职高一年级 第二章 不等式

9999第二章《不等式》§2.1不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用.二、知识要点：实数大小的基本性质:a-b>0Oa>b;a-b=0Oa=b;a-bVOOaVb.不等式的性质:传递性:如果a>b,b>c,贝9a>c;如果a<b,b<c,则aVc;加法法贝比如果a>b,则a+c>b+c;如果a>b,则a-c>b-c;乘法法贝比如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则acVbc;移项法则:如果a+b>c,则a>c-b;同向不等式的加法法则:如果a>b且c>d,则a+c>b+d;如果aVb且cVd,则a+cVb+d;两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a>b>0,且c>d>0,则ac>bd.几个拓展的性质：a>b>0=an>bn(nWN,n>1);a>b>0=n'a>n：b(n^N,n>1);aba>b且c>d=a-d>b-c;a>b>0,且c>d>0=>—;dca>a>b>0（或0>a>b）11ab4.重要不等式:⑴整式形式：a2+b2±2ab（a、bWR）;a2+b2+c2±3abc（a、b、cWR+）abW（a、bWR）;abcW（a、b、cWR+abW（a、bWR）;abcW（a、b、cWR+）;a+b；—⑵根式形式:巧三Tab(a、b£R+);三vabc（a、b、c£R+）;ba⑶分式形式:一+三2(a、b同号)；abbca+丁+—三3（a、b、abcc同号）;11⑷倒数形式:a+三2（a£R+）;a+W-2（a£R-）.aa三、典型例题：1111例1:已知a>b,则不等式①a2>b2:②y;@>—中不能成立的个数是(aba-baA.O个B.1个C.2个D.3个例2:证明不等式:(1)对V(1)对V实数a、b,求证:J"I2丿a2+b2__2⑵求证:对V正实数a、b、c,a+b+c三\'ab+\：bc+\ca；⑶若p>0,q>0,p3+q3=2,试用反证法证明p+qW2;⑷对V实数x、y,求证:x2+xy+y2±0；⑸对V实数a、b丘R+,且a+b=l,求证:（1+-）（1+［）29.ab四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.不等式证明的常用方法:比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差T变形T判断符号;综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”，叙述的形式是:要证A,只要证B;反证法的步骤:假设T推理T矛盾T原命题成立；在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧.五、基础知识训练：选择题：1.(96高职-2)在下列命题中,是真命题的是()A.x>yA.x>y和lxl>lyl互为充要条件11C.a2>b2(bHO)和>厂互为充要条件a2b2B.x>y和X2>y2互为充要条件D.-3a<_4b和4a>3b互为充要条件2.(98高职-2)已知a>b,c£R，由此能推出下列不等式成立的是()A.a+c>b-cB.acA.a+c>b-cB.ac>bcC.ac2>bc2D.a•2c>b-2c（99高职-2）如果（99高职-2）如果ab>0且a>b，则有（）1111A.—>B.—VC.a2>b2abab11（2001高职-4）“aVbVO”是“一>：”成立的（）abD.a2Vb2A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条17.17.设a,bWR且a+b=3,则2a+2b的最小值是（）ab5.不等式〒+—>2成立的充要条件是（）baA.ab>0ab5.不等式〒+—>2成立的充要条件是（）baA.ab>0且aMbB.abMO且aMbC.a>O,b>O且aMb6.（2003高职-2）已知x>2,则函数y=x+厶的最小值是（）x-2D.aHl且bMlD.1A.4B.3C.27.不等式①a2+2>2a;②a2+b2>2(a-b-l);3(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2中,恒成立的个数是()A.0个B.1个C.2个若实数a、b、c满足b+c=3a2-4a+6,b-c=a2-4a+4,则a、b、cA.b三c>aB.b>c>aC.bVcVaD.3个的大小关系是（）D.bVcWa若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)Vg(x)若aM2或bM-1,则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是(A.M>-5B.MV-5D.随x值变化而变化C.M=-5D.不能确定111.已知0VaV1,则aa、a-a、aa的大小关系是（A.aa>A.aa>aa>a-a1B.a-a>aa>aa1C.aa>aa>a-a1D.a-a>aa>aa12.已知aVb12.已知aVbVO,则下列不等式中不能成立的是（A.a2>b2B.|a|>|b|)11C._>bab11D.a-b>a13.设a、b是不相等的正数,则（）a+a+bA.2<a2+b2Jab<2a2a2+b2a+bC-ab<—<〒!a2+b2r—a+bD.—5―14.若0VxV1,0VyV1,且xMy,而x2+y2,x+y,2xy,2\：'xy中最大的一个是()A.2xyB.x+yC.2A.2xyB.x+yC.2JxyD.x2+y2a2+b2（a+b）2a2+b2a+bab若a、b为非零实数,则在①一-一三ab:②——W—-—:③———；2I2丿22a+bba④一+〒三2中，恒成立的个数是（）abA.4个B.3个C.2个D.1个设正数a,b满足ab=4,则2a+3b的最小值是（）A.12B.10C.4、6D.4、3A.6B.8C.4i；2D.2\.2若实数x,y满足方程x+y-4=0,则x2+y2的最小值是（）A.4B.6C.8D.10令OVaVb,且a+b=1,则下列四数中最大的是（）1A.B.aC.2abD.a2+b2220.设a、b是两实数，给出下列条件:①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是（）A.②③B.①②③C.③④⑤D.③1x2+2x2+5下列命题中,（1）x+—的最小值是2；（2）的最小值是2；（3）的最小值是XJx2+1&X2+442；（4）2-3x-的最小值是2•正确命题的个数是（）xA.1个B.2个C.3个D.4个（二）填空题：ab若x>y且a>b，则在“①a-x>b-y；②a+x>b+y；③ax>by；④x-b>y-a；⑤一>—”yx这五个式子中恒成立的不等式的序号是cd已知三个不等式:①ab>0；②-一<-丁；③bc>ad.以其中两个作为条件,余下的一个作ab为结论，则可以组成个正确的命题.11以下四个不等式：①aVOVb；②bVaVO；③bVOVa；④0VbVa.其中使一<；成立的abTOC\o"1-5"\h\z充分条件有.亠cc4（99咼职-17）已知x>0,函数y=2一3x一的最大值是.x2（2002高职-16）已知函数y=x2+—,（x>0）,则y的最小值是.x（三）解答题：964（1）已知:x>1,求4x+的最小值；（2）已知:x<0,求y=x3+的最大值.x2x328.已知:a、bWR+,求证:三药.（要求用比较法、综合法、分析法、反证法分别证明）29.若a、b、cWR+,且a+b+c=l,求证:(一-1)(-1)(—-1)28.abc六、综合能力提高：1630.函数y=x+(x>1)的最小值是x—131.已知:xeR，求y=二=的最小值.x2+2§2.2一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集.二、知识要点：能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2.一次不等式ax>b（aMO）的解法：|b、一b当a>0时，解集是｛x|x>｝，用区间表示为（一,+兀）；TOC\o"1-5"\h\zaabb当aVO时，解集是｛x|x<｝，用区间表示为（Q,—）.aa3.不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集.三、典型例题：(2)(x2+1)(x-3)<(2)(x2+1)(x-3)<03x+4<5x-6（1）（x-3）2（x-4）20.四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式（组）的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则，以及不等式的性质，对所给不等式进行同解变形，直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练：（一）选择题：TOC\o"1-5"\h\z已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）A.mV-2B.mW-4C.m>-5D.-5VmW-4已知方程mx2+（2m+l）x+m=0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是（）1111A.mV—B.m>—C.m三—D.m>——且mM04444（二）填空题：fax>—1空集,则实数a的fx—1空集,则实数a的fx—1<0(2)<2x+5>03x—6<0Ix+a>0取值范围（三）解答题：224.解不等式（组）:（1）5（x-2）Wx-§§2.3分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:a^b>0或竺呂<0（c丰0）.cx+dcx+d二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式ax+beax+b为：>0或<0（c丰0）,不等号也可以是“三”或“W”.cx+dcx+d三、典型例题：—x+3x+5例:解不等式：>x-2x-1四、归纳小结：分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有：（1）转化为一次不等式组；（2）区间分析法.解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法.注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制五、基础知识训练：（一）选择题：11满足一<2与一>-（一）选择题：11满足一<2与一>-3的x适合的条件是（xx11

A-<x<-32x-41B.x>2)1C.x<-3D.x下列不等式中与三0同解的是（3-x3-xB三0x-4A.(x-4)(3-x)20C.Ig(x-3)W0D.(x-4)(3-x)>02x+13.不等式>1的解集是（）x-2B.{xl-2VxV3}A.{xl0WxB.{xl-2VxV3}A.{xl0Wx<3}x-34.不等式<0的解集是()x2-2x+1C.{xl-6Wx<3}D.{xlx<—3或x>2}A.{xlxV3}B.{xlKx<3}C.{xlx<3或xMl}D.{xlx<3且xM1}5.不等式（“3）2：一°W0的解集是（x-2A.{xl1Wx<A.{xl1Wx<2}B{xl1<x<2或x=-3}C.{xl1Wx<2或x=-3}D.{xl1WxW2或x=-3}设a>b>设a>b>c,则不等式三0的解集是()x-cA.(-8,c)U[b,a)B.(c,b]U[a,+^)C.(c,b]U(b,a](二)填空题：2x-1不等式>1的解集是.x+3D.(c,a]U[b,+8)8.不等式(x-1)2(x+2)(x2-4)(3-x)三0的解集是9.若不等式三0的解集为{xl-3VxV-l或x±2},则9.若不等式10.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据这个事实提炼一个不等式x2-5x-611.设关于x的不等式ax+b>0的解区间为(1,+呵,则关于x的不等式<0的解区ax+b间为•(三)解答题：12.解下列不等式:21(2)(1)<x+1(2)x六、综合能力提高：x2+px+q小13.若不等式x2+px+qV0的解集是{xl1VxV2},则不等式>0的解集是()x2-5x-6A.(1,2)B.(-g,-1)U(6,+^)C.(-l,1)U(2,6)D.(-^,-1)U(1,2)U(6,+^)§2.4含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集.二、知识要点：Ix-al(a^O)的几何意义是x在数轴上的对应点到a的对应点之间的距离.不等式IxIWa(a>0)的解集是{xl-aWxWa};不等式IxI>a(a>0)的解集是{xlxV-a或x>a}.不等式Iax+bIVc(c>O)的解集是{xl-cVax+bVc},然后解这个一次不等式，求出原不等式的解集;不等式Iax+bI>c(c>0)的解集是{xlax+bV-c或ax+b>c},然后解这个一次不等式，求出原不等式的解集，即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集.三、典型例题：例:解下列不等式:(1)Ix2-3xl>4(2)1WI2x-1lV5(3)x+lx-1lV2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式IxlVa、Ixl>a(a>0)的解法，并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式.五、基础知识训练：选择题：(2002高职-2)不等式lx-2l>1的解集是(2002高职-2)不等式lx-2l>1的解集是(A.(1,3)B.(3,+s)不等式I2-3xI>5的解集是()77A.(-1,3)B.(y,+^))C.(--,1)D.(-g,1)U(3,+s)D.(--,-1)U(|,+^)13.不等式I2-3xIW2的解集是()55A.{xl2<x<6}B.{xlx<2或宀6}1C.{xlxW或}2615d.{xl2X6}已知A={X|x+2|25},B={X3—X<2},则AUB等于()A.{xlxW7或x>1}B.{xl-7Wx<1}C.{xlxWR}D.{xlxW7或x±3}已知A={X|x—2|<3},B={X|x—1|>1},则AnB等于()A.{xlx<0或x>2}B.{xl-1<x<5}C.{xl-1<x<0}D.{xl-1<x<0或2<x<5}6.设ab>0,下面四个不等式①la+bl>lal；②la+bl<lbl；③la+bl<la-bl；®la+bl>lal-lbl中，正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④下面四个式子①la-bl=lb-al；②Ia+bl+la-bl±2lal；③耳'(—a)2二a‘④-+\b|丿>、］ab|中,TOC\o"1-5"\h\z成立的有()A.①、②B.①、②、④C.①、②、③D.①、②、③、④填空题：a(2001高职-14)若不等式lx-alVb的解集为{xl-3Vx<9},则log=.2b若{xlla-2xl>b,b>0}={xlxV-5或x>4},贝Va2+b=.若x£Z，则不等式|x—2|<3的解集.解答题：设集合A={xll2x-1IW3},B={xllx+2IV1},求集合C,使其同时满足下列三条件：(1)C［(AUB)nZ］；(2)C中有三个元素；(3)CUB工①.12.解下列不等式：(1)3<|2x—*7六、综合能力提高：13.解下列不等式：(1)l3x-1l>x+3(2)|x+2|+|x|>4

§2.5一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对比表如下:判别式△=b2-4ac△>0△=0△VO一兀二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一兀二次方程ax2+bx+c=0(aZ0)的根有两相异实根f一bb2一4acx二1,22a(X]Vx2)有两相等实根bx=x=122a没有实根元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)<x或x>x}12即两根之外b{xeRx丰}2a实数集Rax2+bx+c<0(a>0)4x<x<x}12即两根之间①①三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x2>0；(2)x(x+2)-1三x(3-x)；(3)x2-2、；3x+3>0；(4)x2+6(x+3)>3；(5)3x2+5W3x.11例2:m是什么实数时，方程(m-1)x2-mx+m=0有两个不相等的实数根?11例3:已知ax2+2x+c>0的解集为-—<x<亍,试求a、c的值，并解不等式-cx2+2x-a>0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：(一)选择题：1.(97高职-1)不等式x2+2x+1>0的解集是()D.{xlxM-1,xWR}D.{xl-1D.{xlxM-1,xWR}D.{xl-1VxV0}D.aVO且b2-4acW02.不等式（x2-4x-5）（x2+8）V0的解集是（）A.{xl-1VxV5}B.{xlxV-1或x>5}C.{xlOVxV5}3.不等式ax2+2x+c>0(aM0)的解集是空集的充要条件是()A.aVO且b2-4ac>0B.aVO且b2-4ac<0C.aVO且b2-4ac三04.下列不等式中,解集是空集的不等式是()A.4x2-20x+25>0B.2x2-4、3x+6W0C.3x2-3x+1>0D.2x2-2x+1V0若x2-mx+1V0,则实系数m的取值范围为（）A.m>2或mV-2B.-2VmV2C.mM±2D.mWR11若ax2+5x+c>0的解集是{x3<x<㊁},则a+c的值为（）A.7B.5A.7B.5C.-5D.-7二)填空题：7.已知不等式x2+bx+c>0的解集为{xlxV-\3或x>y2}，则b=,c=已知(m+3)x2+(2m-1)x+2(m-1)V0对任意xWR都成立,则实系数m的取值范围为(三)解答题：设集合A={xlx2-2x-820,xWR},B={xl1-lx-al>0,x,aWR},AHB=①,求a的取值范围.10.不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1V0的解是全体实数,求实数a的取值范围.11.若函数y=x2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k的取值范围.12.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.12.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.六、综合能力提高：已知不等式：①x2-4x+3V0；②x2-6x+8V0；③2x2-9x+mV0.要使同时满足①、②的x也满足③，则有()A.m>9B.m=9C.mW9D.0VmW9若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0,另一根大于1而小于3,求实数a的取值范围.15.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为OVaVxVB，求不等式cx2-bx+a>0的解集.§2.6不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2)该船捕捞若干年后,处理方案