2022年湖南省常德市津市白衣镇联校高三数学理知识点试题含解析

2022年湖南省常德市津市白衣镇联校高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：

①，； ②，；

③，； ④，，

则在区间上的存在唯一“友好点”的是（

）

A．①②

B．③④

C．②③

D．①④参考答案：D2.如图分别表示输出值得过程的一个程序框图，那么在图中①②分别填上（

）A

B

C

D参考答案：C3.如图，已知在ΔABC中,BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，则，的度数为A.135

B.120°

C.

150

D.

105°参考答案：D4.如图，在等腰直角中，设为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，则

A.

B.

C.

D.参考答案：A由题意知，，所以，即，所以选A.5.已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B=（）A．{8，10} B．{8，12} C．{8，14} D．{8，10，14}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】用列举法写出集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，…}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B={8，14}．故选：C．6.函数的图象大致是(

) A B C D参考答案：A7.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称数x1，x2为[a，b]上的“对望数”，函数f（x）为[a，b]上的“对望函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+m是[0．m]上的“对望函数”，则实数m的取值范围是(

) A．（1，） B．（，3） C．（1，2）∪（2，3） D．（1，）∪（，3）参考答案：B考点：导数的运算；二次函数的性质．专题：导数的综合应用．分析：由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=m2﹣m，即方程x2﹣2x=m2﹣m在区间[0，m]有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围解答： 解：由题意可知，在区间[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f′（x1）==m2﹣m，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=x2﹣2x，∴方程x2﹣2x=m2﹣m在区间[0，m]有两个解．令g（x）=x2﹣2x﹣m2+m，（0＜x＜m）．则，解得＜a＜3，∴实数a的取值范围是（，3）．故选：B．点评：本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数f（x）的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m所满足的条件，解之即得所求．属于中档题．8.已知函数的图象如右图,则函数在上的大致图象为(

)参考答案：A9.在△中，若，则△是(

)A.等边三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形参考答案：D由，得，得，得，得,故.故△是直角三角形.10.如图，单位正方体的对角面上存在一动点P，过点P作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于M，N两点，则△BMN的面积最大值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则__________参考答案：12.已知函数f（x）=Asin（ωx+?），（A＞0，ω＞0，0≤?≤π）的部分图象如图所示，记则的值为

．参考答案：2+2【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先求出函数f（x）=2sin（），求出f（1）、f（2）、f（3）、…f（8）的值，根据函数的周期性求出的值．【解答】解：由函数f（x）的图象可得，此函数的周期等于8，A=2，∴=8，ω=．把点（0，0）代入函数f（x）的解析式可得?=0．故函数f（x）=2sin（）．f（1）=，f（2）=2，f（3）=，f（4）=0，f（5）=﹣，f（6）=﹣2，f（7）=﹣，f（8）=0．故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0．∴=+f（25）+f（26）+f（27）=0+f（1）+f（2）+f（3）=2+2．故答案为：2+2．【点评】本题主要考查函数f（x）=Asin（ωx+?）的周期性以及根据图象求解析式，求出函数f（x）=2sin（），是解题的关键．13.在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cosA＝_____．参考答案：【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．【详解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案为：．

14.设函数f(x)=lgx，则它的反函数=

。参考答案：y=10x,x?R15.若曲线y=ax2在曲线y=（x＞1）的上方，则a的取值范围为

．参考答案：[1，+∞）【分析】由曲线y=ax2在曲线y=（x＞1）的上方得到a＞，构造函数f（x）=，x＞1，利用导数求出函数最大值即可．【解答】解：∵曲线y=ax2在曲线y=（x＞1）的上方∴ax2﹣＞0，在（1，+∞）恒成立，∴a＞，设f（x）=，x＞1，∴f′（x）=＜0在（1，+∞）恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（1）=1，∴a≥1故答案为：[1，+∞）【点评】本题考查了函数恒成立的问题，以及导数的应用，考查了学生的计算能力和转化能力，属于中档题16.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

．参考答案：17.已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）．参考答案：①④【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】①∵若m⊥α，m⊥n，∴n?α或n∥α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，再由面面平行的判定定理判断．④若m⊥α，α∥β，由面面平行的性质定理可得m⊥β，再由n∥β得到结论．【解答】解：①∵若m⊥α，m⊥n，∴n?α或n∥α又∵n⊥β，∴α⊥β；故正确．②若m∥α，n∥β，由面面平行的判定定理可知，若m与n相交才平行，故不正确．③若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，由面面平行的判定定理可知，只有n∥β，两平面不一定平行，故不正确．④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又∵n∥β，则m⊥n．故正确．故答案为：①④【点评】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，其中a＞0．（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；参考答案：②当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：x0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减增f（0）减∴f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是，（0，+∞）；综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是（﹣1，0），；当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；当a＞1，f（x）的单调增区间是．f（x）的单调减区间是，（0，+∞）；（3）由（2）知，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，但，所以0＜a＜1不合题意；当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0），∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意；∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性和求函数的最值问题，是较难的题目．19.（12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．（1）求上表中的a，b值；（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；（3）求η的分布列及数学期望Eη．参考答案：（1）由得a=20∵40+20+a+10+b=100∴b=10

（4分）（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，依题意得：，，P（ξ=3）=0.2，，则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）=0.83+C310.2×（1﹣0.2）2=0.896

（8分）（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）P（η=1）=P（ξ=1）=0.4P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2∴η的分布列为：∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（万元）

（12分）20.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面SDC的距离．参考答案：（1）见解析;（2）

【知识点】面面垂直的判定定理；点到平面的距离G5G11解析：（1）如图取中点，连结、，依题意四边形为矩形，，侧面SAB为等边三角形，则，（2分）且，而满足，为直角三角形，即，（4分）平面，（5分）

平面平面；（6分）（2）由（1）可知平面，则，，平面，，（8分）由题意可知四边形为梯形，且为高，所以（9分）设点到平面的距离为，由于，则有，（10分）,因此点到平面的距离为．（12分）【思路点拨】（1）取中点，连结、，依题意四边形为矩形，然后借助于面面垂直的判定定理即可；（2）利用体积转化的方法即可。21.本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，分别为的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面．（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．参考答案：证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴．在中，，，∴．∴，即．又，

∴．…2分∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，………4分又∵平面，平面平面．

………………6分（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，∴平面平面

………7分∵平面，∴