山西省2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题（含解析）

第第页山西省2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题（含解析）山西省高一下学期3月联合考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第六章．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式可得集合，再根据集合的运算可得结果.

【详解】由，解得，即，显然，

∴，∴．

故选：C.

2.在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理可得，

因为，所以．

故选：A.

3.若三点共线，则（）

A.B.5C.0或D.0或5

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得，再利用向量共线求解即可.

【详解】因为，

若三点共线，则，

所以，

解得或5．

故选：D.

4.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，利用“1”代换，将转化为，再利用基本不等式求解即可.

【详解】已知正实数a，b满足，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最小值为16，

故选：B.

5.已知向量与向量均为单位向量，且它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案．

【详解】∵，∴，则，

故向量在向量上的投影向量为，

故选：B.

6.已知函数，则方程的实数解的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】讨论、，令求解即可判断个数.

【详解】当时，由，解得；

当时，由，得或，解得或．

故方程的实数解的个数为3．

故选：B

7.已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理的边角转化，将已知变形，化简从而得出

【详解】因为，

由正弦定理（为外接圆的直径），

可得，

所以．

又因为，所以．即为等腰三角形.

故选：C

8.泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（）

A.75mB.mC.mD.80m

【答案】A

【解析】

【分析】中边角关系解出，中由正弦定理解得，中由边角关系解得.

【详解】由已知得为等腰直角三角形，，，

，，则有，

A处测C处的仰角为15°，则，∴，

中，由正弦定理，，即，解得，

中，.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知向量，若，则k的值可能为（）

A1B.2C.D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】依题意得．

因为，所以，

解得或．

故选：AC.

10.如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（）

A.B.

C.D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用向量的线性运算及三角形相似的性质即可求解.

【详解】因为，所以，故A错误．

，故B正确．

，故C正确．

因为E为上靠近B的三等分点，所以，利用相似性质可得，则．故D正确．

故选：BCD.

11.若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，的夹角为，则（）

A.B.

C.夹角的余弦值为D.夹角的余弦值为得

【答案】BC

【解析】

【分析】利用数量积公式及变形即可解决.

【详解】由已知可知：，所以．

设的夹角为，

由，得，得．

故选：BC.

12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（）

A.若，则有两解

B.若，则无解

C.若为锐角三角形，且，则

D.若，则的最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；

根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；

利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.

【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确．

对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误．

对于C，由得，则，

因为，所以，C正确．

对于D．因为，所以，又因为，

所以，则

，由，得，

所以当，即时，取得最大值，D正确．

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13.写出与向量平行的一个单位向量的坐标：_____________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】先求向量的模，再利用平行向量进行求解即可．

【详解】因为，则，

所以与平行的单位向量为或．

故答案为：（答案不唯一）．

14.已知两个非零向量满足，且，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据得到，然后求即可.

【详解】两非零向量满足，可得，则，

因为，所以．

故答案为：.

15.如图，海上一观测站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D正东方向的一艘商船B向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B距观测站海里，20分钟后测得商船B位于距观测站30海里的C处，再经过___________分钟商船B到达商船D处．

【答案】15

【解析】

【分析】在中，由余弦定理求得，从而得到，利用正弦定理求得，然后根据速度比求出时间.

【详解】中，海里，海里，海里，

由余弦定理得，则．

在中，因为，所以海里，

所以分钟，即再经过15分钟商船B到达商船D处．

故答案为：15.

16.在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．

【答案】

【解析】

【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.

【详解】如图，

设，

则，，，

，

令，则，

所以．

易得，所以，，

因为函数在上单调递增，

所以，

所以．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．

（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；

（2）在（1）的条件下，求．

【答案】（1）作图见解析

（2）2

【解析】

【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；

（2）利用向量，为基底，求.

【小问1详解】

，以A为起点作出向量，如图所示，

【小问2详解】

由图中网格可得：，

由，，且

则有

18.已知向量，且．

（1）求的值；

（2）若与反向，，求与的夹角．

【答案】（1）或

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据题意求出、的坐标，由向量共线的坐标运算可得答案；

（2）由与反向求出，再求出的坐标，由向量夹角的坐标运算可得答案.

【小问1详解】

根据题意得，

，

因为，所以，

解得或；

【小问2详解】

由（1）时，，，所以，则与同向，舍去；

当时，，，所以，则与反向，

，

因为，

因为，

所以与的夹角为．

19.已知向量，函数．

（1）求的单调递减区间；

（2）若，求的值．

【答案】（1）

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据向量的加法及数量积的坐标表示，利用同角三角函数函数的平方关系及二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；

（2）根据已知条件及三角函数的诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.

【小问1详解】

因为

所以，

所以．

由，得，

所以的单调递减区间为．

【小问2详解】

由得，

即．

因为，所以，

，

故

20.某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园．如图，为该城区内河段的一部分，现有两种设计方案，方案一的设计为区域，方案二的设计为区域，经测量，米，米，米，．

（1）求的长度．

（2）若市民公园建设每平方米的造价为80元，不考虑其他因素，要使费用较低，该选哪个方案（请说明理由）？较低造价为多少？（参考数据：取）

【答案】（1）700米

（2）方案二的设计符合要求，理由见解析，13856000元

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理解得，解方程可得的长度；

（2）利用面积公式可得，确定方案二节约及其造价.

【小问1详解】

在中，由余弦定理得．

在中，由余弦定理得．

由，得，

故，

解得米，

故的长度为：700米．

【小问2详解】

方案二的设计符合要求．理由如下：

因为，

，

且，所以，

故选择方案二的设计，建设市民公园的费用较低．

因为米，所以是等边三角形，，

所以平方米，

所以总造价为元．

故：方案二符合要求，最低造价为13856000元.

21.在中，内角所对的边分别为，且．

（1）若，求角的值；

（2）若外接圆的周长为，求面积的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由，根据余弦定理和正弦定理可得，结合三角恒等变化即可求解；

（2）利用圆的周长公式可得外接圆的半径为，再根据余弦定理和均值不等式求得的范围，代入三角形面积公式即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以由余弦定理得，解得，

所以由正弦定理可得，

由，得，即，

又因为，，且，

所以，解得．

由知，不是最大边，故．

【小问2详解】

因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径，

又因为，当且仅当时等号成立，

所以，

由正弦定理可得，所以，

所以的面积．

因为，所以，

所以．

22.已知函数.

（1）证明：对任意，总存在，使得对恒成立.

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；

（2）

【解析】

【分析】（1）先判断为增函数，找出隐零点从而得证；

（2）把不等式等价为，从而借助二次函数的图象建立不等式，再构造函数，利用单调性可解.

【小问1详解】

的定义域为，

在上为增函数，又在上为增函数，

所以在为增函数，

因为，，所以在内存在唯一的零点，

所以当时，．

故对任意，总存在，使得对恒成立．

小问2详解】

由，得．

设函数，为关于t的二次函数．

因为对恒成立，

由图可知，即

设函数，

在上为增函数，

又在上为增函数，则在上为增函数，

因为，所以不等式的解集为，

而当时，显然成立，

所以x的取值范围为．

【点睛】关键点睛：

第一问的关键是借助，，找到的隐零点，从而问题得证.山西省高一下学期3月联合考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第六章．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，则（）

A.B.C.D.

2.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则（）

A.B.C.D.

3.若三点共线，则（）

A.B.5C.0或D.0或5

4.已知正实数a，b满足，则最小值为（）

A.8B.16C.12D.24

5.已知向量与向量均为单位向量，且它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）

A.B.C.D.

6.已知函数，则方程的实数解的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

7.已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

8.泰姬陵是印度在世界上知名度最高古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（）

A.75mB.mC.mD.80m

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知向量，若，则k的值可能为（）

A.1B.2C.D.

10.如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（）

A.B.

CD.

11.若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，的夹角为，则（）

A.B.

C.夹角的余弦值为D.夹角的余弦值为得

12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（）

A.若，则有两解

B.若，则无解

C.若为锐角三角形，且，则

D.若，则的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13.写出与向量平行的一个单位向量的坐标：_____________．

14.