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工程电磁场基本概念回顾及习题课第1章矢量分析与场论基础(1)等值面;(2)矢量线;(3)方向倒数与梯度的关系;(4)无源场或无散场;(5)无旋场(1)标量场的等值面设标量场(M是空间的连续函数,那么通过所讨论空间的任何一点M0,可以作出这样的一个曲面S,在它上面每一点处,函数u(M的值都等于u(M0),即在曲面S上,函数n(M保持着同一数值u(M0),这样的曲面S叫做标量场u的等值面。等值面的方程为式中,C为常数。给定C的一系列不同的数值,可以得到一系列不同的等值面,称为等值面族电位场是一个标量场,由电位相同的点所组成的等值面叫做等电位面。(2)矢量线所谓矢量线,是指其上每一点处曲线的切线方向和该点的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方向矢量线的切线方向与场矢量的方向相同,所以矢量线方程又可以用矢量式表示为d×A=0直角坐标系下drd矢量线方程ArAyA.在电磁场中,电场强度线和磁感应强度线都是矢量线习题1-41-4求矢量场A=y2ex+x2ye,+y2xe:的矢量线方程。解:由题意可知v,A=y即AAAdxdydxdz.可得x-y2=C1,x=C2x(联立3)方向倒数与梯度的关系如果在标量场中任一点M处,存在矢量G,其方向为场函数u(x,y,z)在M点处变化率最大(方向导数最大)的方向其模|G|是这个最大变化率的数值,则称矢量G为标量场u(x,y,z)在点M处的梯度,记为gradu=GgraduGOay方向导数等于梯度在该方向上的投影,表示为di-gradu.e,=IgraduIcoso图1-3-2方向导数、梯度与等值面习题1-51-5设(M)=3x2+x2-2yz+2xx,求:a(M)在点M(1.0,2.0,3.0)处沿矢量lye+zey+xye:方向的方向导数。解:x+2z=12,27=-6oLl=xye.xze.+xyeM=2z-2y+2x=4,2e.+3e+2e余弦cosa=70=7y=57所以方向导数为214×12+-6+4177√17(4)无源场应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况在M点,若dvA>0,则表明M点有正源若divA<0,则表明M点有负源若divA=0,则表明该点无源如果在场中处处有divA=0,则称此场为无源场或无散场。二二二二二直角坐标系中divAaAaAaA散度的计算公式ax习题11818求标量场=xy了的梯度场的散度解:由题意可知,Ou=AX2所以梯度graw=3xyz2ln+4xy2z2,+2xyz所以梯度场的散度为div(grd)=6xy4z2+12xy2z2+2xy2xy2(3y2+6x2+x2y(5)无旋场矢量的旋度仍为矢量,是空间坐标点的函数点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。点P的旋度的方向是该点

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