初中数学图像探究题

第1页（共1页）图像探究题补充一．解答题（共12小题）1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝9．问题提出（1）如图①，D、E是分别是AB、AC两边上中点，则＝．问题探究（2）若在AB上找一点M使得AM＝AB，在AC上找一点N使得CN＝AC，点D是直线MN上的一个动点，过A作AE⊥AD．使AD：AE＝1：3，求BE的最小值．问题解决（3）如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场ABCD，其中AB＝300m，BC：CD＝3：5，BC⊥CD，BC∥AD，且∠BAD＜90°．其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员希望这片区域面积尽可能大，试求△ABC的最大面积．2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…﹣a﹣2﹣4b﹣4﹣2﹣﹣…（1）列表，写出表中a，b的值：a＝，b＝；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．3．参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…9m1014n…其中，m＝，n＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①当y＝1时，x＝，当y＝3时，x＝；②若直线y＝b与该函数图象有且只有一个交点，则b的取值范围是．4．在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数y1＝的图象与性质并利用图象解决如下问题：列出y1与x的几组对应的值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…m01210n…（1）根据表格中x、y的对应关系可得m＝，n＝；（2）用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：；（3）直接写出当函数y1的图象与直线y2＝kx+1有三个交点时，k的取值范围是．5．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式→画函数图象→利用函数图象研究函数性质→利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点，或平移，或翻折的方法画函数图象．小明根据学到的函数知识探究函数y1＝的图象与性质，并利用图象解决问题．小明列出了y1与x的几组对应的值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y1…42m242n…（1）根据表格中x，y1的对应关系可得m＝，n＝；（2）在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描各个点，画出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的一条性质．（3）当函数y1的图象与直线y2＝mx+1有三个交点时，直接写出m的取值范围．6．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣2.5﹣2﹣10122.53…y…31.25m﹣10﹣101.253…其中，m＝．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出1条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有个实数根；②方程x2﹣2|x|＝2有个实数根．③函数y＝x2﹣2|x|的图象与y＝a有至少有3个交点时，a的取值范围是．7．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y＝的图象性质．（1）补充表格，并画出函数的图象．①列表：x…﹣3﹣10235…y…﹣1﹣2﹣441…②描点并连线，画图．（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：；（3）函数y＝的图象是由函数y＝的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为；（4）根据上述经验，猜一猜函数y＝+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围．8．数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象和性质进行了研究，探究过程如下．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下．x…﹣3﹣2﹣1012345…y…8m02n208…其中，m＝，n＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的剩余部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点；②方程|x2﹣x﹣2|＝1有个实数根；③当关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝p有3个实数根时，p的值是．9．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是除0外的全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣6﹣3﹣2﹣11236…y…12m66321…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴交点情况是，所以对应方程的实数根的情况是．②方程有个实数根；③关于x的方程有2个实数根，a的取值范围是．10．问题：探究函数y＝x+的图象和性质．小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是：；（2）如表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：x…﹣3﹣2﹣﹣1123…y…﹣3﹣3﹣3﹣4423…（3）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；（4）进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）．11．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明根据已学的函数知识对函数y1＝的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…420242﹣﹣4…（1）请写出a，b的值；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的图象；（3）直线y2＝x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．12．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如图所示，探究过程如下：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是．（2）对于函数y，y与x的几组对应值如表：x…﹣1﹣0.500.51.522.53…y…0.5m12﹣2﹣1n﹣0.5…在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y），并补全函数的图象（画出方格内部分函数图象即可）．其中，m+n＝；（3）观察图象，写出函数的一条性质：．（4）结合图象填空：当关于x的方程＝a（x﹣1）有两不相等的实数根时，实数a的取值范围是；当关于x的方程＝a（x﹣1）无实数根时，实数a的取值范围是．

图像探究题补充参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝9．问题提出（1）如图①，D、E是分别是AB、AC两边上中点，则＝．问题探究（2）若在AB上找一点M使得AM＝AB，在AC上找一点N使得CN＝AC，点D是直线MN上的一个动点，过A作AE⊥AD．使AD：AE＝1：3，求BE的最小值．问题解决（3）如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场ABCD，其中AB＝300m，BC：CD＝3：5，BC⊥CD，BC∥AD，且∠BAD＜90°．其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员希望这片区域面积尽可能大，试求△ABC的最大面积．【解答】解：（1）∵D、E是AB，AC的中点，∴BD＝3，CE＝，∴；故答案为：．（2）∵AM＝AB＝2，BM＝4，CN＝AC＝3，AN＝6，∴，当D在M上时，，当D在MN上时，BE1＜BE2，2≤AD≤6，当点D在点N时，BE＝AB+AE＝AB+3AN＝6+18＝24，由图可知，当D由M到N时，AD变大，则AE的长度变大，∴BE变大，当BE垂直于NE时最短，BN＝6，EN＝，BE最小值为＝＝，（3）当∠BAD＝90°时，∵BC∥AD，∴四边形ABCD是矩形，∵，∴BC＝180（m），∴（m2），∵，过点B作BE⊥AD于E，∴，∴当S矩形BCDE最大时，S△ABC最大，在Rt△ABE中，BE≤AB，∴BE最大时，BE＝AB，即∠DAB＝90°，∴（m2），故△ABC的面积最大是27000m2．2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…﹣a﹣2﹣4b﹣4﹣2﹣﹣…（1）列表，写出表中a，b的值：a＝﹣，b＝﹣6；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数y＝﹣的图象关于y轴对称；②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数y＝﹣x﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．【解答】解：（1）x＝﹣3、0分别代入y＝﹣，得a＝﹣＝﹣，b＝﹣＝﹣6，画出函数的图象如图：，故答案为：﹣，﹣6；（2）根据函数图象：①函数y＝﹣的图象关于y轴对称，说法正确；②当x＝0时，函数y＝﹣有最小值，最小值为﹣6，说法正确；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．（3）由图象可知：不等式﹣＜﹣x﹣的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．3．参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…9m1014n…其中，m＝4，n＝1．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①当y＝1时，x＝﹣2，0，3，当y＝3时，x＝﹣1+，﹣1﹣；②若直线y＝b与该函数图象有且只有一个交点，则b的取值范围是b＞0或b＝4．【解答】解：（1）将x＝﹣3代入y＝x2+2x+1（x≤1）中得：y＝（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝4，∴m＝4，将x＝3代入y＝（x＞1）中得：y＝＝1，∴n＝1，故答案为：4；1；（2）如图即为所求，（3）由图可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①当y＝1时，将y＝1代入y＝x2+2x+1或y＝中得，，由①得：x＝0或x＝﹣2；由②得：x＝3，故答案为：﹣2，0，3；当y＝3时，将y＝3代入代入y＝x2+2x+1或y＝中得，，解得，x＝﹣1+或x＝﹣1﹣或x＝1（舍去），故答案为：﹣1+，﹣1﹣；②∵直线y＝b与图象有且只有一个交点∴b＞4或b＝0．4．在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数y1＝的图象与性质并利用图象解决如下问题：列出y1与x的几组对应的值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…m01210n…（1）根据表格中x、y的对应关系可得m＝﹣1，n＝；（2）用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：当x≤0或x≥2时，y随x增大而增大，当0＜x＜2时，y随x增大而减小；（3）直接写出当函数y1的图象与直线y2＝kx+1有三个交点时，k的取值范围是＜k＜0．【解答】解：（1）当x＝﹣3时，m＝y＝2﹣＝﹣1，当x＝3时，n＝y＝＝；故答案为：﹣1，．（2）当0≤x＜2时，y＝2﹣x．当x＜0时，y＝2+x．当x≥2时，y＝．如图，可得当x≤0或x≥2时，y随x增大而增大，当0＜x＜2时，y随x增大而减小．故答案为：当x≤0或x≥2时，y随x增大而增大，当0＜x＜2时，y随x增大而减小．（3）如图，∵直线y2＝kx+1经过定点（0，1），∴当直线y2＝kx+1与x轴交点在点（2，0）右侧时满足条件，即﹣＞2，＜k＜0．故答案为：＜k＜0．5．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式→画函数图象→利用函数图象研究函数性质→利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点，或平移，或翻折的方法画函数图象．小明根据学到的函数知识探究函数y1＝的图象与性质，并利用图象解决问题．小明列出了y1与x的几组对应的值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y1…42m242n…（1）根据表格中x，y1的对应关系可得m＝0，n＝1；（2）在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描各个点，画出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的一条性质当x＜﹣2时，y随x的增加而减小．或当﹣2＜x＜0时，y随x的增加而增大．或当x＞0时，y随x的增加而减小．．（3）当函数y1的图象与直线y2＝mx+1有三个交点时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵y1＝，∴x＝﹣2时，m＝|2×（﹣2）+4|＝0．∵x＝0时，y1＝4，∴b＝4，∴x＝3时，n＝1，故答案为：0，1．（2）函数图象如图所示（图中实线）．性质：①当x＜﹣2时，y随x的增加而减小．②当﹣2＜x＜0时，y随x的增加而增大．③当x＞0时，y随x的增加而减小．故答案为：当x＜﹣2时，y随x的增加而减小．或当﹣2＜x＜0时，y随x的增加而增大．或当x＞0时，y随x的增加而减小．（3）由，消去y得到：mx2+（m+1）x﹣3＝0，当△＝0时，m2+14m+1＝0，解得m＝﹣7+4或﹣7﹣4（舍弃），当直线y＝mx+1经过（﹣2，0）时，m＝，观察图象可知，函数y1的图象与直线y2＝m+1有三个交点时，m的取值范围0≤m＜或﹣7+4．6．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣2.5﹣2﹣10122.53…y…31.25m﹣10﹣101.253…其中，m＝0．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出1条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；②方程x2﹣2|x|＝2有2个实数根．③函数y＝x2﹣2|x|的图象与y＝a有至少有3个交点时，a的取值范围是﹣1＜a≤0．【解答】解：（1）根据函数的对称性，m＝0，故答案为：0；（2）描点画出如下函数图象：（3）函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；（4）①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2﹣2|x|＝0有3个根，故答案为：3，3；②设y＝x2﹣2|x|，从图象看y＝2与y＝x2﹣2|x|有两个交点；故答案为：2；③函数y＝x2﹣2|x|的图象与y＝a有至少有3个交点时，a的取值范围是﹣1＜a≤0，故答案为：﹣1＜a≤0．7．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y＝的图象性质．（1）补充表格，并画出函数的图象．①列表：x…﹣3﹣10235…y…﹣1﹣2﹣441…②描点并连线，画图．（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小；（3）函数y＝的图象是由函数y＝的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为（1，0）；（4）根据上述经验，猜一猜函数y＝+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围1＜x≤5．【解答】解：（1）①x＝3时，y＝＝2．②图象如图所示：（2）当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．（3）函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位得到．y＝的对称中心为（1，0）．故答案为（1，0）（4）数y＝+2的图象是由y＝的图象向上平移2个得到，y≥3时，1＜x≤5．故答案为1＜x≤5．8．数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象和性质进行了研究，探究过程如下．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下．x…﹣3﹣2﹣1012345…y…8m02n208…其中，m＝，n＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的剩余部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有2个交点；②方程|x2﹣x﹣2|＝1有4个实数根；③当关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝p有3个实数根时，p的值是．【解答】解：（1）将x＝﹣2，y＝m代入y＝|x2﹣x﹣2|中，得m＝，将x＝1，y＝n代入y＝|x2﹣x﹣2|中，得n＝，故答案为：；；（2）用光滑的曲线连接得，（3）由函数图象可知，y＝|x2﹣x﹣2|的最小值为0；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；（4）①由函数图象可知，函数图象与x轴有两个交点，故答案为2；②如图，直线y＝1与函数图象有4个交点，∴方程|x2﹣x﹣2|＝1有4个实数根，故答案为：4；③当x＝1时，y＝|x2﹣x﹣2|＝，如图，直线y＝与函数图象有3个交点，∴当关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝p有3个实数根时，p＝，故答案为：．9．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是除0外的全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣6﹣3﹣2﹣11236…y…12m66321…其中，m＝3．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴交点情况是无交点，所以对应方程的实数根的情况是无实数根．②方程有2个实数根；③关于x的方程有2个实数根，a的取值范围是a＞0．【解答】解：（1）把x＝﹣2代入得，y＝3，∴m＝3，故答案为：3；（2）函数y＝的图象如图所示（3）性质：该函数图象关于y轴对称；（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴交点情况是无交点，所以对应方程的实数根的情况是无．②方程有2个实数根；③关于x的方程有2个实数根，a的取值范围是a＞0，故答案为无交点，无实数个；2；a＞0．10．问题：探究函数y＝x+的图象和性质．小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是：x≠0；（2）如表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：x…﹣3﹣2﹣﹣1123…y…﹣3﹣3﹣3﹣443233…（3）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；（4）进一步探究：结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）．【解答】解：（1）因为分母不为零，∴x≠0；故答案为x≠0．（2）x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝3；故答案为3，3．（3）如图：（4）观察坐标的特点，可得出函数图象是一个关于原点成中心对称的图形；11．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明根据已学的函数知识对函数y1＝的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…420242﹣﹣4…（1）请写出a，b的值；（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角