山西省太原市古交武家庄中学高三数学理月考试题含解析

山西省太原市古交武家庄中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=(

)A．10 B．8 C． D．参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正切，利用两角和的正切函数求出tan∠APB．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T=，最大值为1，过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选B．【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目．2.函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是()(A)(-,+∞) (B)(-,1)(C)(-,) (D)(-∞,-)参考答案：B略3.在中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C4.已知函数f（x）=，则f（0）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数表达式，先运用第二个解析式，再由第一个解析式，结合对数的运算性质即可得到．【解答】解：函数f（x）=，则f（0）=f（2）=log22﹣1=1﹣1=0．故选B．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，注意运用各段的范围是解题的关键，属于基础题．5.设函数，则不等式的解集是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A6.函数的零点一定位于区间（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：A7.如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为()A． B

C．

D．参考答案：B如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，

在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|

∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴,求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．8.=

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D9.设A=，B=，从集合A到集合B的映射中，满足的映射有（

）A.27个 B.9个

C.21个 D.12个参考答案：C10.点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：D如图，以为原点，以，，方向为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，（其中，），∴的取值范围是．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为，则称该三角形为“完美三角形”．有关“完美三角形”有以下命题：（1）存在直角三角形是“完美三角形”（2）不存在面积是整数的“完美三角形”（3）周长为12的“完美三角形”中面积最大为；（4）若两个“完美三角形”有两边对应相等，且它们面积相等，则这两个“完美三角形”全等．以上真命题有______．（写出所有真命题的序号）．参考答案：（3）（4）．

（3）设，则，可得，

化为，解得，即，当且仅当时取等号，

可得周长为12的“完美三角”中面积最大为，是真命题；

（4）设，①若夹角的两条边分别相等，满足条件，则此两个三角形全等；

②若夹角其中一条边相等，由于面积相等，夹角另一条边必然相等，可得：此两个三角形全等．因此是真命题．以上真命题有（3）（4）．

故答案为：（3）（4）．考点：命题真假判断，合情推理【名师点睛】本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、新定义、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.设，若，则实数的取值范围是

．参考答案：13.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第10行第3个数字是

．参考答案：略14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取

名学生.参考答案：20略15.已知a＞0，(x–)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x–)6的展开式中各项系数和为

（用数字作答）．参考答案：1

【知识点】二项式定理的应用．J3解析：∵a＞0，(x–)6的二项展开式中，常数项等于60，∴通项Tr+1=C6r（﹣a）rx6﹣3r，当6﹣3r=0时，r=2，常数项是C6r（﹣a）r=60∴a=2，令x=1，得到二项式展开式中各项的系数之和是1，故答案为：1．【思路点拨】写出二项式的通项，令x的指数等于0，求出r的值，给x赋值，做出二项式展开式的各项系数之和．16.在中，角所对的边分别是，若，，且，则的面积等于

．参考答案：

17.观察下列不等式，……照此规律，第五个不等式为

.

参考答案：.

通过观察易知第五个不等式为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分18分)（理）已知函数。（1）求函数的定义域和值域；（2）设（为实数），求在时的最大值；（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为

…………2分又由≥0得值域为

…………4分（2）因为令，则，∴()+t=

…………6分由题意知g(a)即为函数的最大值。注意到直线是抛物线的对称轴。…………7分因为a<0时,函数y=m(t),的图象是开口向下的抛物线的一段，①若，即则

…………8分②若，即则…………10分③若，即则

…………11分综上有

…………12分（3）易得，

…………14分由对恒成立，即要使恒成立，…………15分，令，对所有的成立，只需

…………17分求出m的取值范围是.

…………18分19.圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS?kAN为常数．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）设，，，根据向量关系，用的坐标表示的坐标后，将的坐标代入圆的方程可得的轨迹方程；（2）设出直线的方程并代入椭圆方程，利用韦达定理以及斜率公式得为常数.【详解】（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），由．得代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；当SN的斜率存在时，设斜率为k，则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0?k2＞2设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则kAS?kAN＝＝，故kAS?kAN为常数.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系和椭圆中的定值问题，属中档题．20.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（Ⅰ）两数之和为5的概率；（Ⅱ）两数中至少有一个为奇数的概率.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(Ⅰ)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以 P(A)＝＝.答：两数之和为5的概率为.

6分(Ⅱ)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－＝.答：两数中至少有一个为奇数的概率为.

12分21.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有零点，求的最大值。参考答案：（1）

在上是减函数，在上是增函数。

（2）由（1）,在上的最小值为

在上无零点。

而

时，在上有零点，

的最大值为略22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1．记点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.参考答案：（Ⅰ）设点，依题意得，即，化简整理得.

故点M的轨迹C的方程为

（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记，.依题意，可设直线的方程为由方程组

可得

①（1）当时，此时把代入轨迹C的方程，得.故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.（2）当时，方程①的判别式为.

②设直线与轴的交点为，则由，令，得.

③（ⅰ）若由②③解得，或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨