第十节闭区间上连续函数性质

第十节

闭区间上连续函数的性质教学内容最大值与最小值的定义有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理教学重点几个定理的简单应用本节要求了解闭区间上连续函数的性质及其简单应用。1第一章第十节2第一章第十节一、最大值和最小值定理定义:对于在区间I上有定义的函数f

(x),如果有x0

˛

I

,

使得对于任一x

˛

I

都有f

(

x)

£

f

(

x0

) (

f

(

x)

‡

f

(

x0

))则称f

(x0

)是函数f

(x)在区间I上的最大(小)值.注：最值是在整个区间上的一种定义的，而不是局部的例如,

y

=

1

+

sin

x,y

=

sgnx,

在(-¥

,+¥

)上,

ymax=

2,

ymin在[0,2p]上,

ymax=

-1;ymin=

1.在(0,+¥

)上,

ymax

=

ymin=

0;=

1,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.x2

x1

bx3第一章第十节yo

ay

=

f

(

x)则$x1

,x2

˛

[a,b],使得"x

˛

[a,b],有f

(x1

)‡f

(x),若f

(x)˛

C[a,b],2f

(x

)

£

f

(

x).注意:1.若区间是开区间,

定理不一定成立;2.若区间内有间断点,

定理不一定成立.xyoy

=

f

(

x)1

21xyop2y

=

f

(

x)定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.设函数f

(x)在[a,b]上连续,证

"

x

˛

[a,

b],取K

=max{

m

,M

},有m

£

f

(x)£

M

,则有f

(x)£

K

.4第一章第十节\函数f

(x)在[a,b]上有界.5第一章第十节二、介值定理f

(x

)的零点.定理3(零点定理)设函数f

(x

)在闭区间a,

b]上连续，且

f

(a

)与

f

(b)异号(即

f

(a

)

f

(b)

<

0),那末在开区间a,b)内至少有一点x(a

<x<b)，使

f

(x)=0.即方程f

(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根.定义:如果

x0使

f

(

x0

)

=

0,

则

x0称为函数bx3x6第一章第十节ya

oy

=

f

(

x)x1

x2几何解释:连续曲线弧y

=f

(x)的两个端点位于x轴的不同侧,曲线上的动点从直线y

=0的一侧连续爬到另一侧，至少要通过直线y

=0一次，即曲线弧与x轴至少有一个交点，交点的横坐标就是x，f

(x)=0.这个定理常用来确定方程f

(x

=

0的解的存在性与存在范围。7第一章第十节定理4(介值定理)设函数f

(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f

(a)=A

及f

(b)=B

,那末，对于A

与B

之间的任意一个数C

，在开区间(a,b)内至少有一点x

，使得f

(x

)=C(a

<

x<

b).直线y

=C至少有一个交点.推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值

M

与最小值

m

之间的任何值.连续曲线弧y

=f

(x)与水平几何解释:8第一章第十节证明：f

(x)在(-¥，+¥)上有界。xfi¥三 性质的应用举例例题1

求证x5

-3x

-1=0在(1，2

至少有一个根。例题2

求证x3

-

9x

=1恰好有三个实根。例题3

设f

(x

˛

C

a,

b

,

且a

£

f

(x

£

b,求证：$x

˛

[a,b],s.t.f

(x

)=x例题4

设f

(x

在(-¥，+¥

上连续，且lim

f

(x

存在例题6

设f

(x

˛

C

(a,

b

且lim

f

(x

,

lim

f

(x

都存在xfi

a+

xfi

b-试证f

(x)在(a,b)上有界。例题7

设f

(x

˛

C a,

b

,且恒为正。证明：对于任意x1,x2

˛

[a,b](x1

<x2

)必存在一点x

˛

(a,b),s.t.f

(x)=

f

(x1

)f

(x2

)9第一章第十节>0,i

=1,2,...n且=1,xi

˛

[a,b].试证至少存在一点x

˛

[a,b]，s.t.f

(x

)=

t1

f

(x1

)+

t2

f

(x2

)+

...

+

tn

f

(xn

)例题5

设f

(x

在

a,

b

上连续，

tin

tii

=110第一