新教材高考数学重难强化训练4（含解析）（选修2）

重难强化训练(四)导数的应用(60分钟100分)练易错易错点1|忽视导数为零的情况致误[防范要诀]f′(x)>0⇒函数y＝f(x)为增函数，但反之，当函数y＝f(x)是增函数时，f′(x)≥0，此处常会因漏掉导数等于零的情况致误．[对点集训]1．(5分)函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是()A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)B解析：y＝x＋xlnx的定义域为(0，＋∞)，令y′＝2＋lnx<0，得0<x<e－2，即原函数的单调递减区间为(0，e－2)．2．(5分)若函数f(x)＝ax3－x是R上的减函数，则()A．a<0 B．a≤0C．a<eq\f(1,3) D．a≤eq\f(1,3)B解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)＝ax3－x在R上递减，∴f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，故a≤0.3．(5分)若f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上递增，则a的取值范围是()A．[－1,0] B．[－1，＋∞)C．[0,3] D．[3，＋∞)D解析：f′(x)＝2x＋a－eq\f(1,x2)≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－2x恒成立．因为y＝eq\f(1,x2)－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内递减，所以ya≥3.易错点2|由极值求参数时因未检验致误[防范要诀]可导函数在x0处的导数为0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件，故已知极值求函数时，由f′(x)＝0求出的参数的值要进行检验，否则易出错．[对点集训]4．(5分)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，那么()A．a＝－3，b＝3B．a＝4，b＝－11C．a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11D．以上均不正确B解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－3，,a2＋a＋b＝9，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))经检验，当a＝－3，b＝3时，x＝1不是极值点，故a＝4，b＝－11.5．(5分)函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C．(0，＋∞) D．(－∞，3)B解析：y′＝3x2－2a.要使函数在(0,1)内有极小值，必有ay′＝3x2－2a＝0，得x＝±eq\r(\f(2,3)a).当x<－eq\r(\f(2a,3))时，y′>0；当－eq\r(\f(2,3)a)<x<eq\r(\f(2,3)a)时，y′<0；当x>eq\r(\f(2,3)a)时，yx＝eq\r(\f(2,3)a)时取得极小值．令0<eq\r(\f(2,3)a)<1，得0<a<eq\f(3,2).练疑难6．(5分)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()A．f(x)在(－3,1)上单调递增B．f(x)在(1,3)上单调递减C．f(x)在(2,4)上单调递减D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增C解析：由f(x)的增减性与f′(x)的正负之间的关系进行判断，当x∈(2,4)时，f′(x)<0，故f(x)在(2,4)上单调递减，其他判断均错．7．(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x－9的两个极值点为x1，x2，则x1x2＝()A．9 B．－9C．1 D．－1D解析：令f′(x)＝3x2＋2ax－3＝0，则x1，x2就是其两个根．由根与系数的关系知x1x2＝eq\f(－3,3)＝－1.8．(5分)已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为eq\f(15,4)，则a等于()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)C解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得xa≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不符合题意．当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．9．(5分)函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a，g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))A解析：设h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈(1,3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．当x＝3时，函数h(x)取得最小值．因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，则有h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．10．(5分)设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为()A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,\f(V,π))C．eq\r(3,4V) D．eq\r(3,\f(V,2π))D解析：设底面圆半径为r，高为h，则V＝πr2h.∴h＝eq\f(V,πr2).∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·eq\f(V,πr2)＝2πr2＋eq\f(2V,r).∴S表′＝4πr－eq\f(2V,r2).令S表′＝0得，r＝eq\r(3,\f(V,2π)).又当r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(3,\f(V,2π))))时，S表′<0；当r∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))，V))时，S表′>0.∴当r＝eq\r(3,\f(V,2π))时，表面积最小．11．(5分)设F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2016)>e2016f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2016)<e2016f(0)C解析：∵函数F(x)＝eq\f(fx,ex)的导函数F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2016)<e2016f(0)．故选C．12.(5分)设函数f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减.13.(5分)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；③函数f(x)在x＝－eq\f(1,2)处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法是________(填序号)．①④解析：从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，于是f′(x)<0，当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，故函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②③错误；由于f(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．故填①④.14.(10分)判断函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数．解：∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内有且只有一个零点.15.(10分)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，求b的取值范围．解：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．∵f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)，∴－x＋eq\f(b,x＋2)≤0.∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.16.(15分)设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f′(x)＝xex＋eq\f(1,2)x2ex＝eq\f(ex,2)x(x＋2)．由eq\f(ex,2)x(x＋2)>0，解