35-直角三角形-课件

直角三角形本课内容本节内容3.53.5.1直角三角形的性质和判定1.如图3-57，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=？说一说

∠A+∠B=90°.图3-572.在图3-58的Rt△ABC中，如果∠A+∠B=90°，

那么△ABC是直角三角形吗？由三角形内角和性质，∠A+∠B+∠C=180°，因为∠A

+∠B=90°，所以∠C=90°，于是△ABC是直角三角形.图3-58结论有两个角互余的三角形是直角三角形.直角三角形的判定定理：如图3-59，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，度量并比较CD，AB，AD，BD的长度.你能发现什么结论？探究图3-59CD=

；AD=

；BD=

；AB=

；CD=

AB.DBDBADAD+DB是否任意一个Rt△ABC都有成立呢？我们来验证一下.图3-60如图3-59，如果中线，则有∠ACD=∠A.于是受到启发，在图3-60中，过Rt△ABC的直角顶点C作射线CD′交AB于D′，使∠1=∠A，则有

(等角对等边)图3-60直角三角形两个角等于90°又因为∠A+∠B=90°，(

)

∠1+∠2=90°，所以∠B=∠2.于是得(等角对等边).故得所以D′是斜边AB的中点，即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′与CD重合，并且有结论在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形的性质定理：举例例1如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形.已知：如图3-61，CD是△ABC的AB边上的中线，且.求证：△ABC是直角三角形.图3-61根据直角三角形的判定定理.图3-61证明：因为，所以∠1=∠A，(等边对等角)

∠2=∠B.根据三角形内角和性质，有

∠A+∠B+∠ACB=180°，即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，2(∠A+∠B)=180°.所以∠A+∠B=90°.根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形.练习如图3-62，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.图3-62证明：因为AB∥CD，所以∠BAC+∠DCA=180°.又，，所以所以△AHC是直角三角形.在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线，所以有，由EH=2易知AC=4.如图3-63，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？动脑筋图3-63

证明：取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线.D则有因为∠A+∠B=90°，且已知∠A=30°，则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形，于是得BC=CD=BD=AB.结论在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.图3-63D你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的这条性质吗？如图3-64，在Rt△ABC中，如果

，那么∠A等于多少？动脑筋图3-64

证明：取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边上的中线，则有D又已知，所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形，于是∠B=60°.而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.结论在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.图3-64D举例例2在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图3-65所示.该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？图3-65图3-65证明：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20海里，则轮船就不会触暗礁.在图3-65中，过A点作AD⊥OB，垂足为D.在Rt△AOD中，海里，∠AOD=30°.于是

所以轮船不会触礁.北东BD60°练习图3-66是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算出电梯AB的长度吗？图3-66答：AB=12米.3.5.2直角三角形全等的判定判定两个直角三角形全等，除了可以运用一般三角形全等的判定定理外，是否还有别的判定方法呢？探究现在我们来探究下面的问题：图3-67不符合三角形全等的判定定理的条件，所以它们不全等.你说的不对，可以用前面的三角形全等的判定定理来说明它们全等.如图3-67，在Rt△ABC和中，已知，，，那么Rt△ABC和全等吗？因为

，可以把经过平移、旋转或轴反射，使的像和AC重合，并使点的像和B落在AC的两旁.图3-68证明：因为∠ACB=90°.，所以∠BCB′=∠ACB+∠ACB′=180°.故B，C，(C′)，B′在同一条直线上.因为AB=A′B′=AB′，所以∠B=∠B’.(等边对等角)在Rt△ABC和中，由于，

∠B=∠B’，，所以Rt△ABC≌.(AAS)结论

斜边、直角边定理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).直角三角形全等的判定定理：这个定理的条件，实际就是已知两边和其中一边的对角对应相等，在前面P.75中“动脑筋”已经探究过，具备这样条件的两个一般三角形并不一定全等.小提示举例例3如图3-69，在△ABC中，∠ABC的平分线BM和∠BCA的平分线CN相交于点P.证明：过点P作PD，PE，PF

分别垂直于AB，BC，AC，垂足分别为D，E，F.求证：（1）点P到三角形的三边的距离相等；图3-69DFE因为BM为∠ABC的平分线，点P在BM上，所以PD=PE(角平分线上的点到角的两边的距离相等.)同理PE=PF.所以PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，AC的距离相等.（2）点P在∠BAC的平分线上.证明：连结AP.图3-69DFE在Rt△ADP和Rt△AFP中，因为PD=PF，AP=AP，(公共边)

所以Rt△ADP≌Rt△AFP.()于是∠1=∠2.所以AP为∠BAC的平分线，即点P在∠BAC的平分线上.12HL结论到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.从例3中，你还可以得出什么结论吗？说一说三角形三条内角平分线相交于一点.图3-69练习1.下面说法是否正确？为什么？答：不对.（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；（2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.答：对，可根据“SAS”证明这两个三角形全等.2.如图3-70，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分BAC.请说明理由.图3-70因为∠1=∠2，所以BD=CD.又因为AD=AD(公共边)，所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).

则有∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.证明：中考试题例1

如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）.A.150°

B.130°

C.120°

D.100°因为BE，CD是ABC的高，所以∠BDP=90°，∠BEA=90°.又∠A=50°

，所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°=40°.所以∠BPC=∠ABE+∠BDP=90°

+40°=130°.故，应选择B.解B中考试题例2

如图所示，