2022年广东惠东高考数学倒计时模拟卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定点耳(一4,0),乙(4,0),N是圆O:V+y2=4上的任意一点，点E关于点N的对称点为M，线段耳M的

垂直平分线与直线F,M相交于点P,则点p的轨迹是()

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

2.已知等差数列｛《,｝中，%=7,%。+%=°，则。3+%=()

A.20B.18C.16D.14

211

3,已知函数/(%)是奇函数，且.f(x)-广(x)=ln(l+x)-ln(l-x)—「y,若对Vxe/，/］，|/(办+。|<|/(%T)|

恒成立，则。的取值范围是()

A.(-3,-1)B.M,-l)C.(-3,0)D.«0)

4.已知抛物线C：y2=lpx(口>0)的焦点为尸，为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C的准线

相切于点A,N/M=120。，则抛物线方程为（）

A.y1-2xB.y1=4-xC.y~=6xD.y2=8x

--------1--------UUUlUUIU

5.已知AABC是边长为3的正三角形，若BD=§BC,则A〃BC=

315

A.----B.—

22

315

C.-D.——

22

6.已知函数〃%）=（111双-1乂/+--4）,若x>（）时，f（x）N0恒成立,则实数。的值为（）

/、x+10x4-1,x<0/、/、/、

7.设函数,f(x)=।।「若关于x的方程=有四个实数解%(i=l，2,3,4),其中

X,<x2<X3<x4,贝|(玉+々)(七一七)的取值范围是(

A.(0,101]B.(0,99]C.(0,100]D.(0,4-oo)

8.已知复数二满足z(l-1)=2,其中i为虚数单位，则z—1=().

A.iB.-iC.1+zD.1-Z

9.等比数列｛叫，若%=4,须=9则%=()

13

A.±6B.6C.-6D.

2

10.在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E,F分别为43,8。的中点，则方后.丽=()

13515

A.-----B.-C.5D.

444

11.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,

共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019

年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述镣误的是()

=赵口0-iana——WQI81S-ifiDOia

A.这五年，出口总辨之和比进口总题之和大

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

12.如图网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为

()

C.273D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

\x2+5x+4|,x<0,.

13.已知函数=,1，若函数y=/(x)-“W恰有4个零点，则实数”的取值范围是________.

2|x-2|,x>0

14.若直线区-，-左+2=。与直线x+0—2攵-3=0交于点则0尸长度的最大值为一.

15.已知边长为46的菱形ABCD中，NA=60。，现沿对角线折起，使得二面角A-BD—C为120。，此时点A,

B,C,。在同一个球面上，则该球的表面积为.

16.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：.

X4-4

Whitei<10

x<-x+2i

BadWhile

Print9*="X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛q｝是等差数列，前”项和为S“，且§5=3%,%+/=8.

(1)求.

(2)设a=2"q,求数列也｝的前"项和

18.(12分)已知x>0,y>0,z>0,f+y2+z2=],证明：

(1)(x+y)-+(y+z)-+(x+z)~”4；

(2)—l--1—>1+2-^xy+2>/xz+2Jyz.

xyz

19.(12分)已知/(x)=|ox+2].

(1)当a=2时，求不等式/(x)>3x的解集；

2

(2)若/⑴,，M,/(2)„M,证明：

20.(12分)已知函数，(x)=|x-l|+|x+l]-2.

(1)求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式/。).."一。-2在R上恒成立，求实数。的取值范围.

21.(12分)已知函数/(x)=x3-3ar+e,g(x)=l-lnx,其中e为自然对数的底数.

(1)讨论函数.f(x)的单调性;

(2)用max{九〃}表示〃&〃中较大者，记函数/z(x)=max{/(x),g(x)},(x>0).若函数〃(x)在(0,+。)上恰有2个

零点，求实数。的取值范围.

22.(10分)若函数/(x)=e*—aeT-初比(加6/?)为奇函数，且x=小时f(x)有极小值/(%).

(1)求实数。的值与实数〃，的取值范围；

?

(2)若/(X。)2-1恒成立，求实数机的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.

【详解】

因为线段KM的垂直平分线与直线相交于点P,如下图所示：

F2M

所以有PF]=PM=PF2—MF2,而O,N是中点，连接ON,故MF『2ON=4,

因此「玛―=4(4〈与耳)

当N在如下图所示位置时有，所以有尸片=PM=P6+MK，而O,N是中点，连接。N,

故MF[=2ON=4,因此Pf；—「玛=4（4〈工耳），

综上所述：有|助一「段=4（4＜鸟耳），所以点P的轨迹是双曲线.

故选：B

【点睛】

本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.

2.A

【解析】

设等差数列｛4｝的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差，进而求得4+%即可.

【详解】

z、[cu=7,\CL+4t/=7,[a,=15,

设等差数列％｝的公差为由5八得……、解得c•所以

I，，[al0+a7=0[q+9d+q+6d=0[d=-2

a3+a4-2at+5d=2x15+5x（-2）=20.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解，属于基础题.

3.A

【解析】

先根据函数奇偶性求得了(x),ra),利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.

【详解】

因为函数/W是奇函数，

所以函数/'(%)是偶函数.

2

/(-x)-f\-x)=ln(l-x)-ln(l+x)--——-,

1-x

2

即一/(X)-f\x)=ln(l-x)-ln(l+幻--~£，

1-x

又/(X)-/'(X)=ln(l+x)-ln(l-x)-,

1-x

2

所以/(x)=ln(l+x)—ln(l—x),f\x)=-----

1-x

2

函数/a)的定义域为所以/a)=；~>o,

1-xr

则函数fM在(-1,1)上为单调递增函数.又在(0,1)±,

/(x)>/(0)=0,所以|/(x)|为偶函数，且在(0,1)上单调递增.

i|/（6ZX+1）|<|/（X-1）|,

可得'J」］」'对、口151恒成立'

I2।

+<1-X1—<。<一1

二对工€已,力恒成立,,

则2

——<a<0262

——<na<Q

x

-3<«<-1

得1

[-4<«<0

所以。的取值范围是(一3,-1).

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.

4.C

【解析】

根据抛物线方程求得M点的坐标，根据M4//X轴、N/M=120。列方程，解方程求得。的值.

【详解】

不妨设M在第一象限，由于M在抛物线上，所以M,由于以M为圆心的圆与C的准线相切于点A，根据

抛物线的定义可知，|则=|"尸|、M4//X轴，且F30.由于NAMr=120。，所以直线”r的倾斜角a为1201

所以""F=tanl2(r=平*=-6,解得〃=3,或“(由于＜—《＜(),〃＞1,故舍去).所以抛物线的方程

----322

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

5.A

【解析】

由丽=!册可得而=而+丽=而+1而，因为△A6c是边长为3的正三角形，所以

33

ADBC={AB+-BC)BC=AB-BC+-B^=3x3cosl200+-x32故选A.

3332

6.D

【解析】

通过分析函数y=lnar-l(x＞0)与〉=/+如-4(》＞0)的图象，得到两函数必须有相同的零点f,解方程组

In«r-l=0

即得解.

Q?+at—4=0

【详解】

如图所示，函数丫=皿0¥-1（工>0）与丁=/+0¥_4（X>0）的图象,

因为X>0时，/（x）20恒成立,

于是两函数必须有相同的零点/,

In1=0

所以《

a2+"-4=0

解得

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

7.B

【解析】

画出函数图像，根据图像知：西+々=-10,用距=1，5《七<1，计算得到答案.

【详解】

x2+10x+LX<0

/（力=<|lgx|,x>0，画出函数图像,如图所示:

根据图像知：故玉%且七＜

%1+%2=-10,lgx3=-lgx4,4=1，141・

（1、

故（芭+工2）（演一工4）=-10巧——€（0,99].

\7

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.

8.A

【解析】

先化简求出Z,即可求得答案.

【详解】

因为z(l_j)=2,

2=2(l+i)2(l+i)

所以z=

1-z(l-z)(l+z)2

所以z-l=l+i-l=i

故选：A

【点睛】

此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.

9.B

【解析】

根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.

【详解】

由等比数列中等比中项性质可知，a3-al5=a^,

所以为=土他.小=±736=±6,

而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以。9=6,

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.

10.B

【解析】

据题意以菱形对角线交点。为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出方友丽，再根据坐标形式下向量的数量

积运算计算出结果.

【详解】

设AC与交于点。，以。为原点，丽的方向为X轴，场的方向为y轴，建立直角坐标系，

则d

《一;,—l),D(1,O),屁=卜川，前=卜|,一1),

―■―-95

所以DEDF=一一1=-.

44

故选：B.

【点睛】

本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直

接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.

11.D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确;

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

12.C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为A。，算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为A3=26

故选：C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(1,3)

【解析】

函数y=/(x)-恰有4个零点，等价于函数f(x)与函数y=a忖的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用

数形结合思想进行求解即可.

【详解】

函数y=/(x)-a|x|恰有4个零点，等价于函数f(x)与函数.y=a|x|的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图

故答案为：(1,3)

【点睛】

本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.

14.272+1

【解析】

根据题意可知，直线丘-y-Z+2=0与直线x+6-2左-3=0分别过定点A,B，且这两条直线互相垂直，由此可知，其交

点P在以A3为直径的圆上，结合图形求出线段OP的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线狂_y_2+2=0可化为Z（x_l）+2-y=0,

所以其过定点A（l,2）,

直线x+@-2Z-3=0可化为x-3+A（y-2）=0,

所以其过定点B（3,21且满足匕1+（—1）/=0,

所以直线区一）—左+2=0与直线x+h一2%—3=0互相垂直,

其交点P在以AB为直径的圆上，作图如下：

结合图形可知，线段OP的最大值为\OC\+1,

因为C为线段AB的中点，

所以由中点坐标公式可得C（2,2）,

所以线段0P的最大值为2夜+1.

故答案为:272+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定

义得到交点P在以AB为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

15.112万

【解析】

分别取BO,AC的中点M,N,连接MN,由图形的对称性可知球心必在肱V的延长线上，设球心为。，半径为

R,ON=x,由勾股定理可得x、R2,再根据球的面积公式计算可得；

【详解】

如图，分别取8。，AC的中点N,连接MN,

则易得AM=CM=6,MN=3,MD=26CN=36，

由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上,

R?=f+27

设球心为。，半径为R,ON=x,可得解得x=l,R2=28.

心=(X+3)2+12'

故该球的表面积为S=4万R2=112万.

故答案为：112万

【点睛】

本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.

16.1

【解析】

根据程序框图直接计算得到答案.

【详解】

程序在运行过程中各变量的取值如下所示:

是否继续循环X

循环前4

第一圈是44+2

第二圈是74+2+8

第三圈是104+2+8+14

退出循环,所以打印纸上打印出的结果应是：1

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)。,,=2(〃-3)⑵7；=(〃-4)2+2+16

【解析】

⑴由数列｛叫是等差数列，所以S5=5%,解得%=0,又由2+4=8=2%，解得，/=2,即可求得数列的通项

公式；

⑵由(1)得"=2"“,=(〃一3>2向，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和.

【详解】

⑴由题意，数列｛%｝是等差数列，所以$5=5%,又S5=3.3，，%=0,

由%+4=8=2%,得色=4,所以%-4=2d=4,解得d=2,

所以数列的通项公式为4=%+(〃-3”=2(〃一3).

⑵由(1)得勿=2"4=(〃-3>2叫

234n+I

7；=(-2)-2+(-l)-2+0-2+---+(n-3)-2>

27；=(-2)-23+(-1)•24+•••+(n-4)-2n+1+(n-3)-2n+2,

两式相减得27；-7；=2•22-⑵+2"+…+2'1+,)+(〃-3)•22，

=8—8。-.)

+(n-3)-2B+2=(n-4)-2n+2+16»

即7；=(〃-4)-2"+2+16.

【点睛】

本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项

公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形

结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

18.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得xy+yz+4,1,而(x+y>+(y+z)2+(x+z)2=2+2(xy+yz+zx),,4,即得证；

(2)首先推导出x+y+z>l,再利用！+L+,=(!+,+'](x2+y2+z2),展开即可得证.

xyzyxyz)x/

【详解】

证明：(1)•.•Y+y2+z2=l,

：.2xy+2yz+2xz„x2+_y2+y2+z2+z2+x2=2(x2+y2+z2J=2,

xy+yz+江，1,

/.(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=2(x?+y2+z?)+2(Ay+yz+zx)=2+2(盯+yz+zx)„4(当且仅当％=V=2时

取等号).

(2)vx>0,y>0,z>0,x2+y2+z2=1,

/.(x+y+z)2=x2+y2+z24-2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz+2yz>1,

x+y+z>1,

111f111\222、

xyzyzp)

y2z2x2z2x2y2

=x+—+—+—+y+—+—+—+z

xxyyzz

(22\/22\/22\

=(x+y+z)+^-+—+—+—+—+^~>1+2向+2、Gz+2y[yz,

(xy)(xz)[yz)

—l-------1—>1+2,-Jxy+2,xz+2Jyz.

xyz'

【点睛】

本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力,属于中档题.

19.(1)(一8,2)⑵见证明

【解析】

(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；

(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.

【详解】

⑴解:当4=2时，不等式/(x)<x可化为2x+2>3x.

2

当xW-1时，-2x-2>3x,x<--,所以xW-1；

当x>-l时，2x+2>3x,-1<x<2.

所以不等式/(x)>3x的解集是(-oo,2).

(2)证明：由/(2)<M,得M»a+2],M>\2a+2|，

3M=2M+〃之2,+2|+12Q+2],

X2|«+2|+|2a+2|>|4-2|=2,

2

所以3M22,即

【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.

33

20.(1){%|x?Q或xN]}；(2)—

【解析】

⑴利用绝对值的几何意义，将不等式转化为不等式。x<一-l21或1-1<X<1或匕[x>-12却求解.

(2)根据。-2在K上恒成立，由绝对值三角不等式求得f(x)的最小值即可.

【详解】

(1)原不等式等价于

x<-l(x>1

-2x-2>l^1o>l[2x-2>l，

33

解得：xW—二或转;，

22

33

.•.不等式的解集为｛x|x?/或xN,.

(2)因为/(无)2/一。_2在我上恒成立，

而/(x)=U-H+|x+l|-2>|(x-l)-(x+l)|-2=0,

所以矿一a—240,解得一lVa<2,

所以实数。的取值范围是—lWaW2.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21.(1)函数/(X)的单调递增区间为(-8,-6)和(石,+8),单调递减区间为(-6,、7)；(2)a〉dl

【解析】

(1)由题可得/'(力=3x2-3a，结合a的范围判断了'(x)的正负，即可求解;

(2)结合导数及函数的零点的判定定理，分类讨论进行求解

【详解】

(1)/f(x)=3x2-3a,

①当心0时,/(x)>0,

函数/(x)在(-oo,+8)内单调递增；

②当a>0时，令f(x)=3(x+Ja)(x-8)=0，解得x=-y/a或x=4a,

当x<—6或x>6时，/'(x)>。，则fM单调递增，

当—&<x<G时,/'(x)<0,则f(x)单调递减，

••・函数/(X)的单调递增区间为(-8,-G)和(布,+8)，单调递减区间为(-JZ,右)

(2)(I)当xe(0,e)时,g(x)>0,//(x)..g(x)>0,所以〃(x)在(0,e)上无零点；

(H)当x=e时,g(e)=0J(e)=e3-3ae+e,

①若f(e)=e，-3ae+e„0,BP，则e是h(x)的一个零点；

②若/(e)=e3-3ae+e>0,^a<，则e不是h(x)的零点

3

(皿)当xe(e,+8)时,g(x)<0,所以此时只需考虑函数/(A-)在(e,+8)上零点的情况，因为

/'(x)=3x2-3a>3e2一3a,所以

①当@e?时J(x)>0"(x)在(e,+8)上单调递增。又/⑹=/-3ae+e,所以

(i)当二时,/(e)..0J(x)在(e,+8)上无零点；

3

p2,1

(ii)当<a4e?时,/(e)<0,又f(2e)=Se3-6ae+e..8e3-6e2+e>0>0,所以此时fW在(e,+8)上恰有一

个零点；

②当a>e2时,令/'(x)=0,得x=±五，由/'(幻<(),得e<x(右；由/'⑴>得x>石,所以/(幻在(e,&)上单

调递减，在(、G,+QO)上单调递增，

因为/(e)=/-3ae+e<e3-3e3+e<0,/(2G)=8a3-6a2+e>Sa2-6a2+e=2a2+e>0,所以此时/(x)在

(e,+8)上恰有一个零点,

综上,a>-----

3

【点睛】

本题考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数处理零点个数问题，考查运算能力，考查分类讨论思想

22.(1)a—\t(2,+oo)；(2)—

【解析】

(1)由奇函数可知/(x)+〃-x)=O在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数”的值；对函数进行求导，

g(x)=f\x)=e