计算机控制08最少拍控制算法课件

第5部分常用控制算法数字滤波与数据处理5.1数字控制器的设计方法5.2数字PID控制器的设计5.3最少拍控制算法5.4大林控制算法5.5模糊控制5.61最少拍控制的定义

最少拍控制是一种直接数字设计方法。所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且闭环脉冲传递函数具有以下形式：式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N拍之内达到稳态。常用控制算法>>最少拍控制算法2最少拍系统的设计原则

最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在Z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数φ(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。常用控制算法>>最少拍控制算法3最少拍系统的设计原则

广义对象的脉冲传递函数系统闭环的脉冲传递函数误差E(z)的脉冲传递函数数字控制器的脉冲传递函数控制量的Z变换常用控制算法>>最少拍控制算法4最少拍系统的初步设计三种典型的输入信号典型的输入函数，对应的z变换其中B(z)是不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式单位阶跃输入q=1 r(t)=u(t) 单位速度输入q=2 r(t)=t 单位加速度输入q=3 r(t)=1/2t2 常用控制算法>>最少拍控制算法5最少拍系统的初步设计闭环误差传递函数的确定根据Z变换的终值定理，系统的稳态误差可以表示为：由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e(∞)为零，必须有：这里F(z)是关于z-1的待定系数多项式。由最少拍系统闭环脉冲传递函数的形式：，故F(z)中的首项应取为1，即：

常用控制算法>>最少拍控制算法6最少拍系统的初步设计闭环误差传递函数的确定可以看出，φ(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，这表明系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。特别的，当选取p=0

时，即

F(z)=1时，系统在采样点的输出可在最少拍(Nmin=q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计结果如下：

φ(z)为：最少拍控制器D(z)为：

常用控制算法>>最少拍控制算法7最少拍系统的初步设计典型输入下的最少拍控制系统分析单位阶跃输入(q=1)输入函数r(t)=1(t)，其Z变换为最少拍控制器设计时选择的闭环传递函数系统误差的脉冲传递函数系统输出以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。常用控制算法>>最少拍控制算法8最少拍系统的初步设计典型输入下的最少拍控制系统分析单位速度输入(q=2)输入函数r(t)=t，其Z变换为最少拍控制器设计时选择的闭环传递函数系统误差的脉冲传递函数系统输出以上两式说明，只需两拍(二个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。常用控制算法>>最少拍控制算法9最少拍系统的初步设计典型输入下的最少拍控制系统分析单位加速度输入(q=3)输入函数r(t)=1/2t2，其Z变换为最少拍控制器设计时选择的闭环传递函数系统误差的脉冲传递函数系统输出以上两式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。常用控制算法>>最少拍控制算法10最少拍系统的初步设计最少拍控制器的局限性最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。最少拍的初步设计方法主要存在如下三方面的局限性：(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差(2)最少拍控制器的可实现性问题(3)最少拍控制的稳定性问题

常用控制算法>>最少拍控制算法11最少拍系统的初步设计最少拍控制器的局限性——对典型输入的适应性差对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其它典型输入不一定为最少拍！例如，当φ(z)是按等速输入设计时，有，根据系统输出与输入关系Y(z)=R(z)·φ(z)，三种不同输入时对应的输出如下：常用控制算法>>最少拍控制算法12最少拍系统的初步设计最少拍控制器的局限性——对典型输入的适应性差从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调量，在1拍处！对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。

常用控制算法>>最少拍控制算法13最少拍系统的初步设计最少拍控制器的局限性——对典型输入的适应性差结论一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数φ(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数φ(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。常用控制算法>>最少拍控制算法14最少拍系统的初步设计最少拍控制器的可实现性问题设广义对象的脉冲传递函数为，数字控制器于是要求degA(z)≥degB(z)，degP(z)≥degQ(z)

闭环系统故有于是为使D(z)物理上可实现，φ(z)应满足的条件是：若广义脉冲传递函数G(z)的分母比分子高N阶，则确定φ(z)时必须至少分母比分子高N阶。常用控制算法>>最少拍控制算法15最少拍系统的初步设计最少拍控制器的可实现性问题

设若被控对象有滞后特性（假设给定连续被控对象有d个采样周期的纯滞后）需要对闭环脉冲传递函数φ(z)分子多项式要进行处理。则所设计的闭环脉冲传递函数φ(z)中必须含有纯滞后，且滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间。否则系统的响应超前于被控对象的输入。

常用控制算法>>最少拍控制算法16最少拍系统的初步设计例：设一采样系统如下图所示，输入r(t)=1(t)，采样周期T=1s，初始值y(0)=0，试设计控制器D(z)使得系统为无稳态误差的最少拍控制系统广义对象的脉冲传递函数为使系统在单位阶跃输入下是无稳态误差的最少拍控制系统，选择则控制器为校正后系统输出相应的Z变换为该系统对单位速度输入的误差的脉冲传递函数为故稳态误差为常用控制算法>>最少拍控制算法17最少拍系统的初步设计Simulink仿真结构图(1)单位阶跃输入(2)单位速度输入常用控制算法>>最少拍控制算法18最少拍系统的初步设计Simulink仿真结果(a)单位阶跃输入下系统输出曲线(b)单位速度输入下系统输出曲线常用控制算法>>最少拍控制算法19最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)最少拍控制器的稳定性问题只有当G(z)是稳定的(即在Z平面单位圆上和圆外没有极点)，且不含有纯滞后环节时，式φ(z)=1-(1-z-1)q才成立。如果G(z)不满足稳定条件，则需对设计原则作相应的限制。原因：在φ(z)中，D(z)和G(z)总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点互相对消。这是因为，简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，系统将出现不稳定的极点，从而将引起闭环系统不稳定！常用控制算法>>最少拍控制算法20最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)最少拍控制器的稳定性问题我们先来看一个例子，观察零极点不能准确对消时会发生什么现象。假设对象的模型是，存在单位圆外的极点z=-1.2，现在针对阶跃输入设计最小拍控制器可得闭环脉冲传递函数为φ(z)=z-1，于是控制器为：

当输入为单位阶跃时,相应的控制量的Z变换为：常用控制算法>>最少拍控制算法21最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)最少拍控制器的稳定性问题但是假如由于辨识存在误差，或者系统参数发生漂移，实际对象的传递函数不是，而是，那么在上述最小拍控制器的作用下，系统的闭环脉冲传递函数为：当输入为单位阶跃时,相应的控制量的Z变换为：闭环系统不稳定!常用控制算法>>最少拍控制算法22最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)最少拍控制器的稳定性问题解决方法是在选择φ(z)和φe(z)时必须加约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。具体的方法是：

①φe(z)的零点中须包含G(z)在Z平面单位圆外或圆上的所有极点②φ(z)的零点中须包含G(z)在Z平面单位圆外或圆上的所有零点，以及纯滞后部分下面我们来分析最少拍稳定性设计的条件。常用控制算法>>最少拍控制算法23最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)考虑广义脉冲传递函数的稳定性问题

考虑被控对象含有滞后的情况：，是不含滞后部分的传递函数，τ为纯滞后时间。令d=τ/T

，对上式进行Z变换得：并设G(z)有u个零点b1、b2、…、bu

v个极点a1、a2、…、av；在Z平面的单位圆上或圆外当连续被控对象Gc(s)中不含纯滞后时，d=0;

当Gc(s)中含有纯滞后时，d≥1，即d个采样周期的纯滞后。

常用控制算法>>最少拍控制算法24最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)考虑广义脉冲传递函数的稳定性问题

重新表示G(z)有

G'(z)是G(z)中不含单位圆上或圆外的零极点部分，但要注意并不是说G'(z)中不能含有z-1项那么为了避免使G(z)在单位圆外或者圆上的零极点与D(z)的零极点对消，同时又能实现对系统的补偿，则需要分析相应的约束条件。常用控制算法>>最少拍控制算法25最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)φe(z)的零点的选择由系统闭环脉冲传递函数的表达式分析如下：若广义对象G(z)中存在不稳定极点，则可用D(z)或者φe(z)的相同零点来抵消。由于计算误差或者漂移的存在，使得用D(z)来抵消G(z)的极点是不可靠的，因此，G(z)的不稳定极点通常由φe(z)的零点来抵消，但是给φe(z)增加零点的代价就是延迟了系统消除偏差的时间。

故φe(z)的零点中须包含G(z)在Z平面单位圆外或圆上的所有极点，即：

上式中，F1(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定极点ai。为了使φe(z)能够实现，F1(z)应为：F1(z)=1+f11z-1+f12z-2+…+f1mz-m常用控制算法>>最少拍控制算法26最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)φe(z)的零点的选择若G(z)有j个极点在单位圆上，即z=1处，则由终值定理可知，φe(z)的选择方法应对上式进行修改。可按以下方法确定φe(z)：常用控制算法>>最少拍控制算法27最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)φ(z)的零点的选择由系统闭环脉冲传递函数的表达式分析如下：若广义对象G(z)中存在单位圆上或者单位圆外的零点(或z-1)，则既不能用φe(z)中极点来抵消，也不能用D(z)中的极点来抵消，因为这样会导致数字控制器D(z)的不稳定。因此，广义对象G(z)中存在单位圆上或者单位圆外的零点和z-1因子，将继续包括在所设计的闭环脉冲传递函数φ(z)中，这将导致调整时间的延长。即φ(z)的零点中，必须包含G(z)在Z平面单位圆外或圆上的所有零点，以及纯滞后部分，即有上式中，F2(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定极点bi。为了使φ(z)能够实现，F2(z)应为：F2(z)=f21z-1+f22z-2+…+f2nz-n常用控制算法>>最少拍控制算法28最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)F1(z)和F2(z)阶数的选取方法φe(z)=1-φ(z)，故degφe(z)=deg[1-φ(z)]当j≤q时：当j＞q时：若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j≤q时，有若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j＞q时，有常用控制算法>>最少拍控制算法29最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)最少拍有纹波控制器的确定根据确定φ(z)时必须满足的约束条件，可求得最少拍控制器为：根据上述约束条件设计的最少拍控制系统，只保证了在最少的几个采样周期后系统的响应在采样点时是稳态误差为零，而不能保证任意两个采样点之间的稳态误差为零。这种控制系统输出信号y(t)有纹波存在，故称为最少拍有纹波控制系统，上式的控制器为最少拍有纹波控制器。

y(t)的纹波在采样点上观测不到，要用修正Z变换方能计算得出两个采样点之间的输出值，这种纹波称为隐蔽振荡(hiddenoscillations)。

常用控制算法>>最少拍控制算法30最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)例：在如图所示的计算机控制系统中，采样周期T=1s，试针对单位速度输入函数设计最少拍有纹波系统，画出数字控制器和系统输出波形解：广义对象的Z传递函数注意G(z)的形式，满足于是在确定φ(z)和φe(z)时所用多项式的阶数为于是针对单位速度输入信号选择

根据上述两式对比其中的系数，可得f21=2,f22=-1常用控制算法>>最少拍控制算法31最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)例：在如图所示的计算机控制系统中，采样周期T=1s，试针对单位速度输入函数设计最少拍有纹波系统，画出数字控制器和系统输出波形解：于是可得，故系统控制器的Z变换为进一步求得常用控制算法>>最少拍控制算法32最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)Simulink仿真结构图常用控制算法>>最少拍控制算法33最少拍有纹波控制器的设计(稳定性设计)Simulink仿真结果图(a)控制量曲线(b)系统输出曲线常用控制算法>>最少拍控制算法34最少拍无纹波控制器的设计常用控制算法>>最少拍控制算法(1)前言(2)纹波分析(3)设计最少拍无纹波控制器的必要条件(4)最少拍无纹波系统确定φ(z)的约束条件(5)最少拍无纹波控制器确定φ(z)的方法(6)无纹波系统的调整时间35最少拍无纹波控制器的设计常用控制算法>>最少拍控制算法前言在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法：①最少拍无差控制器的设计；简单，但是本身缺陷多②最少拍有纹波控制器的设计；考虑了系统稳定性，但输出不稳定③最少拍无纹波控制器的设计；这一小节我们来学习如前所述，最少拍有纹波控制系统的输出响应只能保证采样点上的误差为零，不能确保采样点之间的误差也为零。输出纹波不仅造成误差，而且还消耗执行机构的驱动功率，增加机械磨损。针对上述问题，就出现了最少拍无纹波系统的设计方法。其设计要求是在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，输出误差为零,并且在采样点之间没有振荡，也就是不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，在采样时刻之间也没有纹波。36最少拍无纹波控制器的设计常用控制算法>>最少拍控制算法纹波分析

在零阶保持器的输入端，也就是数字控制器的输出经采样开关后达不到相对稳定，即u(k)值不稳定，因而使系统输出y(t)在采样点之间产生波动。如果输入偏差e(k)=0，保持器的输入脉冲序列为一恒定值，那么输出量y(t)就不会在非采样点间产生纹波。由此可知，最少拍无纹波系统除必须保证输出为最少拍外，还必须使U(z)稳定。

37最少拍无纹波控制器的设计常用控制算法>>最少拍控制算法纹波分析

由图可知：可以证明：只要有足够多的积分环节，如果D(z)·φe(z)是z-1

的有限多项式，那么，在确定的典型输入作用下，经过有限拍以后，U(z)可达到相对稳定，从而保证系统输出无纹波。

38最少拍无纹波控制器的设计纹波分析例：单位阶跃输入r(t)=u(t)，其Z变换为若，则由此可知u(0)=a0,u(1)=a0+a1,u(2)=u(3)=…=a0+a1+a2。即系统的控制量u(k)从第二拍起，就稳定在a0+a1+a2上。当系统含有积分环节时，

a0+a1+a2

=0常用控制算法>>最少拍控制算法39最少拍无纹波控制器的设计纹波分析例：单位速度输入r(t)=t，其Z变换为若，则于是u(1)=0,

u(1)=Ta0,u(2)=T(2a0+a1),u(3)=T(3a0+2a1+a2)

…即当k≥3时，存在关系u(k)=u(k-1)+T(a0+a1+a2)

。当系统含有积分环节时，

a0+a1+a2

=0，故有k≥2时：u(k)=u(k-1)=T(2a0+a1),如果系统中不包括积分环节，即a0+a1+a2

≠0，则从第二拍起，u(k)作匀速变化。

常用控制算法>>最少拍控制算法40最少拍无纹波控制器的设计纹波分析上面的分析中，

是我们人为选取的，只是一个特例而已。当取的项数较多时，用上述方法，依次类推，可以得到类似的结果，但调节时间相应加长。

常用控制算法>>最少拍控制算法41最少拍无纹波控制器的设计常用控制算法>>最少拍控制算法设计最少拍无纹波控制器的必要条件设计最少拍无纹波控制器时，G0(s)中必须含有足够的积分环节，以保证u(t)为常数时，G0(s)的稳态输出完全跟踪输入，且无纹波。无纹波系统要求系统输出信号在采样点之间不出现纹波，须满足：

(1)对阶跃输入，当t≥NT时，有y(t)=常数；

(2)对速度输入，当t≥NT时，有y(t)

=常数；

(3)对加速度输入，当t≥NT时，有y(t)

=常数。这样，被控对象G0(s)必须有能力给出与系统输入r(t)相同的且平滑的输出y(t)。如果针对速度输入函数进行设计，为了跟踪输入，稳态过程中G0(s)的输出也必须是速度函数，为了产生这样的速度输出函数，G0(s)中必须至少有一个积分环节，使得控制信号u(k)为常值(包括零)时，G0(s)的稳态输出是所要求的速度函数。同理，若针对加速度输入函数设计的无纹波控制器，则G0(s)中必须至少有两个积分环节。···42最少拍无纹波控制器的设计设计最少拍无纹波控制器的必要条件为什么对积分环节有要求？因为要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u(k)为常数或零。控制信号u(k)的Z变换为若系统在经过个采样周期之后到达稳态，那么无纹波系统的要求是u(l)=u(l+1)=u(l+2)=……=常数或零。于是假设T(z)=(1-z-1)U(z)，那么T(z)的终值应该为0，即：分析上式即有积分环节个数的结论！

常用控制算法>>最少拍控制算法43最少拍无纹波控制器的设计最少拍无纹波系统确定φ(z)的约束条件根据之前分析，要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u(k)为常数或零，这就应使D(z)·φe(z)是z-1

的有限多项式，又由分析上式，G(z)的极点不会影响到D(z)·φe(z)为z-1的有限多项式，而G(z)的零点倒是有可能使D(z)·φe(z)为z-1无限多项式。因此，要使φ(z)的零点包含G(z)的全部零点。常用控制算法>>最少拍控制算法44最少拍无纹波控制器的设计最少拍无纹波系统确定φ(z)的约束条件

因此，φ(z)必须包含G(z)的分子多项式B(z)，即φ(z)必须包含G(z)的所有零点。这样，原来最少拍无纹波系统设计时确定φ(z)的公式应修改为：其中w为G(z)的所有零点数；b1、b2

、…bw为G(z)的所有零点。常用控制算法>>最少拍控制算法45最少拍无纹波控制器的设计最少拍无纹波控制器确定φ(z