中国矿业大学《高等数学》课件-第一章

中国矿业大学（北京）高等数学第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限中国矿业大学理学院

张汉雄

第一章二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.简称集简称元表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:是B的子集

,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或二、映射某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.引例2.定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称

f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.引例2,3引例2引例2例1.海伦公式(满射)

定义域三、函数1.函数的概念定义5.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为称为值域函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

函数的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；例4.

已知函数解:及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.(见P11)(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记说明:

给定则偶函数奇函数(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x

为有理数x为无理数3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:使其中2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数当改两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,

默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17–P20)非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当

设函数

x

换为f(x)例5.解:内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构

作业

P214(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18

2.函数的定义及函数的二要素第二节且备用题证明证:

令则由消去得时其中a,b,c

为常数,且为奇函数.为奇函数.1.

设2.

设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为

第一章二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S

(刘徽割圆术)

,当n

>

N时,用其内接正

n

边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为整标函数，记作称为数列。若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:即或则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束将依照自然数n的顺序排列得到的序列例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取机动目录上页下页返回结束例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为

0.机动目录上页下页返回结束二、收敛数列的性质证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式机动目录上页下页返回结束例4.

证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:

设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.设在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列（或子列）。设在数列中，第一次抽取第二次在后抽取这样无休止的抽取下去，得到一个子数列显然*********************证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K=N,于是当时,有从而有由此证明*********************机动目录上页下页返回结束刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学

校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,

第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.

测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求确定直接观测值精度:定义1.

设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

A

为函数当时的极限,或即当时,有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:几何解释:例1.证明证:故对任意的当时,因此总有例2.证明证:欲使取则当时,必有因此只要例3.

证明证:故取当时,必有因此例4.

证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有2.保号性定理定理1.若且

A>0,证:

已知即当时,有当

A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:(P37定理3´)分析:定理2.

若在的某去心邻域内,且则证:

用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:

若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.(P39题*11)例5.

给定函数讨论时的极限是否存在.解:

利用定理3.因为显然所以不存在.定义2

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A

为曲线的水平渐近线.A

为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限例6.

证明证:取因此注:就有故欲使只要直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3

作业

P371;4;*5(2);*6(2);*9Th1Th3Th2是否一定有第四节？

第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则二、两个重要极限一、极限存在准则第六节机动目录上页下页返回结束极限存在准则

第一章两个重要极限

第一章都是无穷小,第七节引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.无穷小的比较二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节机动目录上页下页返回结束函数的连续性与间断点

第一章可见,函数在点一、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

.例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有机动目录上页下页返回结束对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束例1.

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动目录上页下页返回结束例2.设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.解:机动目录上页下页返回结束例3.

设

f(x)

定义在区间上,,若f(x)在连续,解:且对任意实数证明f(x)

对一切

x

都连续

.机动目录上页下页返回结束在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但

不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义

;机动目录上页下页返回结束间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例4.机动目录上页下页返回结束判断下列函数间断点的类型显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束例5.

确定函数间断点的类型.解:

间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例6.

设函数试确定常数a

及b.机动目录上页下页返回结束例7.

求的间断点,并判别其类型.解:

x=–1为第一类可去间断点

x=1为第二类无穷间断点

x=0为第一类跳跃间断点机动目录上页下页返回结束内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续函数.机动目录上页下页返回结束答案:x=1是第一类可去间断点,3.P65题*8定义.若则称

是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比低阶的无穷小;则称

是的同阶无穷小;则称

是关于的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作例如

,

当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且例1.

证明:当时,～证:～例2.

证明:证:因此即有等价关系:说明:

上述证明过程也给出了等价关系:～～定理1.证:即即例如,～～故定理2.

设且存在,则证:例如,设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),(2)和差代替规则:例如,例如,(见下页例3)

例3.求解:原式例4.求解:例5.

证明:当时,证:利用和差代替与取大规则说明内容小结1.无穷小的比较设,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小2.等价无穷小替换定理思考与练习Th2P59题1,2

作业

P593;4

(2),(3),(4);5

(3)

常用等价无穷小:第八节一、数列极限存在准则

1.两边夹准则

(准则1)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故机动目录上页下页返回结束例1.证明证:利用两边夹准则.且由机动目录上页下页返回结束2.单调有界数列必有极限

(准则2

)(证明略)机动目录上页下页返回结束例2.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有机动目录上页下页返回结束大大正又比较可知机动目录上页下页返回结束根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.原题目录上页下页返回结束又故极限存在，例3.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4.

设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法思考与练习1.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动目录上页下页返回结束*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束二、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系机动目录上页下页返回结束定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使(P37定理4)例5.

证明不存在.p63

证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.机动目录上页下页返回结束2.函数极限存在的夹逼准则定理2.且(与数列的夹逼准则证明类似,此处略.)机动目录上页下页返回结束圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注注目录上页下页返回结束注当时目录上页下页返回结束例6.

求解:例7.

求解:

令则因此原式机动目录上页下页返回结束例8.

求解:

原式=例9.

已知圆内接正n

边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用机动目录上页下页返回结束2.证:当时,设则机动目录上页下页返回结束当则从而有故说明:

此极限也可写为时,令机动目录上页下页返回结束例10.

求解:

令则说明

：若利用机动目录上页下页返回结束则原式例11.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束的不同数列内容小结2.函数极限与数列极限关系的应用

利用数列极限判别函数极限不存在法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在.机动目录上页下页返回结束1.极限存在准则3.两个重要极限或注:

代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束时,有一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.例1.求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.

若推论:

若且则(P46定理5)利用保号性定理证明.说明:

定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:

令定理4

.若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)例2.

设

n次多项式试证证:(详见书P44)定理5.

若且B≠0,则有定理6

.

若则有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.

x=3时分母为0!例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:

若不能直接用商的运算法则.例4.

若例5.

求解:

x=1时,分母=0,分子≠0,但因例6

.

求解:分子分母同除以则“抓大头”原式