《勾股定理》练习题及答案

八年级上数学专题训练一《勾股定理》典型题练习答案解析

—"、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的

222222222

两直角边为a、b,斜边为c,那么a+b=co公式的变形：a=c-b,b=c-ao

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a?+b2=c\那么三角形ABC是直角三

角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a?+b?=c?的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数

或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)

常用勾股数口诀记忆

常见勾股数

3,4,5：勾三股四弦五

5,12,13：我要爱一生

6,8,10：连续的偶数

7,24,25：企鹅是二百五

8,15,17：八月十五在一起

特殊勾股数

连续的勾股数只有3,4,5

连续的偶数勾股数只有6,8,10

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：(1)阴影部分是正方形；(2)阴影部分是长方形；(3)阴影部分是半

圆.

2.如图，以Rt/XABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个

半圆的面积之间的关系.

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是

Si、S2、S”则它们之间的关系是()

A.Sl-S2=S3B.Si+Sz=S3C.S?+S3<SiD.S2—Ss=Si

【类型题总结】

(a)如图(1)分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积

分别用表示S,、S”S3则它们有S/S3=S,关系.(b)如图

(2)分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积表，卜S1、S2、

S3.则它们有

Sz+S3=Si关系.

(c)如图(3)分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，面积表示S,、S?、S3,则它们有

Sz+S3=Si关系.并选择其中一个命题证明.

”：］勾股定理.

|专题：进篁题

［分析：］(a)分别用AB、BC和AC表示出S?、S3,然后根据AB^AC'+BC?即可得出S,、S?、S3的关

系；

(b)分别用AB、BC和AC表示出ScS2,S3,然后根据AB^AC'+BC?即可得出S,、S2,S3的关系；

(c)分别用AB、BC和AC表示出S,、Sz、S3,然后根据AB2=A1+BC2即可得出S,、S2,S3的关系.

111

解答：解：(l)S3=-mAC2,S=-JrBC2S,=-AB2

8288

+

S2S3=Si.

（2）S2+S3=Si…（4分）

由三个四边形都是正方形则：

22

VS3=AC,S2=BC,S,=AB2,-（8分）

•.•三角形ABC是直角三角形，

XVAC2+BCS=AB2-（10^）

Sj+Ss=Si.

百，73,V3,

（3）Si----AB2S2=---BC2S3----AC2

444

/.S2+S3=S1.

I点评：I此题主要涉及的知识点:三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟

练掌握勾股定理的公式，难度一般.

4、四边形ABCD中，ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。

(S=36)

5、在直线/上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别

是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是5、S?、（此题为2012•庆阳中考题）

=

S3、S41则S]+S2+Sj+S4______4

；碧百：I勾股定理;全等三角形的判定与性质.

军应：规律型.

个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答.

解：观察发现，

VAB=BE,ZACB=ZBDE=90°,

AZABC+ZBAC=90°,ZABC+ZEBD=90°,

AZBAC=ZEBD,

AABC^ABDE(AAS),

:.BC=ED,

VAB2=AC2+BC2,

222

AAB=AC+ED=SI+S2,

即Si+S2=l>

同理S3+S4=3.

则S1+S2+S3+S4=l+3=4.

故答案为：4.

国□运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理.注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的

正方形的面积.

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为_乂|雪.

2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是

5或13

;分析门已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①2是直角

边，3是斜边；②2、3均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长.

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高.

一个直鱼三鲤的两条直角边长分别为5和12那么根据勾股定理斜边为13然后根据等面积法

-x5xl2=-xl3x高高=60/13

22

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的()

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

解:设一直角三角形直角边为a、b,斜边为c.则a2+b2=c'

另一直角三角形直角边为2a、2b,则根据勾股定理知斜边为-(26)2=2c

即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍，故选A.

5、在RtaABC中，ZC=90°

①若a=5,b=12,则c=；

②若a=15,c=25,则b=；

③若c=61,b=60,则a=；

④若a：b=3：4,c=10贝【JRtAABC的面积是=。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为M-l,2n(n>l),那么它的斜边长是(D)

A^2nB、n+1C、n2—1D、n2+1

7、在RtAABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是()

A.a2+b2=c2B.a2+c2-b2C.c2+h2=tz2D.以上都有可能

8、已知RtZSABC中，ZC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则RtZ\ABC的面积是(A)

A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2

【解析】本题考查的是勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面积公式

要求RtAABC的面积，只需求出两条直角边的乘积.根据勾股定理，得/+廿飞2=100.根据勾股定理就可以求出ab

的值，进而得到三角形的面积.

Va+b=14

(a+b)2=196

r.2ab=196-(a2+b2)=96

二%=24

.

则RtAABC的面积是

9、已知X、y为正数，且IX-4I+(y-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三

角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(C.)

A、5B、25C、7D、15

【解析】

试题分析：本题可根据“两个非负数相加和为0,则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜

边的长.斜边长的平方即为正方形的面积.

依题意得：父一4=小厂7=0,

...K=?F=

斜边长=J*+3=jy,

所以正方形的面积=(">=了.

故选C.

考点：本题综合考直了勾股定理与非负数的性质

点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系.

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

1、如图1所示，等腰加«7中，AB=JC,却是底边上的高，若斯=&•=

求①AD的长；②△ABC的面积.

BDC

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17

2、若线段a,b,c组成直角三角形，则它们的比为（）

A、2：3：4B、3：4：6C、5：12：13D、4：6：7

3、下面的三角形中：

①4ABC中，ZC=ZA-ZB；

②^ABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3；

③△ABC中,a：b：c=3：4：5；

④AABC中，三边长分别为8,15,17.

其中是直角三角形的个数有（D）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、若三角形的三边之比为也:J=:l,则这个三角形一定是（）

2V2

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.不等边三角形

5、已知a,b,C为aABC三边，且满足（a2-b?）（a?+b2—c?）=0,则它的形状为（C）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是(C)

A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

7、若4ABC的三边长a,b,ca2+b2+c2+200=12a+16b+20c,试判断△ABC的形状。

a2+b2+c2+200=12a+16b+20c

(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2-200+200=0

(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0

则a-6=0、b-8=0>c-10=0,得a=6、b=8、c=10,

a2+b2=c2,三角形是直角三角形。

8、4ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为,

此三角形为o

运：1勾股定理的逆定理.

芬析：根据三角形的三边关系知,求得第三边c应满足12-5=7<c<5+12=17,又因为这个数与a+b的

和又是3的倍数，则可求得此数，再根据直角三角形的判定方法判定三角形.

:解皆:解:V12-5=7<c<5+12=17,c又为奇数，

,满足从7到17的奇数有9,11,13,15,

与a+b的和又是3的倍数，

a+b+c=30,

Ac=13

V52+122=132,

•:△ABC是直角三角形.

酸口本题考查了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考查直角三角形的判定.隐含了整体的

数学思想和正确运算的能力.

9：求

(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是90度。

:考点：为股定理的逆定理.

济而」［根据三角形的三条边长，由勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形，则可求得这个三角

形的最大内角度数.

|解答：|解:1•三角形三条边的长分别为7,24,25,

,-.72+242=252,

这个三角形为直角三角形，最大角为90。.

这个三角形的最大内角是90度.

息本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,

要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

（2）已知三角形三边的比为1：V3：2,则其最小角为

30^0

考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中期=4米，ZAJC=3（r,ZC=9CT,因某种活动要

求铺设红色地毯，则在4g段楼梯所铺地毯的长度应为（2+28）米.

图3

分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台

阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边

AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。

考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）

1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地

面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接

触地面，你能帮他算出来吗？

设旗杆高度h

(h+l)2=52+h2

h=12旗杆高12米

2、一架长2.5机的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7〃？（如图），如果梯

子的顶端沿墙下滑0.4加，那么梯子底端将向左滑动0.8米

利用勾股定理计算原来墙高。

根号下（2.52-0.72）=2.4米

下移0.4,240.4=2米

根号下（2.52-22）=1.5米

1.5-07=0.8米。

梯足将向外移0.8米

3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果

梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离大于”1米,

答:解:底端滑动大于1（1分），理由:

在RtZ\ACB中，BC2+AC2=AB2,BC=A/102-82=6（2分）

XVAA'=1,

/.A'C=7,在RtZ\ACB，中，B'C=A/102-72=A/51,（2分）

ABB'=B'C-BC=751-6A7-6=1,

，底端滑动大于1m.（1分）

4、在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一

只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这

棵树有多高？

分析：如图所示，其中一只猴子从BrC->A共30m,另一只猴子从B->DTA

也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。

解：如图，设BD-*,由题意知BC+CA-BD+DA

二DA-30-x

RIAADC中，Q0-»）J-Q0+K）a4-20J解之得x-5

XI-10-15

答：这棵树高15m。

【点拨】：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。

5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算

60

两圆孔中心A和B的距离为100mm——_______

AC=120-60=60BC=140-60=80

二.AB=100mm

6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，

一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了10米.

从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答.

解：过点D作DELAB于E,连接BD.

在RtZ\BDE中，DE=8米,BE=8-2=6米.

根据勾股定理得BD=10米

7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在/处登陆后，往东走8km,又往北走2km,

遇到障碍后又往西走3km,再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆

点（/处）到宝藏埋藏点（6处）的直线距离是多少？

解析：

试题分析：要求AB的长，需要构造到直角三角形中.连接AB,作BC垂直于过A的水平线于C.在直角三

角形ABC中，得AC=8-3+l=6,BC=5+2=7.再运用勾股定理计算即可.

过点B作BC_LAC,垂足为C

观察图形可知AC=AE-MF+MC=8-3+l=6,BC=2+5=7

在Rt^ACB中»AB=\6^+7^=485^>

答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是屈匕*

考点：勾股定理的应用

点评：解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解.注意所求距离实际上就是AB的长.

考点七：折叠问题

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8,将AABC折叠，使点B与点A重合,

折痕为DE,则CD等于（)讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE

的长？求折痕DE的长？

227

A,竺B.—C.D

4i

解：由题意得DB二AD；

设CD=xcm,则

AD=DB=(8-x)cm,

VZC=90°,

：,ADZ-CDZ=ACZ,（8一力：—y=36

7

解得x=4，即CD二4cm.故选C.

知识点梳理—1、翻折变换（折叠问题）2、等腰二角形的性质3、勾股定理的性质

一、翻折变换（折叠问题）

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换.

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大

小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图

形之间的数量关系和位置关系.

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是•个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x的代数式

表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解.

二等腰三角形的性质定理：

1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一-半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条

对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

9.等腰三角形中腰大于高。

10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高。

2、如图所示，已知AABC中，ZC=90°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,

MB=2MC,求AB的长.

解：连接AM

：MN是AB的垂直平分线,AAAMN丝ABMN,AMA=MB,ZB=ZBAM

VMB=2MC,.\MA=2MC,.,.ZCAM=30°,即NCMA=60°

VZCMA=ZB+NBAM且NB=ZBAM,AZB=30°,/.AB=2AC=16

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。

解：由翻折的性质可得：AD=AF=BC=10,

在RtAABF中可得：BlVAF2-A826,

.*.FC=BC-BF=4,

设CE=x,EF=DE=8-x,则在RtZkECF中,

EF=EC2+CF2,即X2+16=(8-X)2,

解可得x=3,

故CE=3cm.

解析：

根据翻折的性质，先在RT4ABF中求出BF,进而得出FC的长，然后设CE=x,EF=8-x,从而在RTZXCFE中

应用勾股定理可解出x的值，即

举一反三:

1、BF的长？2、4ECF的面积？3、求折痕AE的长.

知识点梳理—1、翻折变换(折叠问题)2、矩形的性质3、勾股定理的性质

矩形的性质定理：

1.矩形具有平行四边形的一切性质。

2.矩形的四个角都是直角。

3.矩形的对角线相等。

4.矩形是轴对称图形,它有2条对称轴。

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把AABC折叠，使点D

恰好在BC边上，设此点为F,若AABF的面积为30,求折叠的4AED的面积

4D

E

分析：根据三角形的面积求得BF的长，再根据勾股定理求得AF的长，即为AD的长；设DE=x,则EC=5r,

EF=x.根据勾股定理列方程求得x的值，进而求得AAED的面积.

解:由折叠的对称性,得AD=AF,DE=EF.

1

由SAABF=^BF，AB=30,AB—5»

得BF=12.

在Rt^ABF中，由勾股定理，得

看尸=。^?=13

所以AD=13.

设DE=x,则EC=5-x,EF=x,FC=1,

在RtZXECF中，EC'+FC'EF2,

即(5-x)2+l2=x2.

_13

x-----

解得5.

1113z7

故S-CEYD。=产3k=16.9•2)

点评：此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线

段.

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠

后DE的长是多少？(举一反三：题干不变，求折痕EF的长？)

利用直角三角形ABE可求得BE,也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解.

解：连接BD交EF于点0,连接DF.

根据折叠，知BD垂直平分EF.

根据ASA可以证明aDOE咨△B0F,

得OD=OB.

则四边形BEDF是菱形.

设DE=x,则CF=9-x.

在直角三角形DCF中，根据勾股定理,得:X-(9-x)2+9.

解得：x=5.

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=3"而，则OBUT'SQ

_____Vid

在直角三角形BOF中，根据勾股定理，得0IF/i5-22.5-2,piijEI-VTO.

6、如图，在长方形ABCD中，将AABC沿AC对折至AAEC位置，CE与AD交于点F。

(1)试说明：AF=FC；(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长(举一反三：试说明EF=DF.)

试题分析：(1)观察图形，可得AE=DC,又•••NFEA=NDFC,ZAEF=ZCDF,由全等三角形判定方法证4AEF

^△CDF,即得EF=DF,从而得到AF=FC.(2)在RtZXCDF中应用勾股定理即可得.

试题解析：(1)证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC,

根据对顶角相等得，ZEFA=ZDFC,

而/E=ND=90°,

.•.由AAS可得，AAEF^ACDFo/.AF=FC.

(2)设FA=x,则FC=x,FD=,

,25

在Rt/XCDF中，CF2XD2+DF2,即-1,解得x=8

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质;3.全等三角形的判定与性质;4勾股定理.

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm,

AB=8cm,则图中阴影部分面积为.（原题图不标准重新画一个图）

解：设AD=x,则AF=x

-：CE=3,DE=3-3=5

EF=5..BF=x-4

在RSABF中，/"+^^尸

解得x=10BF-10-4=6

SI/Ln4Z5iyr=—2x8x6=24

SCEF=5、3、4=6

S阴影=24+6=30(c㈤2

8、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在O的位置

上，已知AB=3,BC=7,重合部分4EBD的面积为.

（举一反三:若AD=8,AB=4,求重叠部分即ABED的面积？=10）

所以需求的长.根据得设

SABED=DE・AB,DENC'BD=ZDBC=ZBDADE=BE,DE=x,

则AE=7-x.根据勾股定理求BE即DE的长.

解：•••AD〃BC（矩形的性质），

ZDBC=ZBDA（两直线平行，内错角相等）；

,：ZCBD=ZDBC（反折的性质），

：.ZCBD=ZBDA（等量代换），

.*.DE=BE（等角对等边）；

设DE=x,则AE=7-x.在ZkABE中,

X2=32+（7-x）2.

29

解得x=—.

7

.c12987

••SADBE=―X—X3--

2714

©7

故答案是：—.

14

9、如图5,将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于F,

边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5

（举一反三：如果DM：MC=3：2,则DE：DM：EM=（）=8：15：17.）

析：（1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a,DE为x,则根据

a

折叠知道DM=2,EM=EA=a-x,然后在RtZXDEM中就可以求出x,这样DE,DN,EM就都用a表示了，就可以

求出它们的比值了；

a

解：(1)证明：设正方形边长为a,DE为x,则DM=5,EM=EA=a-x

在RtZXDEM中，ZD=90°,

.-.DE2+DM2=EM2

a

x2+(2)J(a-x)2

3a

x=8

5a_

EM二8

DE：DM：EM=3：4：5；

知识点梳理

正方形的性质:

1.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

2.正方形的四条边都相等，邻边垂直，对边平行。

3.正方形的四个角都是直角。

4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

5.正方形是轴对称图形,它有4条对称轴。

6.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

10、如图2-5,长方形ABCD中，AB=3,BC=4,若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠

后痕迹EF的长为（B）

A.3.74B.3.75C.3.76D.3.77

分析：先连接AF,由于矩形关于EF折叠，所以EF垂直平分AC,那么就有AF=CF,又ABCD是

25

矩形，那么AB=CD,AD=BC,在RtZ\ABF中，（设CF=x）,利用勾股定理可求出CF=$,在RtaABC

IS15

中，利用勾股定理可求AC=5,在RtaCOF中再利用勾股定理可求出0F=W,同理可求0E=W,所以

15

EF=OE+OF=4.

解答：解：连接AF.

•.•点C与点A重合，折痕为EF,即EF垂直平分AC,

；.AF=CF,AO=CO,ZF0C=90°.

又•••四边形ABCD为矩形，BF

：.ZB=90°，AB=CD=3,AD=BC=4.

设CF=x,则AF=x,BF=4-x,

在RtZ^ABC中，由勾股定理得

AC2=BC2+AB2=52,且0为AC中点,

15

；.AC=5,0C=2AC=2.

999

TAB+BF=AF

.*.32+（4-x）=x2

25

/.x=8.

ZF0C=90°,

25515

.\0F2=FC2-0C2=（8）2-（2）（8）2

15

，0F=8.

15

同理0E=8.

15

即EF=OE+OF=4.

点评：本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识.

11、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角

三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不

能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直

角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的

长；若不能，请你说明理由.

（1）设两直角边PH,PF能分别通过点B与点C,

••,ZHPF=90°,/.PB2+PC2=BC2=100

又设PA=x,VZA=ZD=90°,在AABP,中

.,.PA2+AB2=PB2,PD2+CD2=PC2

VPA+PD=AD=10,AB=CD=4

/.x2+16+（10-x）2+16=PB2+PC=100

化简得：xJ10x+16=0即（x-5）2=9,所以x-5=±3,

解之得：Xi=2,X2=8

V2<10,8<10

.,.当PA=2cm或8cm时，三角板两直角边PH,PF分别通过点B,C.

（2）如图（2）,过点E作EGJ_AD于点C,；.NPGE=90°

根据题意得：DG=CE=2,EG=CD=4

VBE+CE=BC=10

/.BC=8

在APBE中，,/ZBPE=90°PB2+PE2=BE2=64

XVZA=ZD=90°.-.AP2+AB2=PB2,PG2+PG2+EG2=PE2

而AB=EG=4,设AP=X,则PG=8-x

X2+16+(8-X)2+16=64化简得:X2-8X+16=0

解之得：XI=X2=4

答：当AP=4时，PH经过点B,PF与BC交于点E,且CE=2cm.

12、如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC

边上的点，且DE_LDF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。

P：连转AD和EF.oAD是直舒三房冬ABC的干线

/.AD=1BC

2

fe)DC=2BC.ZADC=90:.ZBAC=90：

2

DA=DC,NADE=/CDF,ZDAE=ZC=45:

AADEACDF

AE=FC=5.AF=BE=12EF=13DF・M

2

举一反三：

如图，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE_LDF。

(D请说明：DE=DF；

⑵请说明：BE^CFMF2；

(3)若BE=6,CF=8,求4DEF的面积。(直接写结果)

答案：

解：（1）连接AD

因为AABC是等腰直角三角形，且D为斜边BC中点

所以，AD±BC

且AD平分NBAC,AD=BD=CD

所以，ZDAE=ZC=45°

又已知DE1DF

所以，ZEDA+ZFDA=90°

而，ZCDF+ZFDA=90°

所以，ZEDA=ZCDF

那么，在4ADE和△CDF中：

ZDAE=ZDCF（ZC）=45°（已证）

DA=DC（已证）

ZEDA=ZCDF（已证）

所以，ZiADE也ZkCDF

所以,AE=CF,DE=DF。

（2）因为AE=CF,AB=AC

所以AB-AE=AC-CF

即BE=CF

RtZ\AEF中，/A=90度

所以力名2+工=总尸2

所以⑦、班12=防,

（3）ADEF的面积为25。

13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30°,点A处有一所中学，AP=160mo

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行

驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,

那么学校受影响的时间为多少秒？

1

【答案】分析：作AH_LMN于H,根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH=5PA=80m,由于这个距离小于100m,

所以可判断拖拉机在公路MNI:沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点A为圆心，100m为半径作。A交MN于

B、C,根据垂径定理得到BH=CH,再根据勾股定理计算出BH=60m,则BC=2BH=120m,然后根据速度公式计算出拖

拉机在线段BC上行驶所需要的时间.

解答：解：学校受到噪音影响.理由如下:

作AH_LMN于H,如图，

VPA=160m,ZQPN=30°,

1

・・.AH=2pA=80m,

而80m<100m,

・•・拖拉机在公路MN上沿PN方.向行驶时，学校受到噪音影响，

以点A为圆心，100m为半径作。A交MN于B、C,如图，

VAH1BC,Q

.-.BH=CH.

在R3ABH中，AB=100m,AH=80m,

BHJ加-=60m,

.-.BC=2BH=120m,

,/拖拉机的速度=18km/h=5m/s,

120

拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间=5=24（秒），

.••学校受影响的时间为24秒.

点评：本题考查了直线与圆的位置关系：设00的半径为r,圆心。到直线I的距离为d,直线I和。。相交d<r；直线I

和。。相切d=r；当直线I和OO相离d>r.也考杳了垂径定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系.

根据题意仔细观察可得到正方形A,B,C,D的面积的和等于最大的正方形的面积，己知最大的正方形的边

长则不难求得其面积.

解：由图可看出，A,B的面枳和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；

C,D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形的另一直角边的平方，

则A,B,C,D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形

的面积，

因为最大的正方形的边长为5,则其面积是25,即正方形A,B,C,I）的面积的和为25.

故答案为25.

2、已知a1是边长为1的等腰直角三角形，以的斜边4C为直角边，画第二个等腰

RtZVIS,再以Rt△力切的斜边为直角边，画第三个等腰双△/%；一,依此类推，第〃个

等腰直角三角形的斜边长是.

解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是亚，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（垃）

第3个等腰直角三角形的斜边长是2=（0））第n个等腰直角三角形的斜边长是（R）

解析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论.

考点九、图形问题

1、如图1,求该四边形的面积

4

13

A

2、如图2,已知，在△48。中，N4=45°,AC=小,AB=m+1,则边BC的长为2

3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中A

B=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过

公司的大门？并说明你的理由

.（注意：答案所标字母顺序与题干不一样）/一-＞、

国虔J勾股定理./f----------------V9

分廷］因为上部是以AB为直径的半圆，0为AB中点，同时也为半圆的圆心，0G

为半径，OF的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求IIIGF的长度.EF

度等于BC的长度.如果EG的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过.

。F

解客：°E。解：能通过，理由如下:

0为半圆的圆心，则0为AB的中点，0G为半圆的半径,

如图，•・•直径AB=2（已知），

・・・半径OG=1,OF=1.64-2=0.8,

・•.在RtAOFG中,FG2=0G2-0F2=l2-0.82=0.36；

・・.FG=O.6

・・・EG=O.6+2.3=2.9>2.5.

能通过.

虔更：本题考点：勾股定理的应用.首先根据题意化出图形.0G长度为半圆的半径，OF为货车宽的一

半，根据勾股定理可求出FG的长度.从而可求出EG的长度.判断EG长度与2.5的大小关系，如果EG

大于2.5可以通过，否则不能通过.

4、将一根长24cm的筷子置于地面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子

外面的长为hem,则h的取值范围

先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可.

解：当筷子与杯底垂直时'h最大，h最大=24T2=12cm.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：此时，ABVAC2+«C2V122+52-13cm,

故h=24T3=llcm.

故h的取值范围是UcmWhWl2cm.

5、如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA垂直AB于A,CB垂直AB于B,已

知AD=15km,BC=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的

距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，

DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,/.AD2+AE2=BE2+BC2,设AE为x,则BE=25-x,将BC=1O代入关系式即可求得.

解：D两村到E站距离相等，...CEuDE,

在RtZ\DAE和RtZXCBE中，DE=AD2+AE2,CE=BE2+BC2,

.,.AD2+AE2=BE2+BC2.

设AE为x,则BE=25-x,

将BC=10,DA=15代入关系式为(+15?=(25-x)2+102,

整理得，50x=500,

解得x=10,

AE站应建在距A站10km处.

考点十：其他图形与直角三角形

1、如图是一块地，已知AD=8m,CD=6m,ZD=90°AB=26m,BC=24m,求这块地的面积。

第23题图

考点十一：与展开图有关的计算

1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A'B'C'D'的表面上，求从顶点A到顶点C'的最短

根据“两点之间，线段最短”知,（图1）

线段AQ即为最短路线.

••,正方产的边长为1,

...AcJi泛亚

举一反三：

①、如图，-一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点G,已知AB=5cm,BC=3cm,CCi=4cm,

则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm.

解析：

题中由A出发，在盒子的表面上爬到点G,有两种爬法，即从前面到上面和从前面到右面，将两种爬法所

经过的面分别展开，构成两个长方形，连接AC”用勾股定理求出距离再比较即可;

解：(1)如图2,经过上面，A(^AB2+<Bl+Cl)2^/74cm.

图2图3

(2)如图3,经过右面，AG4tAe邮兴长弓V^Scm.

V74<V90,所以此题答案为V河cm.

②如图，长方体的长BE=17cm,宽AB=7cm,高BC=7cm,一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物,

则小蚂蚁走的最短路程是cm.

解析：

蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较

大小即可求得最短路程.

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是2,和7,

则所走的最短线段是642+7—25；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和笃分号是1［和1