第6章拉普拉斯方程和格林函数法课件

6.1拉普拉斯方程边值问题的提法第6章拉普拉斯方程的格林函数法三维拉普拉斯方程作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，应用得较多的是如下两种边值问题.（1）第一边值问题

在空间中某一区域的边界上给定了连续函数，要求这样一个函数上与已知函数相重合，即，

它在闭域

(或记作)上连续，在内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域

内找一个调和函数，它在边界

上的值为已知.（2）第二边值问题在某光滑的闭曲面

上给出连续函数，要求寻找这样一个函数

在该点的值：它在中是调和函数，在上连续，在上任一点处法向导数存在，并且等于已知函数第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.以上两个边值问题都是

区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.6．2格林公式设是以足够光滑的曲面为边界的有界区域，

在上连续的，在的奥-高公式内具有一阶连续偏导数的任意函数，

则成立如下下面来推导高斯公式的两个推论.设函数和在上具有一阶连续偏导数，在内具有连续的二阶偏导数.

在高斯公式中令则有上式称为第一格林公式，在上式中交换

位置，则得————第二格林公式利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质.(i)调和函数的积分表达式设是内某一固定点，求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解

为中心，以充分小的正数为半径的球面由于在内有奇异点,我们作一个以在内挖去所包围的球域得到区域（如图），在内是连续可微的.为调和函数

在公式(4.9)中取取，并以代替该公式中的，得#因为在内而在球面上

因此同理可得将此两式代入(#)可得现在令

则得(ii)牛曼内问题有解的必要条件设是在以为边界的区域内的调和函数，为所给的调和函数，取，就得到上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取在由此可得牛曼内问题有解的必要条件为函数满足

(iii)平均值公式设函数在某区域内是调和的，是内任一点，表示以为中心，以为半径，且完全落在区域内部的球面，则成立下列平均值公式证明

将调和函数的积分表达式应用于球面

且有(iv)拉普拉斯方程解的唯一性问题即证利用格林公式讨论拉普拉斯方程解的唯一性问题，可以证明如下的结论：（1）狄利克莱问题的解是唯一确定的；（2）牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的.以

表示定解问题的两个解，则它们的差

必是原问题满足零边界条件的解，对于狄氏问题，满足（*）对于牛曼问题，满足（**）在格林第一公式中取

则得由条件(*)或(**)得故在

内必有

对于狄氏问题，由6．3格林函数在格林第二公式中取

均为调和函数，则得

将上式与积分表达式相减得如果能选取调和函数

使满足

于是有令则

称为拉普拉斯方程的格林函数.如果格林函数一经求得，并且它在闭区域

内存在连续的一阶偏导数，则狄氏问题的解若存在，这个解必然能表示为对于泊松方程的狄氏问题而言，若存在解，这个解必可表示为求解拉普拉斯方程或泊松方程的狄氏问题就转化为求此区域内的格林函数.6．4两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解6.4.1半空间的格林函数求解：首先找格林函数

在半空间

的

点置

单位正电荷，

并找出

关于

平面的对称点

如图：在

点置

单位负电荷，

则它与点的单位正电荷所产生上互相抵消，因此的电位在平面就是半空间的格林函数.计算

6.4.2球域的格林函数设有一球心在原点，半径为

的球面

在球内连并延长至使任取一点点称为关于球