人教版 八年级下册 数学课堂笔记 郁金香作

第页（八年级下册）海盗作飞虎影视工作室 如何学好初中数学数学从古至今在人们的生产生活中占据了非常重要的地位，随着时代的发展和人们需求的增加，所以我们更要学好数学！一、学习数学的几个方面：课前：预习，画出自己不理解的地方上课时：认真听讲，并做到“四到”（即心到,上课时将自己在预习的难点作重点听并对有写内容作记忆；口到，上课时紧跟着老师的步伐有时候要跟着老师后面说以加深印象；眼到，上课时眼睛要紧跟着老师的步伐，看着老师在黑板上的板书；④手到，上课时要能动手主动在草稿纸上写写画画，做好课堂笔记。）课后：复习时必不可少的一个环节，在每门功课上每天不需要花太多的时间来将一天中的知识点做个回顾（可以是在你将睡觉前的时候花一点时间回顾一下）作业：每当我们学习了一个知识点的时候，我们要做的是采用做题这种最原始也是最有效的方法来巩固我们的知识（在作业时要独立思考切记不可抄袭）。在作业中我们会发现一些问题，这时就是我们来查漏补缺的最佳时间，当我们发现了问题我们就得学着去独立地解决问题。怎样才能算是掌握了知识点学会理解：数学属于理科，对于理科我们更多的是采用理解解决问题的方法，要能做到触类旁通、举一反三。思维的建立：数学是由若干个小的知识点聚合成的，我们一定要培养按照由“点→线→面”的思维将整个初中数学的各个知识点串联起来，并在脑海中形成一个整体的框架。解决问题时的思维方式的转变面对任何问题无非于这几个步骤:审题：理清题意，明确题目中要你解决的问题选择解题的途径反思为什么选择这个方法列式，求解检验作答紫色郁金香分式16.1分式16.1.1从分数到分式（1）我们知道，可以写成，所以我们也可以将写成，所以我们可以得到分式的一般概念：一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，则代数式就叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。【例1】填空：（1）当x时，分式有意义。（2）当x时，分式有意义。（3）当b____时，分式有意义。（4）当x、y满足关系时，分式有意义。解：（1）当分母3x≠0时，x≠0时，分式有意义。（2）当分母x-1≠0时，x≠1时，分式有意义。（3)当分母5-3b≠0时，b≠时，分式有意义。(4)当分母x-y≠0时，x≠y时，分式有意义。分式有意义、无意义、等于零、大于零、小于零的条件：分是有意义的条件：分母不等于零分式无意义的条件：分母等于零分数的值等于零的条件：分子等于零且分母不等于零④分式的值为正的条件：分子、分母同号⑤分式的值为负的条件：分子、分母异号题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当有何值时，下列分式有意义（1） （2） （3） （4） （5）题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当取何值时，下列分式的值为0.（1） （2） （3）题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当为何值时，分式为正；（2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.（3）有理式的定义 整式整式和分式统称为有理式,即有理式16.1.2分式的基本性质 分式分式的基本性质分式的分母和分子都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为=,=(其中M是不等于零的整式）（注：1.基本性质中的ABM表示的是整式，其中B不等于0是已知条件中的隐含条件，一般在解题的时候不需要强调，M不等于0是在解题过程中的附加条件，在运用分式的基本性质时必须强调M不等于0.2.应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”和“同”两个字的含义，避免犯只乘分母一项的错误。）题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1） （2）题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1） （2） （3）题型三：化简求值题【例3】已知：，求的值.提示：整体代入，①，②转化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.分式的约分分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。（约分的关键是确立分子和分母的公因式。）确立分子和分母公因式的方法：如果分子分母都是单项式，取他们系数的最大公约数于相同字母的最低次幂的积就是他们的公因式;如果分子分母是多项式，要先把多项式分解因式，再找公因式。最简分式：分式和分母没有公因式的分式。【例】把下列各式约分：(3)(4)(5)；(6)分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做式子的通分。（通分的关键是确定几个分式的最简公分母。）最简公分母的确定方法：最简公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数：最简公分母的字母因式，取各个分母所有字母因式的最高次幂的积：如果分母是多项式，则首先将多项式分解因式。【例1】、、【例2】、把分式中的分子，分母的同时缩小3倍，则分式的值是（）A、扩大3倍 B、缩小3倍C、改变D、不改变[练习]（1）（2）（3）（4）16.2分式的运算16.2.1分式的加减同分母分式的加减运算法则同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。即：（注：“把分子相加减”是把各个分式的“分子的整体相加减”，即各个分子都应该有括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子时多项式时，括号不能省略。）异分母分式的加减运算法则先通分，再加减；即：。（注：1.若加减运算中含有整式，应视为分母为1，进行通分。2.分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式。）【例1】计算：（1）eq\f(5x+3y,x2-y2)－eq\f(2x,x2-y2)(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p-3q)分析：这两题就是分式加减法的运用。（1）是同分母分式的加减法，直接用法则就可以了。（2）是异分母分式的加减法，过程是先通分，通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减。师生共同来解两个题。教师写出解题过程。解：（1）原式＝eq\f(5x+3y-2x,x2-y2)=eq\f(3x+3y,x2-y2)=eq\f(3(x+y),(x+y)(x-y))=eq\f(3,x+y)（2）原式＝eq\f(1(2p-3q),(2p+3q)(2p-3q))+eq\f(1(2p+3q),(2p+3q)(2p-3q))=eq\f(2p-3q+2p+3q,(2p+3q)(2p-3q))=eq\f(4p,(2p+3q)(2p-3q))=eq\f(4p,4p2-9q2)。16.2.2分式的乘除分式的乘法法则分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积做积的分母；用式子表示为：。分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，及被除式相乘，用式子表示为。（注：在运算时要注意分式的除法是乘法的逆运算，进行除法就是转化为乘法进行。对于运算的结果要进行化简，一定要约分。）分式的乘法：分式的乘法法则分式乘方要把分子、分母分别乘方，即：=【例】．先化简后求值（1），其中满足.（2）已知，求的值.（3）．已知：，试求、的值.整数指数幂及科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1） （2）（3） （4）题型二：化简求值题【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）；（2）.16.3分式方程（1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。（2）解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，再运用整式方程的解法求解，而化为整式方程的过程是利用分式的基本性质和等式的基本性质通过去分母来完成的。（2）解分式方程的一般方法和步骤在分式的两边同时乘以公分母，把原方程化为整式方程，即去分母。解这个整式方程验根，把整式方程的根带入到最简公分母中，使得最简公分母不等于零的根是原方程的根。使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去。（4）增根产生的原因再解分式方程的时候，我们在方程的两边同时乘以含有未知数的代数式，从而将其化为整式方程，在此过程中，分母不为0的限制被无形的取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了，这样也就产生了增根，因此我们在解分式方程的时候一定要验根。列分式方程解应用题的步骤：审题，了解已知量和所求量各是什么；设出未知量；找出相等关系，列车分式方程；④解这个分式方程；⑤检验，看所求解是否满足题意；⑥写出答案；（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）；（2）提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.提示：且，且.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方程提示：（1）是已知数；（2）.题型五：列分式方程解应用题1．解下列方程：（1）； （2）（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法【例1】．解方程：二、化归法【例2】．解方程：三、左边通分法【例3】：解方程：四、分子对等法【例4】．解方程：五、观察比较法【例5】．解方程：六、分离常数法【例6】．解方程：七、分组通分法【例7】．解方程：（三）分式方程求待定字母值的方法【例1】．若分式方程无解，求的值。【例2．】若关于的方程不会产生增根，求的值。【例3】．若关于分式方程有增根，求的值。【例4】．若关于的方程有增分式方程的应用:【例】．(2006年长春市)A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，则A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可解：设B城市每立方米水的水费为x元，则A城市为1.25x元 解得x=2经检验x=2是原方程的解。1.25x=2.5（元）答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。点评：收缴水、电费的问题是贴近生活的热点问题，是老百姓最关心的问题之一，体现了数学的实用性的理念【例】（2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：，解之得：x=40，y=60．（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成．由（1）知，乙工程队30天完成工程的，∴甲工程队需施工÷=20（天）．最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=2．25（万元）．答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是2．25万元．评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维．反比例函数17.1反比例函数17.1.1反比例函数的意义在一个变化过程中，如果有两个变量x及y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值及其对应，则我们就说x是自变量，y是x的函数。形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数（1）定义：形如y＝（k为常数，且）的函数统称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。也称x及y成反比例关系.反比例函数的表达形式还有，xy＝k（k0）。反比例函数的特征：自变量x位于分母上，且其次数是1次；常量k≠0；自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；④函数值y的取值范围是非零实数；练一练：下列等式中，哪些是反比例函数（1）（2）（3）xy＝21（4）（5）（6）（7）y＝x－4分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式【例1】：（1）已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝8，写出y及x的关系式，并求当y＝－4时，x的值；（2）已知点（1，-2）在反比例函数的图象上，则k=____________。思考：当m取什么值时，函数是反比例函数？分析：反比例函数（k≠0）的另一种表达式是（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。解得m＝－2反比例函数的图象和性质和一次函数一样，反比例函数有表达式法，列表法，图象法三种反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不及坐标轴相交。⑶反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是或）。⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为反比例函数的图象和性质函数图象性质反比例函数y＝（）k>0双曲线，位于第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，及x轴，y轴无交点k<0双曲线，位于第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，及x轴，y轴无交点例题2：（思考）当两个反比例函数的k的符号相同时，k对函数图象的影响练一练：在右面的平面直角坐标系中画出函数，和的图象，比较这三个函数图象的特点。例题3：如图是三个反比例函数，在x轴上方的图像，由此观察得到kl、k2、k3的大小关系为（）A.k1>k2>k3B.k3>k2>k1C.k2>k3>k1D.k3>k1>k217.1.3反比例函数图象解析式的确立我们知道反比例函数的解析式是y=，在这个式子中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的，所以我们只要有一组x、y的对应的值或图像上一点的坐标，带入y=中求出k的值。【例】：已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的表达式是___________，当x<0时，y随着自变量x的值的增大而__________。17.2反比例函数的应用在实际生活中，我们通常会应用反比例函数的的知识建立数学模型来解决实际问题。【例】如果一次函数相交于点（），则该直线及双曲线的另一个交点为（）【解析】勾股定理18.1勾股定律勾股定理的内容如果直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，则：勾股定理的作用已知直角三角形的两边，求第三边；已知直角三角形的一边，求另两边的关系；用于证明平方关系的问题；④利用勾股定理，做出的线段。【例1】考点一、已知两边求第三边在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．在数轴上作出表示的点．4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．【例2】考点二、利用列方程求线段的长ADEBC5．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAADEBC6．如图，某学校（A点）及公路（直线L）的距离为300米，又及公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之及该校A及车站D的距离相等，求商店及车站之间的距离．【例3】考点三、判别一个三角形是否是直角三角形分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有8、若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是18.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的内容如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形。（注：当c2≠a2+b2时，有两种情况：1.当c2>a2+b2三角形钝角三角形2.当c2<a2+b2三角形锐角三角形）【例1】：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形分析：根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.a=7，b=25，分析：根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.解：最大边为25∵a2+c2=72+242=49+576=625b2=252=625∴a2+c2=b2∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形.18.3勾股定理的应用将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学题”.【例2】如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，及在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什么？根据是什么？根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形ASBCD对角线AC之长．我们可以利用勾股定理计算出AC的长。解如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短路程约为１０．７７cm．【例3】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，及地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得ＣＤ＝＝＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．第十九章四边形19.1平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．【例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC,AD//BC，∴四边形平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．平行四边形的性质平行四边形的性质（一）平行四边形性质1：平行四边形的对边相等．平行四边形性质2：平行四边形的对角相等．【平行四边形的性质的验证】这是利用全等三角形的性质得到的。A∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥DC∴∠1=∠3,∠2=∠4,又∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA∴AB=CD,AD=BCB∵△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D,∵∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,即：∠BAD=∠BCD（注意：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）【例1】如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．平行四边形的性质（二）（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．四边形性质的应用例题讲解：【例2】已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O及AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ABCD，∴AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．【例3】一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，则这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析

根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．解

设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．【例4】

已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．分析

由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．解

∵四边形为平行四边形，∴答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．说明：得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．【例5】已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，则OE、OF是否相等，说明理由．分析

观察图形，，从而可说明证明

：在中，交于O，【例6】已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证：分析

观察图形，及都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则及全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系证明

∵四边形ABCD是矩形，又，【例7】O是ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若及的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.

解答：ABCD中，，.

∴的周长在ABCD中，.

∴的周长－的周长∴ABCD的周长说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将及的周长的差转化为两条线段的差.

【例8】

已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，.

求这个平行四边形的面积.

解：设.

∵四边形ABCD为平行四边形，又∵四边形ABCD的周长为36，解由①，②组成的方程组，得.

说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.

平行四边形的判定平行四边形判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法2：对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定方法4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（推论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．）【例1】如图，已知：OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？解：∵OA=OC,OB=OD,（已知）∠AOD=∠BOC（对顶角相等）,∴△AOD≌△BOC（边角边）∴∠OAD=∠OCB,（全等三角形对应角相等）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.同理：AB∥DC∴四边形ABCD是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.【例2】已知四边形ABCD中，AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD为什么是平行四边形？证明：∵AD∥BC（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）∵AC=CA(公共边)∴△ADC≌△CBA(边角边)∴∠3=∠4（全等三角形对应角相等）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【例3】已知：如图AD=BC,AB=DC则四边形ABCD为什么是平行四边形？解：∵AD=BC,AB=DC(已知)，AC=CA(公共边)∴△ABC≌△CDA(边边边)∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【例4】已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．证明：(1)∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四边形ABCB′是平行四边形．∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．(2)由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．∴AB＝B′C，AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．∴B′C＝A′C．同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．【例5】已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CD．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．∴BE=DF．此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此会使你获得清晰的证明思路．【例6】已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE及△CDF全等，由角角边即可．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，且AB∥CD．∴∠BAE=∠DCF．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴BE=DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．三角形的中位线一、三角形的中位线的概念：连结三角形两条边中点的线段叫三角形的中位线【例1】如上图，连结△ABC的两条边AB、AC的中点的连线段EF叫三角形的中位线.二、三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半【例2】已知：如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点.求证：EF∥BC，EF=BC.方法1把△ABC绕点E旋转180º.则点A的像是点B，点B的像是点A，点C的像是点D，设点F的像是点H,H、F必经过点E,连结,AD、BD、EF、CD，则EF=EH=HF∵CE=DE,AE=EB,∴四边形ADBC是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∴AC∥DB,AC=DB(平行四边形的对边分别平行且相等)∵HB=DB,FC=AC∴HB=FC∴四边形HBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∴HF=BC，（平行四边形的对边相等）∴EF=BC方法2过点C作AB的平行线交EF的延长线于D∵CD∥AB，(所作)∴∠A=∠ACD（两线平行，内错角相等）又AF=FC，∠AFE=∠CFD∴△AFE≌△CFD(ASA)∴AE=CD(全等三角形的对应边相等)又AE=EB(已知)，∴BE=CD(等量代换)∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）方法3：如图，延长EF到D使FD=EF,连接AD、EC、CD.∵AF=FC,EF=FD,∴四边形AECD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)∴AE=CD=BE，AB∥CD∴四边形EBCD是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴ED=BC(平行四边形的对边相等)∴EF=ED=BC.形成结论：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.即：∵EF是△ABC的中位线，∴EF=BC.【例3】顺次连结四边形ABCD各边中点E，F,H,M，得到四边形EFHM是平行四边形吗？为什么？解：连结AC，∵MH是△DAC的中位线，∴MH∥AC，MH=AC（三角形的中位线性质）同理：EF∥AC，EF=AC∴四边形EFHM是平行四边形(有一组对边平行是四边形是平行四边形)19.2特殊的平行四边形19.2.1矩形一、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)二、矩形的性质：矩形的四个角都是直角．2.矩形的对角线相等．矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心（推广：有性质2有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）【例1】已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6．则AD=6cm．（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm．【例2】已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴EF=EC．此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．三、矩形的判定方法：1.有三个角是直角的四边形是矩形2.对角线相等的四边形是矩形【例3】已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC，BO=BD．∵AO=BO，∴AC=BD．∴ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，∴BC=（cm）．已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAB＋∠ABC=180°．∠DAB，BG平分∠ABC，∴∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．∴∠AFB=90°．同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．19.2.2菱形菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形（【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．）菱形的性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.2）菱形的四条边都相等.3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.（对角线把它分成四个直角三角形）4）既是轴对称图形又是中心对称图形5）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）三、菱形的判定：1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形2.四边都相等的四边形是菱形3.每条对角线平分一组对角的四边形是菱形【例1】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线及边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又EF⊥AC，∴AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．【例2】已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD是菱形证明：∵AB=CD，BC=AD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）又∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）【例3】已知：四边形ABCD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC求证：四边形ABCD是菱形证明：∵AC平分∠DAB和∠DCB∴∠DAC=∠BAC∠DCA=∠BCA又∵AC=AC∴△ADC≌△ABC（A．S．A．）∴AD=AB，CD=CB同理，∵BD平分∠ABC和∠ADC∴AD=CD，AB=CB∴AB=CD，BC=AD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）又∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）正方形一、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的判定1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.2）矩形+有一组邻边相等3）菱形+有一个角是直角4）既是轴对称图形又是中心对称图形注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.三、正方形的性质：所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．【例1】已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO≌△DFO．∴OE=OF．【例2】已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∴△ABM≌△DAN．∴AM=DN．同理AN=DP．∴AM+AN=DN+DP即MN=PN．∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．【例3】已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F。求证：DECF是正方形。证明：DE⊥AC∠DEC=90°DF⊥BC∠DFC=90°四边形DECF是矩形∠ACB=90°CD平分∠ACBDE⊥ACDE=DFDF⊥BC四边形DECF是正方形19.2.4梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（强调：①梯形及平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的。（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．【例2】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．二、等腰梯形的判定：1）证明两腰相等2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形.关注：梯形中常见的几种辅助线的画法.对角线相等的梯形是等腰梯形,但不能作为定理.补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.三、关于等腰三角形的一些结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．【例3】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．求证：AB=CD．分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，则它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．证明方法1：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．∵AB∥DE，∴∠B=∠1，∵∠B=∠C，∴∠1=∠C．∴DE＝DC．又∵AD∥BC，∴DE＝AB=DC．证明时，可以仿照性质证明时的分析，来添加辅助线DE．证明方法二：用常见的梯形辅助线方点A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，垂足分别为E、F（见图一）．证明方法三：延长BA、CD相交于点E

（等腰梯形判定方法在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．）【例4]】证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC．∵AC=BD，∴DE=BD∴∠1=∠E∵∠2=∠E，∴∠1=∠2又AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．说明：如果AC、BD交于点O，则由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．另解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．【例5】已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，由AE，BG延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．【例6】画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成AECD的画图．画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．②延长BE到C使EC=4cm.③分别过A、C作AD∥BC，C