安全通论-第16章-民意的演化规律课件

第16章

---民意的演化规律在网络战争中，突然出现了一种新武器，而且还是马上就能投入实战的武器，即，通过网络影响民意，从而颠倒选举结果。随着自媒体的迅速发展，这种武器对某类政体的国家（你懂的），将具有越来越大的杀伤力，因此，无论是从攻，还是从守的角度来看，都必须对它进行认真研究。幸好，若干年前，协同学领域的许多成果和方法可以得到充分借鉴；幸好，这种突发事件没能打破《安全通论》的既有体系；否则，我们的《安全通论》就得另起炉灶了。本章探讨了选情民意变化的动力学规律，同时以数学公式和白话解释的形式，给出了相关的攻防要点。第16章民意的演化规律1.一个传说的启发2.民意结构的动力学方程3.民意主方程的定态解4.民意福克-普朗克方程的定态解5.几点说明第16章民意的演化规律最近，有这样一个传说：俄国总统普京，通过网络手段影响美国选情民意，在关键时刻“黑了”希拉里一把，从而让川普成功当选总统，让铁女人欲哭无泪。如果此事属实，那么，“民意”就已成为网络战的现役武器了。特别是对那些民意决定一切的“非自信国家”，该武器的杀伤力更大。即使这个故事是杜撰的，但从理论上说，借助社交媒体等现代手段来影响民意，也是可行的。16.1一个传说的启发

毕竟“人心都是肉长的”，谁都有非理性决策的时候；毕竟每个人都有“辫子”可抓，都有“也许会掉粉”的不光彩隐私；因此，只要在合适的时机，暴出合适的“猛料”，那么，就完全可能在瞬间改变民意。哪怕这种“变态民意”仅能持续很短一段时期，但是，在关键时刻，它就已经足以影响包括总统选举、地区独立公决等重大事件的结果了。由此可见，“民意者，国之大事，生死之地，存亡之道，不可不察也”。16.1一个传说的启发

我们所研究的民意至少应有如下特点：

（1）针对某件事情，每个人都可以完全根据自己的意愿（而不是领导或组织的安排）公开表达“同意”或“反对”的态度；（2）无论是谁，他们的态度都有相同的重要性，不存在“主人”被“公仆”一票否决的情况，因此，整体民意的情况，就可仅仅根据“同意”或“反对”的票数而定；

16.1一个传说的启发

（3）在最后一刻之前，无论出于何种原因（通常都是受到他人意见影响或突然爆出新信息等），每个人都有权随时改变自己的态度，即在“同意”和“反对”之间反复“跳槽”；（4）不会因为“同意”或“反对”的态度，而受到打击、镇压或奖励；（5）每个人不能同时既“反对”又“同意”，只能两选其一。为简单计，本章暂不考虑“弃权”的情况，即，认为弃权者不包含在需要表态的人员之中。

16.1一个传说的启发

我们假设需要表态的人共有N个，由于每个人既可能“同意”也可能“反对”。如果在某时刻t，有n1个人“同意”，n2个人“反对”，那么，数组{n1,n2}就决定了此刻的民意结构。由于n1+n2=N，所以民意结构{n1,n2}便可以由一个变量n=n1-n2决定（记为{n}，这里-N≤n≤N），即，n1=(N+n)/2和n2=(N-n)/2；这里，由于N足够大，所以，此处除以2后，可只取整数，其对民意的影响，可以忽略不计。16.2民意结构的动力学方程假如有一个人由“反对”转变为“同意”，那么，相应的民意结构就可记为{n1,n2}→{n1+1,n2-1}或者{n}→{n+2}。类似地，假如有一个人由“同意”转变为“反对”，那么，相应的民意结构就可记为{n1,n2}→{n1-1,n2+1}或者{n}→{n-2}。16.2民意结构的动力学方程由于每个人的态度都受到许多随机因素的影响，因此，在t时刻，N人社会的民意结构为{n1,n2}或{n}的概率，便可记为P[n1,n2,t]或P(n,t)，这里的概率分布满足如下归一化条件：∑n=-NNP(n,t)=116.2民意结构的动力学方程若记ω(i←j)表示单位时间内，民意结构由{j}转变为{i}的转移概率；P(i,t)表示t时刻，民意结构为{i}的概率，于是不难验证，成立如下微分方程（称为主方程）：dP(i,t)/dt=∑jω(i←j)P(j,t)-∑jω(j←i)P(i,t)（16.1）其中，右边第一项是从其它民意结构{j}转移到{i}的概率，而第二项则是从民意结构{i}转移到{j}的概率。16.2民意结构的动力学方程

若记P12(n)（或P21(n)）为民意结构{n}时，单个人的态度由“反对”变为“同意”（或由“同意”变为“反对”）的转移概率。若记ω↑(n)为概率ω((n+1)←n)，那么，就有ω↑(n)=n2P12(n)=[(N-n)/2]P12(n)；

同理，若记ω↓(n)为概率ω((n-1)←n)，那么，就有ω↓(n)=n1P21(n)=[(N+n)/2]P21(n)；16.2民意结构的动力学方程此外，还有ω(n’←n)=0，只要n’≠n+1或n-1。将这些等式直接代入公式（16.1），便有dP(n,t)/dt=[ω↓(n+1)P(n+1,t)-ω↓(n)P(n,t)]+[ω↑(n-1)P(n-1,t)-ω↑(n)P(n,t)]16.2民意结构的动力学方程若再记J↑(n,t)=ω↑(n)P(n,t)和J↓(n,t)=ω↓(n)P(n,t)以及K(n,t)=J↑(n,t)-J↓(n+1,t)，那么，公式（16.1）又可以进一步写成：dP(n,t)/dt=K(n-1,t)–K(n,t)=-ΔK(n,t)(16.2)公式（16.1）或公式（16.2）完整且等价地描述了民意结构的变化规律，所以称它们为主方程，后面的主要任务将是努力求解此方程。16.2民意结构的动力学方程当n1和n2以及N都很大时，公式（16.2）可看成关于n的连续形式的微分方程，其边界条件是：J↑(N,t)=J↓(-N,t)=0和K(N,t)=K(-N-1,t)=0(16.3)16.2民意结构的动力学方程下面就可以从连续变量n的角度，来考虑偏微分方程，便有：∂P(n,t)/∂t=[ω↓(n+Δn)P(n+Δn,t)-ω↓(n)P(n,t)]+[ω↑(n-Δn)P(n-Δn,t)-ω↑(n)P(n,t)]={ω↓(n)P(n,t)+Δn∂[ω↓(n)P(n,t)]/(∂n)+[(Δn)2/2]∂2[Δnω↓(n)P(n,t)]/(∂n2)-ω↓(n)P(n,t)}+{ω↑(n)P(n,t)-Δn∂[ω↑(n)P(n,t)]/(∂n)+[(Δn)2/2]∂2[Δnω↑(n)P(n,t)]/(∂n2)-ω↑(n)P(n,t)}(16.4)16.2民意结构的动力学方程若令Δn=1，那么，由公式（16.4）就有∂P(n,t)/∂t=-∂{[ω↑(n)-ω↓(n)]P(n,t)}/∂n+(1/2)∂2{[ω↑(n)+ω↓(n)]P(n,t)}/(∂n2)（16.5）引入连续变量x，将P(n,t)连续化为P(x,t)，并记x=n/N和Δx=(Δn)/N=1/N≡ε（当然-1≤x≤1），因此有，P(x,t)=NP(n,t)=NP(Nx,t)，并且，满足归一化条件∫-11P(x,t)dx=1。16.2民意结构的动力学方程又由于成立ω↑(n)=(N-n)P12(n)=N(1-x)P12(Nx)=Nω↑(x)ω↓(n)=(N+n)P21(n)=N(1+x)P21(Nx)=Nω↓(x)所以，公式（16.5）可以重新写为∂P(x,t)/∂t=-∂{[ω↑(x)-ω↓(x)]P(x,t)}/∂x+(ε/2)∂2{[ω↑(x)+ω↓(x)]P(x,t)}/(∂x2)（16.6）16.2民意结构的动力学方程再引入两个变量：漂移因子K(x)≡ω↑(x)-ω↓(x)和涨落因子Q(x)≡ω↑(x)+ω↓(x)，于是，公式（16.6）便可写为标准的福克-普朗克方程：∂P(x,t)/∂t=-∂[K(x)P(x,t)]/∂x+(ε/2)∂2[Q(x)P(x,t)]/(∂x2)

(16.7)福克-普朗克方程（即，公式（16.7））与主方程一样，它们都完整地描述了民意结构的变化规律，只不过公式（16.2）采用了更加直观的离散方式，而公式（16.7）则是更加容易求解的连续方式而已。16.2民意结构的动力学方程无论是离散或连续的形式，只要能够求解出主方程或福克-普朗克方程，那么，我们的目的就达到了。

记I(x,t)≡K(x)P(x,t)-(ε/2)∂[Q(x)P(x,t)]/∂x，于是I(-1,t)=I(+1,t)=0，且公式（16.7）便可简化为如下连续性方程：∂P(x,t)/∂t=-∂I(x,t)/∂x(16.8)如果在初始时刻t=0时，在x0处具有δ-函数的分布形式，即：P(x,0)=δ(x-x0)(16.9)16.2民意结构的动力学方程并将P(x,t)在时间间隔Δt中的变化率，定义为P(x,t)对时间(t=0时)的微商，即，∂P(x,0)/∂t=limΔt→0[P(x,Δt)-P(x,0]/(Δt)，引理16.1，设x0和ε等的含义如上，那么，关于漂移因子K(x)和涨落因子Q(x)，就成立如下公式：K(x0)=limΔt→0<(x-x0)>Δt/(Δt)和εQ(x0)=limΔt→0<(x-x0)2>Δt/(Δt)(16.10)

这里<.>表示平均值函数。16.2民意结构的动力学方程证明：对公式（16.7）左右两边积分，便有：∫-11[∂P(x,0)/∂t]xdx=∫-11x{-∂[K(x)P(x,0)]/∂x+(ε/2)∂2[Q(x)P(x,t)/(∂x2)]}dx=K(x0)(16.11)根据∂P(x,0)/∂t的定义，有∫-11[∂P(x,0)/∂t]xdx=limΔt→0[∫-11P(x,Δt)xdx–∫-11P(x,0)xdx]/Δt=limΔt→0[<x>Δt-<x>0]/Δt16.2民意结构的动力学方程又由于<x>0=∫δ(x-x0)xdx=x0=∫P(x,Δt)x0dx=<x0>Δt，所以便有∫-11[∂P(x,0)/∂t]xdx=limΔt→0[<x>Δt-<x0>Δt]/Δt=limΔt→0[<(x-x0)>Δt]/Δt于是，K(x0)=limΔt→0<(x-x0)>Δt/(Δt)。同理，可证εQ(x0)=limΔt→0<(x-x0)2>Δt/(Δt)。于是，引理16.1证毕。16.2民意结构的动力学方程由该引理16.1便知，福克-普朗克方程中的漂移因子K(x)和涨落因子Q(x)的含义可解释为：假如从具有δ-函数（见公式（16.9））的初始分布开始运动，那么，K(x0)和Q(x0)就分别是在时间间隔Δt中，x的平均差和平方差除以Δt。所以，漂移和涨落可看成某种意义上的“均值”和“方差”。16.2民意结构的动力学方程本节试图求解民意结构的主方程（即，公式（16.2））。由于求出通解较为困难，为简便计，先固定时间t，即不再将t看成变量。于是，主方程dP(n,t)/dt=K(n-1,t)–K(n,t)=-ΔK(n,t)便可简化为：dPst(n)/dt=Kst(n-1)–Kst(n)=0(16.12)

其中Kst(n)称为恒稳的净概率流。16.3民意主方程的定态解公式（16.12）给出了一个简单的递推关系Kst(n-1)=Kst(n)，再根据公式（16.3）给出的边界条件，便可以从n=-N开始，对递推关系（16.12）求解，得知：对所有-N≤n≤N，成立Kst(n)=0。将此代入上节已有的关系式K(n,t)=J↑(n,t)-J↓(n+1,t)，便知J↑(n,t)=J↓(n+1,t)。16.3民意主方程的定态解于是，再由J↑(n,t)=ω↑(n)P(n,t)和J↓(n,t)=ω↓(n)P(n,t)，便有：ω↓(n+1)Pst(n+1)=ω↑(n)Pst(n)(16.13)由该递推关系（16.13），不难求出主方程的定态解为：Pst(n)=Pst(-N)∏v=-N+1n[ω↑(v-1)]/[ω↓(v)],-N+1≤n≤N(16.14)16.3民意主方程的定态解如果从n=0开始，对（16.13）进行递推：当1≤n≤N时，有Pst(n)=Pst(0)∏v=1n[ω↑(v-1)]/[ω↓(v)]；当-N≤n≤-1时，有Pst(n)=Pst(0)∏v=-1n[ω↑(v-1)]/[ω↓(v)]，这里及公式（16.14）中的Pst(-N)和Pst(0)由概率的归一化条件∑v=-NNPst(v)=1确定。16.3民意主方程的定态解到此，民意结构的定态解Pst(n)其实还没最后求出，因为概率ω↑(v-1)和ω↓(v)还是未知的。参考上一节中的转移概率，我们可知ω↑(n)=[(N-n)/2]P12(n)ω↓(n)=[(N+n)/2]P21(n)此处P21(n)（或P12(n)）为民意结构{n}时，单个人的态度由“反对”变为“同意”（或由“同意”变为“反对”）的转移概率。16.3民意主方程的定态解那么，如何确定转移概率P12(n)和P21(n)呢？当然，最直接的办法就是通过实地问卷来确定其值，但此法很困难，甚至在实践中根本就不可行，而且还难以从中挖掘出民意变化的内部依赖关系。因此，我们就套用协同学的通行办法，由Ising模型将转移概率写成如下形式：P12(n)=v.exp(δ+an)=v.exp(δ+bx)P21(n)=v.exp(-δ-an)=v.exp(-δ-bx)（16.15）16.3民意主方程的定态解在公式（16.15）中，b=aN，δ和v是三个待定参数，称为趋势参数，它们的含义分别是：参数δ是偏好参数，它反映了某些人对“同意”或“反对”这两种态度的偏好。该偏好可能是由其固有的经验而形成的，比如，本党成员对本党候选人就更偏好于“同意”。当δ为正值时，态度从“反对”跳槽到“同意”的概率就增加，当然，从“同意”跳槽到“反对”的概率就减少。当δ为负时，情况刚好相反。16.3民意主方程的定态解参数b为顺从参数。根据n和x的定义，当b为正时，增强了“跟风”（即，赞成多数人意见）的转移概率，同时，减少了“顶风”（即，违背多数人的意见）的转移概率，即，正参数b反映了“跟风”或“顶风”的趋向。该趋向将使多数人的意见越来越占优势，这显然是一种顺应倾向，它由各人固有的性格决定。参数v为灵活参数，它决定着民意反转（或颠倒）的频率。16.3民意主方程的定态解由此便可推出如下的转移概率公式ω↑(n)=v(N-n)exp(δ+an)

ω↓(n)=v(N+n)exp(-δ-an)(16.16)当1≤n≤N时，Pst(n)的递推公式为：Pst(n)=Pst(0)∏v=1n{[ω↑(v-1)]/[ω↓(v)]}=Pst(0)∏v=1n{[(N-(v-1))exp(δ+a(v-1))]/[(N+v)exp(-δ-av)]}=Pst(0){[(N!)2]/[(N+n)!(N-n)!]}exp(2δn+an2)(16.17)16.3民意主方程的定态解同理，当-N≤n≤-1时，也可以得到转移概率Pst(n)的同型公式，所以，不再复述。于是，利用斯特灵公式，此处的公式（16.17）便可写为Pst(Nx)=Pst(0)exp[NU(x)](16.18)其中U(x)=2δx+bx2-{[(1+x)/ln(1+x)]+[(1-x)/ln(1-x)]}16.3民意主方程的定态解Pst(n)的极值c的分布由下面两个公式确定：c=th(δ+bc)

[∂U(x)/∂x]│x=c=2δ+2bc-[ln(1+c)-ln(1-c)]=0那么，为什么要考虑Pst(n)的极值呢？因为，根据Pst(n)的定义，当Pst(n)为极大值时，民意是稳定的，即，民意结构处于状态{n}的概率是极大的（大概率事件就容易发生，对应的状态当然也就更稳定）；当Pst(n)为极小值时，民意不稳定。16.3民意主方程的定态解为了求出Pst(n)的极值点，就需要求解超越方程x=th(δ+x)(16.19)根据前人已经计算出的结果可知，此时有如下三种可能情况：情况1，只有一个解，它对应于Pst(n)的唯一极大值，此时民意最稳定；情况2，有三个不同的解，比如，依大小顺序记为x-1<x0<x1，那么，Pst(n)将有两个极大值（分别对应于x-1和x1），还有一个极小值（对应于x0）。情况3，有两个不同的解（分别形如[(k-1)/k]1/2和-[(k-1)/k]1/2），此时出现两个极值。16.3民意主方程的定态解本节求解民意福克-普朗克方程（即，公式（16.7））。仍然为简便计，先固定时间t，即不再将t看成变量。于是，根据公式（16.7）便有∂Pst(x)/∂t=0=-∂Ist(x)/∂x(16.19)即，Ist(x)为常数，故Ist(x)=Ist(1)=Ist(-1)=0，所以Pst(x)=Pst(x0)[Q(x0)/Q(x)]exp[Nη(x)](16.20)16.4民意福克-普朗克方程的定态解又由于Nη(x)≡(2/ε)∫x0x[K(y)/Q(y)]dy=(2/ε)∫x0x{[ω↑(y)-ω↓(y)]/[ω↑(y)+ω↓(y)]}dy，其中ε=1/N。根据归一化条件∑v=-NNPst(v)=1，结合公式（16.20），便有Pst(x0)=Q-1(x0){∫-11Q-1(y)exp[Nη(y)]dy}-1(16.21)其概率分布的极值位置c由如下方程（16.22）确定0=∂Pst(x)/∂x│x=c(16.22)16.4民意福克-普朗克方程的定态解当c为极大值点时，0>[∂2Pst(x)/∂x2]│x=c；当c为极小值点时有，0<[∂2Pst(x)/∂x2]│x=c

。若ε<<1，则结合此式和由公式（16.22），便有K(c)=0，且：当c为极大值点时，0>K(x)/∂x│x=c；当c为极小值点时，0<[K(x)/∂x]│x=c

。16.4民意福克-普朗克方程的定态解于是，由公式（16.16）便知，民意福克-普朗克方程的定态解及极值方程为：ω↑(x)=(1/N)ω↑(n)=v(1-x)exp(δ+bx)ω↓(x)=(1/N)ω↓(n)=v(1+x)exp(-δ-bx)16.4民意福克-普朗克方程的定态解漂移因子：K(x)=ω↑(x)-ω↓(x)=2v[sh(δ+bx)-xch(δ+bx)]。势函数：V(x)=(2v/b2)[bxsh(δ+bx)-(1+b)ch(δ+bx)]+e，这里e是常数。涨落因子：Q(x)=ω↑(x)+ω↓(x)=2v[ch(δ+bx)-xsh(δ+bx)]。由此得出定态概率分布为Pst(x)=Pst(xo)[Q(x0)/Q(x)]exp[Nη(x)]η(x)=2∫xox{[sh(δ+by)-ych(δ+by)]/[ch(δ+by)-ysh(δ+by)]}dy16.4民意福克-普朗克方程的定态解当N很大，即ε<<1时，成立K(c)=2v[sh(δ+bc)-c.ch(δ+bc)]=0，于是，又可获得如下极值方程：K(c)=0当c为极大值点时，0>K(x)/∂x│x=c；

当c为极小值点时，0<[K(x)/∂x]│x=c

。到此，民意福克-普朗克方程的定态解就很清楚了。16.4民意福克-普朗克方程的定态解舆情、谣言与民意（特别是本章的“民意”）是三个既相互关联，又有所区别的概念。在先进社会中，舆情不可能被掩盖、误导或违背。谣言已是网络战的一种武器（在上一章中我们已经对“谣言动力学”进行了探讨）。本章所指“民意”，其实可以更确切地说成“选票”或“选情”。16.5几点说明无论你是否愿意承认，网络手段已能在紧要关头影响选举结果了，因此，当事各方必须认真考虑两个问题：1）如何影响对手的选举结果；2）如何防止自己的选举结果，被对手恶意影响。16.5几点说明先探讨第一个问题：首先，由于概率P(n,t)是t时刻，意见相左人数为n的概率，所以，n=0（即“同意”与“反对”的人数相等）是最佳攻击点，特别是：如果P(0,t)刚好达到了概率的极大值点时，而且t也刚好是投票时间点，那么，只要成功影响哪怕一票，整个攻击可能就算成功了！如果P(0,t)是概率的极小值点（特别是如果P(0,t)=0）时，那么，此时选情已经“一边倒”，外力就很难影响选举结果了，除非此时t离最后的投票时间还很遥远，因此，攻击者还有机会翻盘。如果对某个远离0的正或负数E，使得概率P(E,t)很大，那么，选举结果基本确定，外力只能望洋兴叹了，哪怕此时远离最后的投票时间点。16.5几点说明其次，记P1(t)≡∑n=1NP(n,t)，即，态度为“同意”的人数占上风的概率。当P1(t)=1/2时，并且t刚好是投票时刻，那么，此时也是最佳攻击时刻当然，如果P1(t)远离1/2（无论是靠近0或1），那么，民意也很难被改变了。16.5几点说明最后，根据已知条件：在投票时刻，P(n,t)的极值只可能出现三种情况（即，1个极值、2个极值、3个极值）。因此，应该特别关注极值的出现情况，比如：若只有一个极大值，而且该值还很大，而且还远离n=0，那攻击者基本上就无计可施了；如果有两个极大值和一个极小值，虽然极小值在n=0附近，但两个极大值分别位于n的正负两端还很靠近n=0，那么，此时攻击方还是有机可乘的；如果只有两个极值，那么它们必定分别出现在正负两端，如果刚好是一个极大值和一个极小值，那么，此时的选情就已经“一边倒”，就很难改变现状了。当然，关于极值的其它情况还有很多，还需要针对具体的情况，做进一步深入的具体研究，此处只给了一些极端特例。16.5几点说明关于第二个问题：怎样才能成功影响选举结果呢？首先，根据偏好参数δ的定义，我们可知：当δ远离0（无论是正或负）时，选民的态度就已基本明确了，即，攻击者很难有所作为了。但是若δ=0或很靠近0，那么此时选民就基本上没有偏见，也是攻击者的最佳冲锋时机。因此，事先了解选民的偏好，以改变δ的正负走向为目标，是影响最终结果的有效途径之一。为此，可以做好相关的