新教材高考数学第三章导数及其应用1考点2导数几何意义及应用1练习（含解析）（选修2）_第1页
新教材高考数学第三章导数及其应用1考点2导数几何意义及应用1练习（含解析）（选修2）_第2页
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文档简介

考点2导数几何意义及应用（2018·江苏卷）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）＝x与g（x）＝x2＋2x－2不存在“S点”；（2）若函数f（x）＝ax2－1与g（x）＝lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）＝－x2＋a，g（x）＝bexx.对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x【解析】（1）证明函数f（x）＝x，g（x）＝x2＋2x－2，则f′（x）＝1，g′（x）＝2x＋2.由f（x）＝g（x）且f′（x）＝g′（x），得x＝因此，f（x）与g（x）不存在“S点”．（2）函数f（x）＝ax2－1，g（x）＝lnx，则f′（x）＝2ax，g′（x）＝1x设x0为f（x）与g（x）的“S点”，由f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），得ax02得lnx0＝－12，即x0＝e－12，则a＝12当a＝e2时，x0＝e－1即x0为f（x）与g（x）的“S点”．因此，a的值为e2（3）对任意a＞0，设h（x）＝x3－3x2－ax＋A．因为h（0）＝a＞0，h（1）＝1－3－a＋a＝－2＜0，且h（x）的图象是不间断的，所以存在x0∈（0,1），使得h（x0）＝0.令b＝2x03函数f（x）＝－x2＋a，g（x）＝be则f′（x）＝－2x，g′（x）＝be由f（x）＝g（x）且f′（x）＝g′（x），得-即-x此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0,1）内的一个“S点”．因此，对任意a＞0，存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，＋∞）内存在“S点”．【答案】见解析（2018·全国Ⅱ卷（文））曲线y＝2lnx在点（1,0）处的切线方程为________．【解析】因为y′＝2x，y′|x＝1所以切线方程为y－0＝2（x－1），即2x－y－2＝0.【答案】2x－y－2＝0（2018·全国Ⅰ卷（文））设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x【解析】方法一∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋A．又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）恒成立，即－x3＋（a－1）x2－ax＝－x3－（a－1）x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选D．方法二∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋a为偶函数，∴

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