中考数学复习课件-中考考点解读-第四单元-三角形-小专题3-中点问题的六种方法(同名485)

小专题3中点问题的六种方法

方法解读

对应训练A2．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝3，AC＝4.E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为() A．1 B．1.5 C．2 D．2.5A

方法解读

C

3．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝() A．125° B．145° C．175° D．190°对应训练C4．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分别是BC、AC的中点，则ED＝_______.

方法三遇到等腰三角形底边上的中点作中线，构造“三线合一”等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角角平分线“三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题．方法解读【经典母题】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是______.

[思维方法]已知等腰三角形底边上的中点，考虑连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM垂直平分BC，在Rt△ABM中根据勾股定理求得AM的长，再在Rt△AMC中，根据等积法即可求得MN的长．[解析]连接AM.∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥BC(三线合一)，BM＝CM.∵BC＝6，∴BM＝CM＝3.在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理，得5．(2020·福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于() A．10 B．5 C．4 D．3对应训练B6．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为() A．5 B．4 C．3 D．2A

方法解读【经典母题】如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是() A．6 B．4 C．3 D．2C[思维方法]已知S△ABC＝12和点D是AB边上的中点，由三角形的中线等分三角形的面积可得S△ACD＝S△BCD；又点E是BC边上的中点，同理可得S△BDE＝S△CDE，从而可以解答本题．[解析]∵S△ABC＝12，点D是AB边上的中点，∴S△ACD＝S△BCD＝6.又点E是BC边上的中点，∴S△BDE＝S△CDE＝3，即阴影部分的面积是3.故选C.7．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为() A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2对应训练C8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是() A．42 B．48 C．54 D．60D方法五遇见经过中点的垂线段，考虑垂直平分线的性质当三角形一边的垂线过这边中点时，可以考虑利用垂直平分线的性质得到BE＝AE，证明线段间的数量关系．方法解读【经典母题】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝_____.

[思维方法]由AB被垂直平分得直角三角形斜边的中点和AE＝BE，再依据直角三角形斜边上中线的性质定理及勾股定理即可求得AC的长，设AE＝BE＝x，用x表示出CE，在△BCE中，根据勾股定理列方程，即可得AE的长．[解析]连接BE.∵AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝10.又BC＝6，∴AC＝8.设AE＝BE＝x，则CE＝8－x.∵∠BCE＝90°，

9．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为() A．3 B．4 C．5 D．6对应训练B10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的中垂线交BC的延长线于点E，那么CE的长为_____.

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为_____cm.2方法六遇到三角形一边上的中点，倍长中线，构造全等三角形如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系，该方法经常会与中位线定理一起综合应用．方法解读【经典母题】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.[思维方法]此题考虑用倍长中线法构造全等三角形来证明线段间的相等关系．延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，构造全等三角形，证明△BDG≌△CDA，或者延长ED到点G，使得DG＝DE，连接CG，证明△BED≌△CGD；再根据角和线段之间的相等关系，进行转化即可得到结论．[解答]证明：方法1：如图①延长AD至G，使DG＝AD，连接BG.在△BDG和△CDA中，∴△BDG≌△CDA(SAS)，∴BG＝AC，∠G＝∠CAD.又AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF.又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE.方法2：如图②，延长ED到点G，使得DG＝DE，连接CG.∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.在△BED和△CGD中，∴△BED≌△CGD(SAS)，∴∠G＝∠BED，BE＝CG.∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠AEF＝∠BED，∴∠G＝∠EAF，∴AC＝GC，∴AC＝BE.12．如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．对应训练解：延长