2022届高考数学必练题

2022年高考数学考前必练题

1.如图，在三棱锥P-AB。中，平面fi4Q_L平面AB。，且AP=PD=BD=2,AB=2®

PAA.PD.

(I)求证：APLBD：

(II)求二面角B-PA-D的余弦值；

2

(HI)在线段PD上是否存在点E,使得直线AE与平面以B所成角的正弦等于g,若存

在，求线段的长；若不存在，说明理由.

【分析】(I)根据8O_LA。和可证明8Z)_L平面物。，进而证明AP_L8O；

(II)建系，求出平面BAP和平面APO的法向量，求出两个法向量夹角的余弦值，进

而求出二面角B-AP-D的余弦值

(///)设在线段上是否存在点E,PE=XPD,求出兄'=£>+而=(-V2-V2A,

0,近一声船，再表示出线面角的正弦值，求出入=袈40,1],所以存在.

【解答】解：(I)证明：在中，因为AP=PO=2,APLPD,所以4。=2鱼，

所以在△A8D中，AD^+BL^^AB2,所以3£>_LAO,

又因为平面用O_L平面48D,平面B4OC平面A8O=A£),3Ou平面ABO,

所以平面力。，又APu平面以。，所以B£>J_AR

(II)如图，设AD的中点为O,AB的中点为C,连接OP,OC,易知04,OC,0P

两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则

A(-V2,0,0),B(-V2,2,0),P(0,0,V2)

所以G=(-V2,0,V2),AB=(-2V2,2,0),

设平面ABP的一个法向量m=(x,y,z),

则jm•"=0,...广9+岳=0,取x=i,则y=『,z=l,即m=(1,61),

(薪.4B=01-2ex+2y=0

平面布。的一个法向量/=(0,1,0),

所以cosvU,n>)=工"1=苧’

由图知二面角B-AP-。为锐二面角，所以其余弦值为—

2

2-

(HI)设在线段尸。上是否存在点E,使得直线AE与平面PAB所成角的正弦等于9PE=

—>

XPD,

又D(-V2,0,0),P(0,0,V2)所以访=(-V2,0,-V2),所以而=(-V2A,

0,-V2A),

AE=AP+PE=(-V2-V2A,0,V2-V2A),

由(〃)知平面ABP的一个法向量m=(1,V2,1),

TT-V2-V2A+V2-"V2A

cos<AE,m>=|—i=

2x

解得入=零5日0,1],所以在线段PC上是否存在点E,使得直线AE与平面以B所成

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面垂直的判定定理，考查空间向量的应用,

考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题.

2.如图，在三棱柱ABC-4B1C1中，平面A8C，平面ABBiAi,AC1AB,，为棱BBi上的

点，满足4H_L88i.

(1)求证：平面AC1C4；

⑵若AC=A8=A4=2,乙4148=奇，求二面角A-BBi-Cj的正切值.

B

【分析】(1)先证明4C_L平面ABB1A1,进一步4c_1_4”，再证明AiH_L44i,进而可

证结论.

(2)先作出二面角的平面角，再求解.

【解答】(1)证明：•.•平面ABC_L平面ABB\A\,ACVAB,平面ABCC平面ABB\Ai^

AB,ACu平面ABC,

.♦.ACL平面ABB14,又ACiHu平面AMiAi,

：.AC-LA\H,

'：AiH±BBi.A\A//BB\,：.AiH±AA\,

.•.又AA1PAC=4,

.•.4"，平面Ai。。；

(2)连接Ci”,由(1)知AC!■平面ABBNi,

所以NCiHAi为二面角A-BB\-Ci的平面角，

"：AC=AB=AA\^2,AArAB=1,所以4担=8，4iCi=2

在RtZ\4HCi中，可得tan/CiH4i=?多=:=弓W

【点评】本题考查证明线面垂直的方法和用定义法求二面角的大小的方法，属基础题.

3.如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，441，底面A8C,。为BC的中点，点尸为棱BBi上

的动点（不包括端点），AB=AC=V5,BC—2,AA\—2.

（1）求证:AC_L平面BCCiBi；

（2）求直线8。与平面B4C所成角的正弦值的最大值.

【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明；

（2）将线面角问题转化为空间向量夹角问题求解.

【解答】（/）证明：因为A8=AC,BD=CD,所以A。，8c.

因为A4_L底面ABC,AOu平面4BC,所以A41_LAD

又因为4Ai〃BB,

所以BBdAD.

因为A£>_L8C,ADlBBi,BCCBBi=B,BC,BBicYWBCC\B\,

所以4£>_L平面BCC\B\.

（2）如图，取81。的中点E,连接。E.

由BC=CQ,BiE=Cj£可得QE_L平面ABC,

又由8c_LA£>,可得A。，BC,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.

由AB=,BD=CD=\,可得AQ=2,

所以D(0,0,0),B(1,0,0),C(-b00),A(0,2,0),C\(-1,0,2).

设点P的坐标为(1,0,/?)(0</?<2),平面%C的法向量为力=((x,y,z),

由&=(1,2,0),CP=(2,0,h),

彳ijm-CA=x+2y=0

\m-CP=2x+hz=0

取x=2〃，则y=-/?,z=-4,可得平面%C的法向量蔡=(2/i,-h.,-4),

又由垸'i=(一2,0,2),

设直线BC\与平面PAC所成的角为e,

2

由薪•BCr=-4h-8,\m\=V5/i+16,|8七|=2&,

-jt-.4/i+8>/2(/i+2)

句:sinQ0-j।,

2j2xj5/i2+16;5庐+16

令力+2=Z(2V/V4),有〃=/-2,

所以，sin0=i]==「=-)======<彳/=-r^~，

J5(t-2)+16J5t2-20t+36卜聋+詈J36G一船+等~

故当/=当时，4=I，sinB的最大值为邛^,

故直线BCi与平面PAC所成角的正弦值的最大值是汇画.

10

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，空间向量夹角公式在解决空间角问题上的应

用，属于中档题.

X2V2

4.如图，已知O为坐标原点，B,。为双曲线J=一y7=1上的两点，4,A2为双曲线

a2b2

T的左、右顶点，若，从①双曲线工的焦距为4,②双曲线工上一点到两焦点距

离之差的绝对值为2次，③双曲线的渐近线方程为y=±?x,从这三个条件中任选两个,

补充在横线上，解答下面的问题.

(1)求双曲线T的方程：(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，)

(2)已知点T(-l,0),点B在第一象限，且B,C关于y轴对称，直线A2B,A2c分

别交y轴于点M，N,求证：ZOTN=ZOMT.

【分析】(1)分别选①②，②③，①③列出方程，求出小人的值，进而求出双曲线的方

程；

(2)设8的坐标，由题意可得C的坐标，由(1)可得A2的坐标，然后求出直线A2B,

42c的方程，由题意得到M,N的坐标，进一步证明NO7W=/OMT.

【解答】解：(D选①②：可得2c=4,2a=2M，

所以。=遮，c=2,后=，-cP=4-3=1

可得双曲线的方程为：不一尸=1；

选①③：可得2c=4,-=—,c2=a2-b2所以々2=3,Z?2=l,

a3f

x2

可得双曲线的方程为：三一)’2=1；

选②③：由题意可得2〃=2g，-=所以j=3,b2=\,

a3

x2

可得双曲线的方程为：

(2)证明：由(1)可得Ai(-V3,0),A2(V3,0),

由题意，设8(xo,yo),xo>O,yo>O,C(-xo,yo),

将B的坐标代入双曲线的方程，可得手一并2=1,

所以直线A2B的方程为丫=一也后(X-V3),

令x=0,可得彳=二，，所以M(0,

XQ-y/3Xo-v3

直线A2c的方程为丁=―r-(x—V3),

-%0-v3

令x=0,可得)，=色劣，即N(0,3土),

x0+V3x0+V3

一®0V^yo

因为kTN,kTM==-1,

2

0+10+1X0-3

所以TNLTM,又MN工OT,

所以/OTN=NOA/T.

【点评】本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合，考查了方程思想和转化思想,

属于中档题.

、X2V2

5.设直线与椭圆的方程分别为y=2x+6与兆+娓=1,问6为何值时.

(1)直线与椭圆有一个公共点；

(2)直线与椭圆有两个公共点；

(3)直线与椭圆无公共点.

【分析】联立直线与椭圆的方程，得到关于x的方程，然后求出^,

(1)令△=(),求出b的值即可得到答案；

(2)令△>(),求出方的范围即可得到答案；

(3)令△<(),求出。的范围即可得到答案.

y=2%+b

22，可得13f+12bx+3反-乃=0,

17x5+fye=1

则/k=(126)2-4X13⑶2-75)=12(325-b2),

(1)令△=□(325-b2)=0,解得b=±5g,

故当人=±5g时，直线与椭圆有一个公共点；

(2)令△=%(325-廿)>0,解得一5vHVb<5代，

故当-5g<b<5VH时，直线与椭圆有两个公共点；

(3)令△=口(325-b1)<0,解得匕<-5旧或b>5g,

故当bV-5m或b>5g时，直线与椭圆无公共点.

【点评】本题考查了直线与椭圆位置关系的判断，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问

题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用方程的根以及韦达定理进行解题，考查

了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

6.下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，

请你思考后，将答案补充完整.

2

(1)圆O：上点M(xo,yo)处的切线方程为_yoy+xox=r_.理由如下：

见解析.

22

(2)椭圆丁+二=1(«>/?>0)上一点(xo,yo)处的切线方程为+当戈=1；

a2b2'a2b2

x2

(3)P(m,〃)是椭圆L：y+/=1外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为

A,B,如图，则直线A3的方程是_三-+ny=1_.这是因为在A(xi,yi),B(.xi,

y2)两点处，椭圆L的切线方程为+y1y=1和—1—+y2y=1.两切线都过P点，

所以得到了蜉+=1和蜉+y2n=1，由这两个“同构方程”得到了直线AB的

方程;

(4)问题(3)中两切线以，PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为(x

-tn),由"c得(1+3必)/+6k(«-km)x+3(n-km)2-3=0,

(.x+3yz—3

化简得△=()得(3-nr')xi+2mnk+\-n2=0.

若以则由这个方程可知P点一定在一个圆上，这个圆的方程为/+y2=4.

(5)抛物线丁=2度(p>0)上一点(xo,川)处的切线方程为yoy=p(xo+x)；

(6)抛物线C：，=4y,过焦点F的直线/与抛物线相交于A,8两点，分别过点A,B

作抛物线的两条切线Z1和/2,设AGi,yi),灰%2,"),则直线/1的方程为xix=2(yi+y).直

线12的方程为x〃=2(*+y),设/1和12相交于点M.则①点M在以线段AB为直径的

圆上；②点M在抛物线C的准线上.

♦•koM=-1

【分析】(1)若切线的斜率存在时，设切线的斜率为％,则%一工，求出七然后

0M

,~x0

利用点斜式直线方程求解即可，验证当切线的斜率不存在时也适合，即可得到切线的方

程；

(3)通过椭圆L的切线方程为^^+y^y=1和+y2y=1都过点p,由这两个“同

构方程”即可得到了直线A8的方程；

(4)设切线朋，P8的统一表达式为(x-m),与椭圆方程联立，得到△=(),

利用两条直线垂直的充要条件以及韦达定理得到心•心=在哈=-1,即可得到圆的方

程.

【解答】解：(1)圆O：上点M(xo,yo)处的切线方程为y()y+=产.

理由如下：

(k-k=-1

①若切线的斜率存在，设切线的斜率为匕则)。“0=M%

所以k=一筌，

Vo

又过点M（xo,yo）,

由点斜式可得，y-yo=-等（x-xo）,

y。

2

化简可得，yoy+xox=x0+y02，

又%（）2