Lecture3远期与期货定价课件

Lecture3远期与期货定价7/27/20230远期价格与期货价格远期价值和交割价格交割价格是远期合约或者是期货合约中规定的未来交易价格；远期价值是指远期合约本身的价值。在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。7/27/20231远期价值、远期价格和期货价格远期价格是令远期合约价值为零的交割价格。远期价格是一个理论价格，它与远期合约在实际交易中形成的实际交割价格并不一定相等。如果信息是对称的，远期合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。对金融工具的定价，实际上都是指确定其理论价格。一旦理论远期价格与实际价格不相等，就会出现套利机会。7/27/20232远期价格和期货价格的关系远期与期货合约唯一的区别是交易机制的不同。斯蒂芬.罗斯（Ross）等证明，当无风险利率恒定时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。7/27/20233总的来看，差异可以忽略不计，Cornell和Reinganum（1981）、Park和Chen（1985）估计外汇期货和远期之间的合理差价时，都发现盯市所带来的收益太小了，以至于在统计意义上，远期和期货价格之间并没有显著的差别。大多数情况下，仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。因此，远期和期货合约适用于相同的定价分析。除了利率的影响之外，合约有效期的长短、税收、交易费用、保证金的处理、违约风险、流动性等方面的因素都会导致差异。远期价格和期货价格的关系7/27/20234远期与期货的定价符号约定t：当前时间，单位为年。

T：远期/期货合约的到期时间，单位为年。S：标的资产在时间t时的价格。K：远期/期货合约中的交割价格。F：远期/期货合约中标的资产的理论远期价格。f：远期/期货合约多头在t时刻的价值。r：t时刻的以连续复利计算的无风险年利率。7/27/20235回顾无套利定价原理7/27/20236若合约实际报价高于理论价格，套利者就可以通过买入标的资产现货、卖出远期并等待交割来获取无风险利润，从而促使现货价格上升、远期交割价格下降，直至套利机会消失，这种套利方式为正向套利（cash-and-carryarbitrage）；若实际报价低于理论价格，套利者就可以通过卖空标的资产现货、买入远期来获取无风险利润，从而促使现货价格下降，远期交割价格上升，直至套利机会消失、远期理论价格等于实际价格，这种套利方式称为反向套利（reversecash-and-carryarbitrage）。无风险套利机制7/27/20237无收益资产远期期货合约的定价无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券。构建组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔现金，数额为Ke-r（T－t）；组合B：一单位标的资产。远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产，因此当前的现值必须相等，即：

f+Ke-r（T－t）=S

则：f=S－Ke-r（T－t）7/27/20238两种理解——“f=S-Ke-r（T－t）”：无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值之差。一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债（空头）组成。7/27/20239现货-远期平价定理令f=S-Ke-r（T－t）”

=0，则有：

K=Ser（T－t）

远期价格：（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K）

F=Ser（T－t）无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。7/27/202310正、反向无风险套利讨论运用无套利原理对无收益资产的现货-远期平价定理的反证假设F>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。t时刻，套利者按无风险利率r借入期限为T－t的S现金。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份交割价格为F的标的资产远期合约；T时刻，套利者将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（T－t），获取F－Ser（T－t）的无风险收益。若F<Ser（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。7/27/202311例题考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元，连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的合理交割价格应该为多少？如果市场上该合约的交割价格为30.10元，则套利者可以买入远期合约、卖出股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末可以获得30.30－30.10＝0.20元。7/27/202312已知现金收益的资产支付已知现金收益的资产在到期前会产生完全可预测的现金流的资产例如：附息债券和支付已知现金红利的股票负现金收益的资产：黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可看成是“负收益”。令已知现金收益的现值为I，对黄金、白银来说，收益I为负值7/27/202313已知现金收益资产的远期/期货合约定价的一般方法构建组合：组合A：一份远期/期货合约多头+一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的证券+本金为I、利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日的负债。

远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产,则：

f+Ke-r（T－t）=S-I即：

f=S-I-Ke-r（T－t）7/27/202314例题假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，一种10年期债券的现货价格为990元，该债券1年期远期合约的交割价格为1001元，债券将于6个月和12个月后各收到60元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该债券1年期远期合约的价值。根据已知条件，先算出该债券已知现金收益的现值：I=60e-0.090.5+60e-0.101=111.65元根据公式，算出该远期合约多头的价值为：f=990－111.65－1001e-0.11=－27.39元相应地，该合约空头的价值为27.39元。7/27/202315已知现金收益资产现货－远期平价公式关于平价公式的理解：支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。根据已知现金收益资产现货-远期合约的定价公式，及远期价格F的定义：f=S-I-Ke-r（T－t）令f=0，求得：

F=(S-I)er（T－t）7/27/202316已知现金收益资产的现货-远期平价公式的反证法证明若F>(S-I)er(T-t)，即交割价格高于理论价格。T时刻，套利者将标的资产交割，得到现金收入F，同时，（T-t）期间从标的资产获得的现金收益的本利收入到T时刻为Ier(T-t)；T时刻，套利者需要还本付息Ser(T-t)。t时刻，套利者可以卖出一份交割价为F的远期合约，借入现金S，并买入标的资产。套利者取得无风险利润：Δ=F+Ier(T-t)-Ser(T-t)

=F-(S-I)er(T-t)7/27/202317支付已知收益率的资产支付已知收益率的资产到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是已知收益率资产的典型代表，外汇的收益率就是外汇发行国的无风险利率；股价指数可近似地看作是支付已知收益率的资产。已知收益率资产的远期/期货合约：远期利率协议：本国的无风险利率外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率股指期货：市场整体水平的红利率7/27/202318支付已知收益率资产远期合约的定价建立组合：组合A：1份远期合约多头+一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：e-q（T－t）单位证券（并且所有现金收入都再投资于该证券，q为资产的已知收益率）。T时刻，组合A的价值等于一单位标的证券；组合B拥有的证券数量随着获得收益滚动增加。T时刻，组合B的价值正好等于一单位标的证券。T时刻A、B价值相等，则t时刻两者的价值也应相等，即：7/27/202319即：支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。支付已知收益率资产现货－远期平价公式根据支付已知收益率资产现货-远期合约的定价公式，及远期价格F的定义：令f=0，求得：

7/27/202320A股票的市场价格是25美元，年均红利率为4％，该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，若无风险利率为10％，求该远期合约的价值及理论价格。例题远期合约的理论价格为：根据远期合约的价值公式：7/27/202321远期与期货价格的一般结论（完美市场）假如标的资产无收益，投资者计划出售一单位标的资产，采取以下两种方法应当等价：在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约，合约到T时刻交割必定能获得F；在当前t时刻立刻出售获得S，并以无风险利率r贷出，这样在T时刻可以获得确定性收入。t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的两种确定性收入应相等：如果实际价格高于或低于上述理论价格F，市场上就存在套利机会。7/27/202322持有成本I持有成本（CostofCarry）=保存成本+利息成本−标的资产在合约期限内的收益远期和期货定价中的持有成本（c）概念：237/27/202323非完全市场上的定价公式7/27/202324若存在交易成本：假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利机会的就不再是确定的值，而是一个区间：验证下限，若K<S(1-Y)er(T-t)

：t时刻：买入一份交割价格为K的远期合约，同时卖空1单位标的资产，变现得S(1-Y)并以无风险利率投资。T时刻：S(1-Y)er(T-t)>

K，则明显可以套利：履行远期合约，购得标的资产并归还后，剩余套利：Δ=S(1-Y)er(T-t)-K因此，若要无套利成立，则：S(1-Y)er(T-t)<K。远期与期货价格的一般结论（非完美市场一）7/27/202325验证上限，若K>S(1+Y)er(T-t)

：t时刻：卖出一份交割价格为K的远期合约，同时借入现金(Ｓ＋SY)，并购买一单位标的资产（其中SY是交易费用）。T时刻：K>S(1+Y)er(T-t)，则明显可以套利：履行远期合约，卖出标的资产，收到支付K，然后归还借款的本息和S(1+Y)er(T-t)，仍有套利盈余：Δ=K-S(1+Y)er(T-t)因此，若要无套利成立，则：K<S(1+Y)er(T-t)最终，若存在交易成本，不存在套利机会的远期价格应取值于：7/27/202326假如借贷存在利差：如果用表示借入利率，用表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般是。这时远期和期货的价格区间为：验证下限，若K<Serl(T-t)

：t时刻：购买一份交割价格为K的远期合约，同时借入一单位标的资产并变现S（卖空）。T时刻：若Serl（T-t）>K，则明显可以套利。因此，若无套利，则：Serl（T-t）<K。远期与期货价格的一般结论（非完美市场二）7/27/202327验证上限，若K>Serb（T-t）：t时刻：借入现金S购买一单位标的资产，同时持有一份交割价格为K的远期合约空头。T时刻：若K>Serb（T-t），则明显可以套利。因此，若无套利，则：K<Serb（T-t）。7/27/202328存在卖空限制：因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设这一比例为X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是：远期与期货价格的一般结论（非完美市场三）验证，若S(1-X)er(T-t)>K：t时刻：买入一份交割价格为K的远期合约，同时借入一单位标的资产并变现S(1-X)（即卖空）。T时刻：由于S(1-X)er(T-t)>K，则必然能够套利。因此，若要无套利成立，则：S(1-X)er(T-t)<K。7/27/202329如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：完全市场可以看成是的特殊情况。远期与期货价格的一般结论（非完美市场）7/27/202330消费性资产的远期合约定价消费性资产是指那些投资者主要出于消费目的而持有的资产，如石油、铜、农产品等。对于消费性资产来说，远期定价公式为:317/27/202331远期/期货价格与标的资产现货价格的关系同一时刻远期期货价格与标的资产现货价格的关系第一，当标的证券没有收益，或者已知现金收益较小、或者已知收益率小于无风险利率时，期货价格应高于现货价格；反之则反是。第二，标的资产的现货价格对同一时刻的远期期货价格起着重要的制约作用。期货价格收敛于标的