变分问题学时课件

变分问题变分问题1Outline3.1泛函概念3.2变分及变分方程3.3变分问题及Euler边值问题3.4约束条件下的变分问题3.5线性算子方程化为变分方程3.6波动方程标准变分原理3.7波动方程修正变分原理3.8波动方程广义变分原理Outline3.1泛函概念2泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以看成是函数概念的推广．设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x)，有另一个数J[y]与之对应，则称J[y]为y(x)的泛函．3.1泛函概念泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以3泛函不同于复合函数，例如g=g(f(x))．对于后者，给定一个x值，仍然是有一个g值与之对应；对于前者，则必须给出某一区间上的函数y(x)，才能得到一个泛函值J[y]．(定义在同一区间上的)函数不同，泛函值当然不同．为了强调泛函值J[y]与函数y(x)之间的依赖关系，常常又把函数y(x)称为变量函数．泛函不同于复合函数，例如g=g(f(x))．对于后者，给4变分问题学时课件5泛函是函数空间到数值空间的映射，取不同的函数形式，得到不同的泛函值。泛函一般都是取包含该函数的定积分形式。U(x)是定义在[x1,x2]上的可取函数的集合。上式从积分的角度讲，J是x的积分函数，但从泛函的角度讲，J是变量x和U（x）可取形式的双变量函数泛函是函数空间到数值空间的映射，取不同的函数形式，得到不同的6如果变量函数是二元函数u(x;y)，则泛函为如果变量函数是二元函数u(x;y)，则泛函为73.2变分原理或泛函极值问题先回忆一下有关函数极值的概念．3.2变分原理或泛函极值问题先回忆一下有关函数极值的概念8可以用同样的方法定义泛函的极值．可以用同样的方法定义泛函的极值．9变分问题学时课件10泛函取极值等价于一阶变分等于零，与Euler微分方程等价泛函取极值等价于一阶变分等于零，与Euler微分方程等价113.3变分问题及Euler边值问题泛函取极值又称为泛函驻定，由于变分方程与Euler方程等价，所以可以通过求解变分方程获得Euler方程的解，所以可以通过求解Euler方程获得变分方程的解，为电磁场问题求解增添了新的方法。3.3变分问题及Euler边值问题泛函取极值又称为泛函驻定，121.首先，由于变分是对函数y进行的，独立于自变量x，所以，变分运算和微分或微商运算可交换次序，2.变分运算也是一个线性运算，3.直接计算，就可以得到函数乘积的变分法则1.首先，由于变分是对函数y进行的，独立于自变量x，所以，134.变分运算和积分(微分的逆运算)也可以交换次序，5.复合函数的变分运算，其法则和微分运算完全相同，只要简单地将微分法则中的“d”换掉即可这里注意，引起F变化的原因，是函数y的变化，而自变量x是不变化的．所以，绝对不会出现项．4.变分运算和积分(微分的逆运算)也可以交换次序，5.复14一、简单泛函边界条件：一、简单泛函边界条件：15二、含一阶导数的泛函积分变换二、含一阶导数的泛函积分变换16等价Euler方程附加边界条件变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件等价Euler方程附加边界条件变分中，二阶边界条件无需强加，17三、含一阶偏导数的泛函三、含一阶偏导数的泛函18变分问题学时课件19等价Euler方程附加边界条件变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件等价Euler方程附加边界条件变分中，二阶边界条件无需强加，20四、含二阶偏导数的泛函四、含二阶偏导数的泛函21等价Euler方程附加边界条件变分中，二阶边界条件无需强加，自然满足条件等价Euler方程附加边界条件变分中，二阶边界条件无需强加，22例题例题23作为完整的泛函极值问题，在列出泛函取极值的必要条件、即Euler–Lagrange方程后，还需要在给定的定解条件下求解微分方程，才有可能求得极值函数．需要注意，Euler–Lagrange方程只是泛函取极值的必要条件，并不是充分必要条件．在给定的定解条件下，Euler–Lagrange方程的解可能不止一个，它们只是极值函数的候选者．到底哪一(几)个解是要求的极值函数，还需要进一步加以甄别．作为完整的泛函极值问题，在列出泛函取极值的必要条件、即Eul24和求函数极值的情形一样，甄别的方法有两种．一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值，根据泛函极值的定义加以判断．这种方法不太实用，至少会涉及较多的计算．另一种方法是计算泛函的二级变分±2J，如果对于所求得的解，泛函的二级变分取正(负)值，则该解即为极值函数，泛函取极小(大)．这种方法当然比较简便，但如果二级变分为0，则需要继续讨论高级变分．实际问题往往又特别简单：这就是在给定的边界条件下，Euler–Lagrange方程只有一个解，同时，从物理或数学内容上又能判断，该泛函的极值一定存在，那么，这时求得的唯一解一定就是所要求的极值函数．和求函数极值的情形一样，甄别的方法有两种．253.4约束条件下的变分问题如果实际应用场合，只允许泛函的可取函数值能从符合一定条件的子集中选取，并寻找泛函驻定的极值，问题就成为约束条件下的变分问题。类似于约束条件下的函数极值方法求解，通过Lagrange乘法求解3.4约束条件下的变分问题如果实际应用场合，只允许泛函的可取26设有二元函数f(x;y)，它取极值的必要条件是先回忆一下多元函数的极值问题．设有二元函数f(x;y)，它取极值的必要条件是先回忆一下多27还有二元函数的条件极值问题，即在约束条件常用Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题．下求函数f(x;y)的极值问题，就可以引进Lagrange乘子¸，而定义一个新的二元函数在约束条件还有二元函数的条件极值问题，即在约束条件常用Lagrange28由此可以求出代回到约束条件中，定出Lagrange乘子¸的数值，就可以求出可能的极值点(x;y)仍将x和y看成是两个独立变量，这样，这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出，消去，这就能化为上面给出的必要条件)由此可以求出代回到约束条件中，定出Lagrange乘子¸的数29一、微分方程形式的约束条件附带约束条件设待求Lagrange乘子一、微分方程形式的约束条件附带约束条件设待求Lagrange30新的泛函新的被积函数新的变分新的变分对应Euler方程新的泛函新的被积函数新的变分新的变分对应Euler方程31例求泛函在边界条件和约束条件下的极值曲线．采用上面描述的Lagrange乘子法，可以得到必要条件例求泛函在边界条件和约束条件下的极值曲线．采用上面描述的32变分问题学时课件33一、泛函方程形式的约束条件附带约束条件设待求Lagrange乘子一、泛函方程形式的约束条件附带约束条件设待求Lagrange34新的泛函新的变分对应Euler方程新的泛函新的变分对应Euler方程353.5线性算子方程化为变分方程泛函等价Euler方程微分算子积分算子矩阵算子。。。3.5线性算子方程化为变分方程泛函等价Euler方36一、正算子的确定性问题等价一、正算子的确定性问题等价37证明算子正性和对成性得所以，当U满足算子方程时，J{U}=min第一步证明算子正性和对成性得所以，当U满足算子方程时，J{U}38第二步是复常数可以得到且算子必须是正算子第二步是复常数可以得到且算子必须是正算子39二、下有界算子的本征值方程定理一，下有界算子特征值方程的所有特征值都是实数，且任何两个本征值对对应的本征函数正交定理二，本征值的最小值定理，本征值的最小值满足二、下有界算子的本征值方程定理一，下有界算子特征值方程的所40设本征值序列若已知方程的前n个特征值及其特征向量，则后续特征值是泛函在约束条件下的极小值，满足泛函定理三，后序本征值定理设本征值序列41目前求解特征问题可以选择方法同确定性问题通过求解特征值方程，可以求得与算子的维数相同个数的特征值以及特征向量，但是特征值越大，计算精度越差（正交性难以有效保证）目前求解特征问题可以选择方法同确定性问题通过求解特征值方程，42三、正定算子的广义本征值方程定理一，正定算子广义特征值方程的所有广义特征值都是实数，且任何两个本征值对对应的本征函数广义正交定理二，广义本征值的最小值定理，本征值的最小值满足三、正定算子的广义本征值方程定理一，正定算子广义特征值方程43设本征值序列若已知方程的前n个特征值及其特征向量，则后续特征值是泛函在约束条件下的极小值，满足泛函定理三，后序广义本征值定理设本征值序列44四、S——L方程的泛函四、S——L方程的泛函453.6波动方程标准变分原理内积定义如前面的讲述，在如上内积定义下，要求算子方程必须自伴、正定，但是由于我们只关心原来的算子方程的解，至于在此点泛函到底是取极大点、极小点还是拐点，我们并不一定在意3.6波动方程标准变分原理内积定义如前面的讲述，在如上内积定46泊松方程算子泊松方程算子47变分问题学时课件