，试确定2,〃的等量关系式.

2.(2023•江西模拟)已知点尸为抛物线C:/=2px(p>0)的焦点，点M(4,a)在抛物线上，且|尸M|=6.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F分别作两条互相垂直的直线与抛物线C分别交于4,B与P,。，记A/4EP,A8尸。的面积分

别为52,求5+S2的最小值.

3.(2023•潍坊模拟)已知动点P与两定点4(-2,0),4(2,0),直线P4与P4的斜率之积为,记动点尸

的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设。①，0)(1<a<2),E为直线x=2a上一动点，直线DE交曲线C于G,"两点，若|G0、|HE|、

|GEh依次为等比数列也,｝的第加、八p、q项，S.m+n=p+q,求实数a的值.

22£7

4.(2023•西安模拟)已知椭圆C:5+q=1(。>6>0)的焦点为£、凡，离心率为上，直线/:x+y+m=0,

ab2

F「鸟在直线/上的射影分别为M、N,且|A4N|=2五.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设直线/与椭圆C交于/、8两点，P(-2,0).求的面积的最大值.

22

5.(2023•聊城一模)已知双曲线C:*■卡=1(。>0力>0)的右焦点为尸，一条渐近线的倾斜角为60。，且

C上的点到F的距离的最小值为1.

(1)求C的方程；

(2)设点。(0,0),M(0,2),动直线/:y=Ax+〃］与C的右支相交于不同两点/,B,且ZAFM=NBFM,

过点。作，为垂足，证明：动点〃在定圆上，并求该圆的方程.

6.(2023•周至县二模)如图，已知椭圆£:与+二=1伍>6>0)的一个焦点为£(0,1),离心率为也.

a"b~2

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（1）求椭圆E的方程；

（2）过点写作斜率为A的直线交椭圆£于N,8两点，的中点为”.设。为原点，射线交椭圆E

于点C.当四边形ONC8为平行四边形时，求％的值.

r221

7.（2023•太原模拟）已知椭圆C：r+4v=l（a>b>0）的右顶点为力，上顶点为8,其离心率。=—,直线

矿b'2

与圆/+/=上相切.

7

（1）求椭圆C的方程：

（2）过点”（2,g）的直线与椭圆C相交于P,。两个不同点，过点P作x轴的垂线分别与N8,“0相交

于点。和N,证明：D是PN中点.

8.（2023•江苏模拟）已知直线/与抛物线C]:炉=2x交于两点4（占，必），B（x2,y2）»与抛物线G：/=4x

交于两点CG，必），D（X4,y4）,其中4,C在第一象限，B,。在第四象限.

（1）若直线/过点”（1,0）,且」......—,求直线/的方程；

\BM\\AM\2

（2）①证明：—+—=—+—；

%y2%y4

c

②设A/1OB,AC。。的面积分别为S「邑（。为坐标原点），若|工。|=2|8。|,求」.

$2

22

9.（2022秋•滨江区校级期末）已知与，鸟为椭圆C：/r+}v=l（a>b>0）的左、右焦点.点M为椭圆上

一点，当鸟取最大值。时，（砥+丽）•砺=6.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点尸为直线x=4上一点（且P不在x轴上），过点尸作椭圆C的两条切线尸N,PB,切点分别为Z,

8,点3关于x轴的对称点为8',连接交x轴于点G.设△4gG,8G的面积分别为S/S2,求

第2页（共77页）

|S|-$2I的最大值.

10.(2023春•广东月考)已知点尸(1,0),点P为平面上的动点，过点P作直线/:x=-l的垂线，垂足为。，

且涉存=而•匝.

(I)求动点P的轨迹C的方程；

(II)设点尸的轨迹C与x轴交于点〃，点、A,8是轨迹C上异于点"的不同的两点，且满足必•方=0,

求|丽|的最小值.

11.(2023春•商丘月考)已知动点尸到直线y=-8的距离比到点(0,1)的距离大7.

(I)求动点尸的轨迹方程；

(II)记动点尸的轨迹为曲线C,点"在直线4：y=-l上运动，过点"作曲线C的两条切线，切点分别

为4，8,点N是平面内一定点，线段NA,NB,"5的中点依次为E,F,G,H,若当〃点

运动时，四边形EFG"总为矩形，求定点N的坐标.

12.(2023•铜仁市模拟)已知双曲线C:=-f-=l的一条渐近线方程为x-2y=0,若过点E(0,-3)的直

aa-3

线/交C于4,5两点.

(1)求直线/的斜率范围；

(2)若/交C的两条渐近线于C,。两点且满足5=在=而，求直线/的斜率的大小.

22

13.(2023•抚顺模拟)已知椭圆C:5+5=l(a>6>0)的一个焦点坐标为(-1,0),A,8分别是椭圆的左、

4Tb

▲一3

右顶点，点。(x,y)在椭圆C上，且直线力。与6。的斜率之积为-一.

4

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线2x+(y-3=0与椭圆分别相交于“，N两点，直线用0(。为坐标原点)与椭圆的另一个交点

为E,求&WNE的面积S的最大值.

V2V2

14.(2023•湛江一模)已知片，月分别为椭圆E：/+方■ngb>。)的左、右焦点，椭圆E的离心率为1?

过鸟且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆E交于4,8两点，△"N5的周长为8.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过耳且与/垂直的直线/'与椭圆E交于C,。两点，求四边形4C8O面积的最小值.

15.(2023•辽宁一模)如图，A,B,C,。是抛物线E:/=4x上的四个点(/,8在x轴上方，C,D

在x轴下方)，已知直线/C与8。的斜率分别为-逅和2,且直线NC与8。相交于点尸.

3

(1)若点”的横坐标为6,则当A40c的面积取得最大值时，求点。的坐标.

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（2）试问网上匹1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22

16.（2023•咸阳二模）椭圆C:5+5=l（“>b>0）的左、右焦点分别为片、F2,且椭圆C过点（-2,0）,离

ab

心率为L.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点加以，乂）是椭圆=+[=1（机>〃>0）上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为

mn

W+岑=1.已知N（x。，%）是（1）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点

mn

垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q.求证：点P、N、。、百、写在同一圆上.

17.（2023•赤峰三模）法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动

了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定

22_________

椭圆C:三+4=1（。>6>0）,则称圆心在原点。，半径是4的圆为“椭圆C的伴随圆”,已知椭圆

ab-

22

0+2=1（a>6>0）的一个焦点为b（血,0）,其短轴的一个端点到焦点少的距离为百.

ab

（1）若点/为椭圆。的“伴随圆”与x轴正半轴的交点，B，。是椭圆C的两相异点，且8。，X轴，求方•瓦

的取值范围.

（2）在椭圆。的“伴随圆”上任取一点P,过点尸作直线4,使得/「人与椭圆C都只有一个交点，

试判断/「4是否垂直？并说明理由.

18.（2023•开封二模）如图，过抛物线E:/=2抄（p>0）的焦点F作直线/交E于/,B两点，点4,8在

x轴上的射影分别为。，C.当力8平行于x轴时，四边形/8C。的面积为4.

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（1）求P的值；

（2）过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论:

以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线

弓形的面积等于该内接三角形面积的3倍.已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于Z3,根

3

据上述理论，从四边形46CQ中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为，时直线/的斜率.

2

r2V23

19.（2023•吉州区校级一模）己知椭圆。:二+方=l（a>b>0）的左、右焦点分别为片、片，若C过点,

且|工片\+AF21=4.

（1）求C的方程；

（2）过点名且斜率为/的直线与C交于点〃、N,求AOMN的面积.

20.（2023•毕节市模拟）在圆0:》2+/=1上任取一点尸，过点尸作y轴的垂线，垂足为。，点。满足

DQ^IPQ.当点P在圆。上运动时，点0的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设曲线C与>^轴正半轴交点为月，不过点力的直线/与曲线C交于A/,N两点，若彳必•丽=0,试

探究直线/是否过定点.若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由.

221

21.（2023•大庆模拟）已知椭圆C:5+A=im>b>0）的离心率e=L短轴长为2G.

ab2

（1）求椭圆C的方程；

7______

（2）已知经过定点尸（1,1）的直线/与椭圆相交于/,8两点，且与直线y=--x相交于点。，如果AQ=AAP,

4

QB=HPB,那么%+〃是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由.

22.（2023•成都模拟）已知中心为坐标原点0,对称轴为坐标轴的椭圆C经过P（百，侦），。（指，毡）

两点.

（I）求椭圆C的方程;

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（II）设过点（0,1）的直线/与椭圆C相交于4,B两点,2历=3砺，瓦=历+方，且点E在椭圆C上,

求直线/的方程.

23.（2023•湖南模拟）在平面直角坐标系中，双曲线C:匕-1=1（。>0,6>0）的焦点到渐近线的距离

a'b

为用,焦距为2近.

（1）求C的方程；

（2）如图，点/为双曲线的下顶点，点P在y轴上（位于原点与上顶点之间），过尸作x轴的平行线/,过

P的另一条直线交双曲线于G,H两点，直线4G,分别与/交于M,N两点，若NANM+NAOM=乃,

求点尸的坐标.

24.（2023•贵州模拟）已知抛物线Lx?=2⑷（p>0）上的点（2,%）到其焦点尸的距离为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知点。在直线/:y=-3上，过点。作抛物线C的两条切线，切点分别为4,B,直线与直线/交

于点过抛物线C的焦点F作直线48的垂线交直线/于点N,当|MN|最小时，求上竺1的值.

\MN\

25.（2023•广西模拟）已知抛物线C:/=2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为2.

（1）求。的方程；

（2）若P为直线/:x=-2上的一动点，过尸作抛物线。的切线P/,PB,A,8为切点，直线Z8与/交

于点过尸作45的垂线交/于点N,当最小时.求|/8|.

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22

26.(2023•昆明一模)已知过点(l,e)的椭圆E：5+4=l(a>b>0)的焦距为2,其中e为椭圆E的离心率.

(1)求E的标准方程；

(2)设。为坐标原点，直线/与E交于/,C两点，以。0c为邻边作平行四边形O/8C,且点8恰好

在E上，试问：平行四边形O/BC的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.

22

27.(2023•全国一模)已知双曲线C:餐-4=1("0,6>0)过点/(3,-7^),且渐近线方程为x土岛=0.

ab’

(1)求双曲线C的方程;

(2)如图，过点8(1,0)的直线/交双曲线C于点”、N.直线加7、M4分别交直线x=l于点尸、Q,求

侬的值.

的离心率与双曲线xf=1的离心率互为倒数,

点/(2,2)在椭圆C上，不过点4的直线/与椭圆C交于尸，0两点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线/P,工。的斜率之和为1,试问直线/是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请

说明理由.

22

29.(2023•成都模拟)已知片，g分别为椭圆。:x=+彳v=1(。>6>0)的左、右焦点，与椭圆。有相同焦

ab

丫2

点的双曲线土-V=1在第--象限与椭圆。相交于点P,且|”|=1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线、=履+1与椭圆C相交于4,8两点，。为坐标原点，且历=/砺(〃?>0).若椭圆C上存在

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点E,使得四边形OZE。为平行四边形，求机的取值范围.

Y22

30.(2023•商洛一模)已知尸1,名分别是椭圆£、+4V=1(。>6>0)的左、右焦点，。是椭圆E的右顶

ab

点，|80|=1,且椭圆E的离心率为;.

(1)求椭圆E的方程.

(2)过片的直线交椭圆E于/,8两点，在x轴上是否存在一定点产，使得西=4(焉+篇)，4为正

实数.如果存在，求出点尸的坐标；如果不存在，说明理由.

+5=1(。>6>0)过点(0,6),且离心率为

(I)求椭圆C的方程;

(H)过点尸且互相垂直的直线4,4分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求周:斜的取

值范围.

r2v2

32.(2023•西城区校级模拟)已知点/,8是椭圆片:彳+与=1("6>0)的左，右顶点，椭圆E的短轴长

ab

为2,离心率为——.

2

(1)求椭圆E的方程;

(2)点。是坐标原点，直线/经过点尸(-2,2),并且与椭圆E交于点“，N,直线与直线OP交于点7,

设直线为T,ZN的斜率分别为勺，k2,求证：“也为定值.

33.(2023•江西模拟)设椭圆E的方程为「+/=1(“>1),点。为坐标原点，点Z,8的坐标分别为(a,0),

a

(0,1),点M在线段N8上，满足|8A/|=2|M4|,直线。河的斜率为

4

(1)求椭圆的方程；

(2)若动直线/与椭圆E交于P,0两点，且恒有OP1。。，是否存在一个以原点。为圆心的定圆C,使

得动直线/始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由.

34.(2023•天津模拟)已知椭圆C：1+，=l(a>b>0)的离心率为孝，直线/:x=1与C交于M,N两

第8页(共77页)

点，且|A/N|=布.

（1）求C的方程；

（2）若C的左、右顶点分别为N,B,点。（不同于M,N）为直线/上一动点，直线8。分别与C

交于点尸，Q,证明：直线尸。恒过定点，并求出该定点的坐标.

r22

35.（2023•江西模拟）已知椭圆C:、+v4=l（a>6,0<b<2）的左、右焦点分别为耳，凡，点必在椭圆上,

a~b

T.

MF2rFtF2,若△〃耳g的周长为6,面积为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点用的直线/交椭圆于/,B两点,交y轴于P点，设力=4丽，方=否瓯，试判断4+4是否

为

定值？请说明理由.

36.（2023•兴庆区校级一模）已知椭圆C:5+g=l（a>6>0）的焦距为2,经过点（1,1）,若点尸是椭圆C

上一个动点（异于椭圆C的左右顶点），点N（-3,0）,£（-2,0）,尸（2,0）,直线PN与曲线C的另一个公共点

为。，直线EP与尸。交于点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：当点P变化时，点加恒在一条定直线上.

37.（2023•渝中区校级模拟）已知椭圆。:；+与=1的焦点在x轴上，它的离心率为［，且经过点

ab~2

P（孚&）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的左焦点为尸，过点尸的直线/与椭圆C交于/,B两点,且过点月，8和点0（0,半）的

圆的圆心在x轴上，求直线/的方程及此圆的圆心坐标.

22

38.（2023•兴庆区校级一模）如图所示，由半椭圆G：?+'■=收0）和两个半圆G：（x+l）2+/=l（y.O）、

6：。-1）2+_/=1（齐.0）组成曲线。：尸（苍了）=0,其中点4，4依次为£的左、右顶点，点8为G的下顶

点，点片，巴依次为G的左、右焦点.若点尸「且分别为曲线C3的圆心.

（1）求G的方程；

（2）若过点耳，鸟作两条平行线《，分别与G，G和C1，C3交与"，N和尸，Q,求|MN|+|PQ|的

最小值.

第9页（共77页）

y

(KYF2、

AAo]A1X

39.(2023•浙江模拟)已知双曲线E的顶点为4(-l,0),5(1,0),过右焦点尸作其中一条渐近线的平行线，

与另一条渐近线交于点G,且&苧.点P为x轴正半轴上异于点8的任意点，过点P的直线/交双

曲线于C,。两点，直线4C与直线80交于点

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)求证：OPOH为定值.

40.(2023•呼和浩特模拟)已知椭圆£■+4=1(4>6>0)的一个焦点为尸(2,0),且离心率6=

(1)求楠圆的标准方程；

(2)设点/、8是x轴上的两个动点，/(6,-1)且|ZA/|=|8M|,直线40、8M分别交椭圆于点尸、Q

(均异于M),证明：直线尸。的斜率为定值.

41.(2023•龙岩模拟)已知椭圆K:*+A=l(a>6>0)的左、右焦点分别为片(-2,0),K(2,0),过右焦点

ab

心的直线/交椭圆K于A/,N两点，以线段|帅|为直径的圆。与圆G：f+y2=8内切.

(1)求椭圆K的方程；

(2)过点M作A/ELx轴于点E,过点N作N0，x轴于点0,0M与NE交于点、P,是否存在直线/截得

APMN的面积等于亚？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

2

42.(2023•济宁一模)己知直线x+y+l=0与抛物线C:f=2外(p>0)相切于点/,动直线/与抛物线C交

于不同两点〃，N(M,N异于点、A),且以MN为直径的圆过点/.

(1)求抛物线C的方程及点A的坐标；

(2)当点/到直线/的距离最大时，求直线/的方程.

43.(2023•宁波模拟)已知双曲线C:「-E=l(a,b>0)的渐近线与曲线E:y=Lz+2相切.横坐标为f的

ab~2

点尸在曲线E上，过点P作曲线E的切线/交双曲线C于不同的两点/,B.

(1)求双曲线C的离心率；

(2)记48的中垂线交x轴于点是否存在实数I,使得N4PA/=30。？若存在，请求出/的值；若不存

第10页(共77页)

在，请说明理由.

丫22

44.（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线的实轴长为2夜，右焦点厂到双曲线

ab'

C的渐近线距离为1.

（1）求双曲线C的方程；

（2）点P在第一象限，P,0在直线y=g尤上，点、P,A,5均在双曲线C上，且ZQ_Lx轴，M在直

线/。上，P,M,3三点共线.从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①。是的中

点；②直线48过定点7（0,1）.

45.（2023•石家庄模拟）已知点P（4,3）在双曲线C:[-《=l（a>0,b>0）上，过尸作x轴的平行线，分别

ab

交双曲线C的两条渐近线于M,N两点，

（I）求双曲线C的方程；

（II）若直线/号=去+加与双曲线。交于不同的两点4,8,设直线P4,P8的斜率分别为尢，k2,从

下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线/过定点.

①占+&=1；②桃2=1•

46.（2023•广州模拟）已知椭圆C：W+^=im>6>0）的离心率为"，以C的短轴为直径的圆与直线

a2b22

y=ax+6相切.

（1）求C的方程；

（2）直线/:y=k（x-l）伏…0）与C相交于B两点,过C上的点尸作x轴的平行线交线段15于点0,直

线OP的斜率为1（。为坐标原点），A4P0的面积为的面积为邑，若14P凤=|8P|§，判断hl

是否为定值？并说明理由.

22

47.（2023•南充模拟）如图，己知力,8分别为椭圆加：=+与=1（。>6>0）的左，右顶点，尸（x0,孙）为

ab

椭圆M上异于点Z,8的动点，若力8=4,且A48P面积的最大值为2.

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）已知直线/与椭圆M相切于点PQ。，匕），且/与直线x=。和x=-a分别相交于C,。两点，记四边

形4BC。的对角线ZC,3。相交于点N.

问：是否存在两个定点与，F2,使得|NG|+|”|为定值？若存在，求不，行的坐标；若不存在，说明理

由.

第11页（共77页）

48.（2023•赣州模拟）已知抛物线C：V=2px（p>0）,尸为其焦点，点M（2,y0）在C上，且=4（0为

坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若8是C上异于点。的两个动点，当乙408=90。时，过点。作ON于，问平面内是否存在

一个定点0,使得|N0为定值？若存在，请求出定点。及该定值；若不存在，请说明理由.

22

49.（2023•杭州模拟）已知双曲线£:「-斗=15>0/>0）的离心率为百，并且经过点（正,2）.

a"b

（1）求双曲线E的方程.

（2）若直线/经过点（2,0）,与双曲线右支交于P、。两点（其中尸点在第一象限），点0关于原点的对称

点为N,点。关于y轴的对称点为8,且直线4P与8。交于点M,直线4B与尸。交于点N,证明：双曲

线在点P处的切线平分线段MN.

50.（2023•浦东新区模拟）己知椭圆C:=+4=1（〃>6>0）的离心率为立，且点（-2,a）在椭圆G上.

a'b'2

（1）求椭圆C1的方程；

（2）过点0（0,1）的直线/与椭圆£交于。，E两点，已知丽=2区，求直线/的方程；

（3）点P为椭圆G上任意一点，过点尸作G的切线与圆。2：》2+/=12交于/,B两点,设直线ON,OB

的斜率分别为占，电.证明：占•卷为定值，并求该定值.

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2023解几大题热点50题训练（答案）

参考答案与试题解析

解答题（共50小题）

1.（2023•五华区校级模拟）己知双曲线C:]-京=1（〃>08>0）的右焦点为尸，C的两条渐近线分别与

直线x=三交于4,8两点，且Z8的长度恰好等于点尸到渐近线距离的百倍.

C

（1）求双曲线的离心率；

（2）已知过点尸且斜率为I的直线/与双曲线交于M,N两点，。为坐标原点，若对于双曲线上任意一点

P,均存在实数义，H，使得丽=4两+〃丽，试确定4,〃的等量关系式.

【分析】（1）设直线x=4与x轴交于点Q,不妨取一条渐近线（：y=9x,求出|/8|,及点F到乙的距离

ca

d,由已知可得a,c的关系，进而可得离心率；

（2）由（1）可得双曲线C的方程为/-3/-3/=0,直线/：x=y+2b与双曲线方程联立，得到根与系

数的关系，结合已知，由向量的线性运算即可得解.

【解答】解：（1）设直线x=土与x轴交于点。，不妨取一条渐近线（：y=2x,

ca

1I

则tan4。。-,所以|/8|=2|OO|tanN/OD=，

ac

又F到4:bx-ay=0的距离d=J"=b,

所以|18|=辿=扬，即。=迫0,所以e=£=撞

c3a3

2-5

（2）由（1）可知,---a

3

所以。2=±/=/+/，所以1=3〃，

3

所以双曲线。的方程为a-g=l,BPx2-3y2-3b2^0,则尸（2仇0）,直线/:x=y+2b,

由"北2”心2，消去x可得一2y2+4勿+/=0,

[x-3y-3b~=0

设4/（占，必），NG，y）9则由根与系数的关系可得%+必=2b,yy=—,

2{2-2

设P（x,y）,则由丽=2两+〃丽，可得尸='*+"%,

[y=力,+〃了2

由点尸在双曲线上，可得（川+）2—3（肛+〃乂）2-3/=0,

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即22(x)2-3yf)+24〃(再9-3%必)+/?即-3货)-362=0,

2

因为x,x2-3%为=(必+26)(%+2b)-3必力=一2凹为+2b(乂+为)+4〃=9b,

x；-3%2=3b2,Xj-3货=3b2,

所以万+6A/z+/?=1.

【点评】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

2.(2023•江西模拟)已知点尸为抛物线C:/=2px(p>0)的焦点，点M(4,a)在抛物线上，且|FM=6.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F分别作两条互相垂直的直线与抛物线C分别交于/,B与P,。，记AJEP,她尸。的面积分

别为S2,求B+S2的最小值.

【分析】(1)利用定义法求出p,然后求解抛物线的方程；

(2)抛物线焦点弦的性质：过抛物线的焦点少的直线与抛物线交于点/,B,设4区，M)，B(X2,%),

联立直线与抛物线方程，推出切力，力乂均为定值.然后求解三角形的面积的和，利用基本不等式转化求

解即可.

【解答】解：(1)由点E为抛物线C：V=2px(p>0)的焦点，点M(4,a)在抛物线上，

|在A/|=6,知4+片6,

所以p=4,所以抛物线。的方程为j?=8x.

(2)由题意过点F分别作两条互相垂直的直线与抛物线C分别交于Z,B与P,Q,知直线力8与尸。的

斜率均不为0,

设4区，%)，B(X2,y2),P5,%),ON，y4),l^B:x=my+2,

联立I：""+2'消去x得V-8叩-16=0,则必+%=8"?,y,y2=-16,

[y=8x,

因为/8_LP。，用-■^替换机得为+乂=-刍,y3y4=-16,

mm

MFP,ABF。的面积分别为52,

22vtn2|m\

2

s2=^-\BF\-\QF\=^[+m\y2|xjl+乂|%|=\-^~\y2y4\，

22Vm21〃?I

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2

rrHi-c114-/HZ1....1+tn~i------------.1+nr,..1,lx_.

所以E+S2=£X^~「x(|必必\+\y2y4|)...-~1』必为力居h=-~—x16=16(--+|/H|)..32，

当且仅当」一=l"?I,即加=±l时等号成立.

Iwl

所以5+S2的最小值为32.

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力,

是中档题.

3.(2023•潍坊模拟)已知动点尸与两定点4(-2,0),4(2,0),直线P4与P4的斜率之积为-=，记动点P

的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设。(a,0)(l<a<2),E为直线x=2a上一动点，直线。E交曲线C于G,〃两点，若|G£||、\HE\.

|GE|、|〃£)|依次为等比数列也｝的第加、八p、夕项，且/w+〃=p+g,求实数。的值.

【分析】(1)设点尸坐标，依据题意列出等式，化筒可求出轨迹方程；

(2)依据等比数列的性质可得|G。|•|HE|=|GE|•||,代入弦长公式化简结合韦达定理可求出a的值.

【解答】解：(1)设动点P的坐标为(xj),

由题意得，我.长3

4

22

vv

化简得：---1-----=l(xw±2),

43

故所求C的方程为二+二=1("±2).

43

(2)设E(2a,/),fHO,设直线DE的方程为：y=-(x-a),

a

y=-(x-a),

a

消去得2一2222

设G(X1,M)，H(X2,y2),联立方程:22y(3/+4r)xSatx+4at-12a=0，

J/1

43

Sat24a2t2-l2a2

所以X]+%=x.x---------

3a2+4/223a2+4/

由题意得b,也=仙,

所以|GQ|-|HE|=|GE|・|〃D|,^\GD\-\HE\-\GE\-\HD\=Q,

22

即(14---7)Itl—x||2tz—x|—(1­1---7)I2a—X|||x—611=0,

a12a2

从而(a-x,)(2a-x2)-(2a-x,)(x2-a)=0，

2

所以2须入2-3(7(苔+x2)+4a=0,

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-4a2t2-12a2Sat2

即Hn2----：--------3a------+4矿2=0,

3/+4/3/+4/

所以a?=2,又1<a<2,a=-Jl,经检验满足题意.

【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

4.(2023•西安模拟)已知椭圆C:g+《=im>6>0)的焦点为月、F,,离心率为亚，直线/:x+y+m=0，

a-b2

片、鸟在直线/上的射影分别为M、N,S.\MN\=242.

(I)求椭圆c的标准方程;

(II)设直线/与椭圆C交于/、8两点，P(-2,0).求A48P的面积的最大值.

【分析】(I)由己知可得I6凡|=也，结合离心率可求椭圆C的标准方程;

cos—71

4

(II)联立方程组可得|/例=-V12-/M2,d=团,可得s5BP=,利用导数可

3A/23

求A/J8尸的面积的最大值.

【解答】解：(I)•.•直线/:x+y+w=O的斜率为-1,倾斜角为子,

网口=萃=4,即椭圆的焦距2c=4,c=2,

冗Ji

COS-L±

42

由椭圆的离心率为,W—=—=a=2-\/2,b-yja2-c2=2,

2aa2

「•椭圆C的标准方程为—+^-=1；

84

x+y+加=0

(II)由<J2，消去y,得3%2+4mx+2m2—8=o,

—+—=1

84

&X=(4m)2=4x3x(2m2-8)=-8(/-812)>0,得-273<加<2,

设力(X],必)，B(X2,y2),则*+工2=一等，XjX2—

|AB\=71+(-1)2xJ(-争2-4x2"；-8=口12-/

点尸(-2,0)到直线/的距离为d=匕与叨

J2

$MBP=万'八|AB|=—

设/(w)=(12-w2)(/n-2)2，(-26<m<2百)

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.../'(〃?)=-2m(m-2)2+(12-m2)x2(〃？-2)x1=-4(m-2)(w+2)(/n-3),

令f\m}=0>得机=—2,m=2,/n=3,

当加=2时，点P在直线/上，故机=2（舍去）,

当m变化时，.，（⑼与/（w）变化情况如下表，

m(-273,-2(-2,2)2(2,3)3(3,2两

-2)

+-+-

递增极大值递减0递增极大值