【新人教A版】高中数学选修4-5课件(全套)

不等式的基本性质

(第二课时)1【知识回顾】1、不等式的概念:同向不等式；异向不等式;同解不等式．2、比较两个实数大小的主要方法:(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；(2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下结论．大多用于比较幂指式的大小．2探究！

类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？3不等式的基本性质单向性双向性4问题

上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？5注意1、注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”;2、要会用自然语言描述上述基本性质；3、上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础。67例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求证：【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能自己“制造”性质来进行．8例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.9例4、已知，求下列式子的取值范围。（1）1-x（2）x(1-x)解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运算。本题常见的错误是将取值范围扩大。变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.10【解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明朗．赋值法是解选择题、开放题等常用的方法．它将复杂的问题简单化，是我们常用的数学方法．例5、已知

A、A<B<C<D;B、D<A<B<C;C、D<B<A<C;D、B<D<A<C11作业P101、3、412第一讲不等式和

绝对值不等式

13不等式的基本性质

(第一课时)观察以下四个不等式：a+2>a+1----------------(1)a+3>3a-------------------(2)3x+1<2x+6--------------(3)x<a------------------------(4)一不等式14同向不等式：在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边（不等号的方向相同）.异向不等式：在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个的左边小于右边（不等号的方向相反）.同解不等式形式不同但解相同的不等式。其它重要概念绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式152.基本理论

1.实数在数轴上的性质:研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：0Ｘ16ＡＢaba<bxＡＢaba>bx用数学式子表示为:

设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右边时,a>b.

关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b是负数;反过来也对.17

上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据。18

要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比较它们的差a-b与0的大小。在这里，0为实数比较大小提供了“标杆”。思考？

从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？19例1、试比较2x4+1与2x3+x2

的大小解：(2x4+1)-(2x3+x2)=2x4+1-2x3_x2

=(2x4-2x3)-(x2-1)

=2x3(x-1)

-(x-1)

(x+1)

=(x－1)[2x3-

(x+1)

]

=(x－1)[(2x3－2x2)+(2x2－2x)+(x－1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x+1/2)2+1/2]技能：分组组合；添项、拆项；配方法。20=(x-1)2[2(x+1/2)2+1/2]x∈R∴2(x+1/2)2+1/2>0若x≠1那么(x-1)2>0则2x4+1>2x3+x2

若x=1那么(x-1)2=0则2x4+1=2x3+x2综上所述:若x=1时2x4+1=2x3+x2

若x≠1时2x4+1>2x3+x2

求差比较大小分四步进行：①作差；②变形；③定号；③下结论。21练习比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤是：作差——变形——判断符号．常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.22例2、比较23练习题1.已知x≠0,比较(x2+2)2与x4+x2+4的大小.2.比较(x2+2)2与x4+5x2+2的大小3.比较x3

与x2-x+1的大小.24【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.【典型例题】例3、比较以下两个实数的大小：25作商比较法：作商——变形——与1比较大小．大多用于比较幂指式的大小．26练习

2、选择题：已知，在以下4个不等式中正确的是：（1）（2）

（3）（4）

27小结主要内容基本理论:a-b>0<=>a>ba-b=0<=>a=ba-b<0<=>a<b基本理论四大应用之一：比较实数的大小.一般步骤：作差－变形－判断符号—下结论。变形是关键：1°变形常用方法:配方法，因式分解法。2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积。281．比较的大小．2．如果,比较的大小．3．已知，比较与的大小．作业一、课本P102二、补充29第三讲

柯西不等式与排序不等式30

一二维形式的柯西不等式31若a,b,c,d都是实数,则

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？32推论33

向量形式：34设α,β是两个向量,则当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.定理2:（柯西不等式的向量形式）35xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:观察36定理３（二维形式的三角不等式）设，那么37

例题例1.已知a,b为实数,证明：

(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)23839例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证40练习：41作业第37页,第1,5,6题42

二一般形式的柯西不等式43(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）:44定理设是实数，则当且仅当(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得(i=1,2,…,n)时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。45一般形式的三角不等式46例1已知都是实数，求证：47例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：>ab+bc+cd+da.48例3已知x+2y+3z=1,求的最小值。49例4：设a、b、c为正数且各不相等。求证：

又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。50例5若a>b>c求证：∴51例6：若求证：分析：左端变形∴只需证此式即可

52

三排序不等式53反序和≤乱序和≤顺序和54例1：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？55解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时，总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，则10人等候的总时间最少。最少的总时间是:10t1+9t2+…+2t9+t1056例2设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数，求证：57证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列，且有b1<b2<…<bn因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数，所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.

又因由排序不等式，得：58练习59练习60练习61练习62一、二维形式的柯西不等式（第二课时）63一.课前复习若a,b,c,d都是实数,则

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.

（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:64二维形式的柯西不等式经过变形后可得到两个比较重要的不等式：这在以后证明不等式时会用到65定理2:（柯西不等式的向量形式）设是两个向量,则当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立.66一.学习新课

（一）定理3（二）例题（三）练习

67观察xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:68

定理３（二维形式的三角不等式）设，那么问题：你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？69例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证70练习巩固：练习一：设a，b为正数，求的最小值71练习二：P37第6题72小结：本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式和求最值时有重要作用，要学会灵活运用。73作业：P37第8题74不等式的证明75复习不等式证明的常用方法:

比较法、综合法、分析法76反证法

先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。7778例题例2、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，

abc>0，求证：a,b,c>0

证：设a<0,∵abc>0,∴bc<0

又由a+b+c>0,则b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0

与题设矛盾若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0,c>079例3、设0<a,b,c<1，求证：(1

a)b,(1

b)c,(1

c)a,

不可能同时大于1/4则三式相乘：(1

a)b•(1

b)c•(1

c)a>

又∵0<a,b,c<1∴同理：以上三式相乘：(1

a)a•(1

b)b•(1

c)c≤与①矛盾∴结论成立证明：设(1

a)b>1/4,(1

b)c>1/4,(1

c)a>1/4,80

在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大)要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)

这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是传递性。放缩法81例1、若a,b,c,dR+，求证：证：记m=∵a,b,c,dR+

∴1<m<2即原式成立8283

法１：

证明：在时，显然成立.当时，左边

84法２：法３：函数的方法8586例4、巳知：a、b、c∈，求证：略解87小结

在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大)要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)

这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是定理2（传递性性质）88课堂练习1、当n>2时，求证：

证：∵n>2∴

∴n>2时,89课堂练习2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,

求证：p+q≤290课堂小结

证明不等式的特殊方法:

（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行适当的放缩实现证明的方法。（2）反证法：先假设结论的否命题成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结论成立的方法。91书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！27七月20233.三个正数的算术--几何平均数92定理1.如果，那么（当且仅当时取“=”）1．指出定理适用范围：

2．强调取“=”的条件：

复习：定理2.如果

那么

是正数，

（当且仅当时取“=”号）注意：1．这个定理适用的范围：

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。93

注意:利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:

一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.9495思考

基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？969798等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．99定理3语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。100推论:101关于“平均数”的概念：1．如果

则：

叫做这n个正数的算术平均数。叫做这n个正数的几何平均数。2.基本不等式：

≥

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．推广102103例２:解:构造三个数相加等于定值.104练习:解:构造三个数相加等于定值.105例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解:设剪去的小正方形的边长为则其容积为:106练习:解:(错解:原因是取不到等号)正解:107课堂小结108课堂小结109２．基本不等式110

重要不等式定理１：如果，那么

（当且仅当时取“=”号）．我们可以用比较法证明．111探究你能从几何的角度解释定理１吗？几何解释１－课本第五页．112动画几何解释２113aa几何解释３114

思考

1115(当且仅当

时取“

=”号）．

如果是正数，那么

基本不等式定理２（均值定理）116概念如果ａ、ｂ都是正数，我们就称为ａ、ｂ的算术平均数，称为ａ、ｂ的几何平均数。均值定理可以描述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数117.均值定理的几何意义DBCEoA118

当且仅当

中的“

=”号成立．

时这句话的含义是:

思考

2当当119

和成立的条件相同吗？如：成立，而不成立。

思考

3成立的条件_______成立的条件______120

典例探讨例1求证：121（２）已知都是正数，求证证明：由都是正数，得122

练习1123例2

求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。124变形.1

如果积

已知都是正数，求证：是定值

那么当

时,和

有最小值2

如果和是定值那么当

时,积

有最大值

证：

∵

∴

1当

（定值）时，∵上式当

时取“=”∴当

时，

有最小值2当

(定值)时，

∴

∵上式当

时取“=”

∴当

时，

∴125注意：1、最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

2、用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”126127练习21.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是_______,此时x=___,y=_____1284.证明（1）证：∵

∴

于是

（2）解：∵

于是

从而

？≤129解:130解：∵

∴∴=

当且仅当即

时有最小值1例3.若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时

有最小值，最小值为几？131

练习3132已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大值．133例4134

注意:利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:

一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.135

练习4求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.136例5.且1、已知，求

的最小值解：

当且仅当

即

时

137证明：138注意:本题条件a,b,c为实数139

练习5140同学们再见！作业

课本作业；P1０５、６

141书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话

142不等式复习习题课习题课143不等式定理及其重要变形：一、知识扫描:（定理）重要不等式（推论）基本不等式（又叫均值不等式）144代数意义：

如果把看做是两正数a、b的等差中项,看做是两正数a、b的等比中项,那么均值不等式可叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.145几何意义：

均值不等式的几何解释是:

半径不小于半弦.

结构特点：

均值不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等变换.ab146二、公式的拓展当且仅当a=b时“=”成立147（1）三、公式的应用（一）—证明不等式（2）已知求证（以下各式中的字母都表示正数）148149证明：150注意:本题条件a,b,c为实数151△法解不等式求证:a+ac+c+3b(a+b+c)≥0

证明:

原式=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)≥0

设f(a)=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)∵

△=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(c+b)∴f(a)≥0(当且仅当-b=c=a取等号)152四、公式的应用（二）—求函数的最值（2）已知是正数，（定值），求的最小值；已知是正数，（定值），求的最大值；（1）一正二定三相等和定积最大积定和最小153已知，求函数的最大值；（3）已知是正数，满足，求的最小值；（4）创造条件注意取等号的条件154（3）已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件即x=时ymax=∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜则1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

当且仅当3x=1-3x

可用均值不等式法精题解析配凑成和成定值155精题解析：（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值即的最小值为过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：解：156（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值正解：当且仅当即:时取“=”号即此时“1”代换法157特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。158阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。（5）错题辨析159正确解法一“1”代换法

160（5）已知正数a、b满足a+2b=1，求的最小值正解：当且仅当即:时取“=”号即此时161162“1”的代换163五：公式应用（三）—解决实际问题例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？164APBHba例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？165问题与思考4。某种商品准备两次提价,有三种方案:第一次提价m％,第二次提价n％;第一次提价n％,第二次提价m％;两次均提价％.试问哪种方案提价后的价格高?166

设原价为M元,令a=m％,b=n％,则按三种方案提价后的价格分别为:A.(1+a)·(1+b)·M=(1+a+b+ab)·MC.(1+

)2·M=[1+a+b+]·M只需比较ab与的大小.易知B.(1+b)·(1+a)·M=(1+a+b+ab)·M1675.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池才能使造价最低，最低造价是多少元？问题与思考168169170实际问题抽象概括引入变量数学模型数学模型的解实际问题的解还原说明推理演算建立目标函数均值不等式2、解应用题思路反思研究1711、设且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。

六：课堂检测：（看谁最快）2、设则的最大值为_____。３、设满足，且则的最大值是（）A、40B、10C、4D、2Ｄ172七：学习小结

（１）各项或各因式为正（２）和或积为定值

（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正二定三相等”２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能；创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；１、应用均值不等式须注意以下三点：3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。173探索讨论乘积倒数其他平方设你能给出几个含有字母a和b的不等式174再见谢谢指导再见175绝对值不等式的解法176复习：X=0|x|=X>0x0X<0-x1.绝对值的定义:2.几何意义:Ax1XOBx2|x1||x2|=|OA|=|OB|

一个数的绝对值表示这个数对应的点到原点的距离.177类比：|x|<3的解|x|>3的解观察、思考：不等式│x│<2的解集?方程│x│＝2的解集？为{x│x=2或x=-2}02-2为{x│-2<x<2}不等式│x│>2解集?为{x│x>2或x<-2}02-202-2|x|<-2的解|x|>-2的解归纳：|x|<a（a>0)|x|>a(a>0)

-a<x<a

X>a或x<-a-aa-aa178如果a

＞0，则

179如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是|x-1|<2如何解？引伸：

解题反思：如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就是|3x-1|>2如何解？整体换元。180归纳：型如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a>0)不等式的解法:181例1解不等式

解：这个不等式等价于因此，不等式的解集是（–1，4）182例2解不等式＞5解：这个不等式等价于或（1）（2）（1）的解集是（4，+∞），（2）的解集是（－∞，－1），∴原不等式的解集是（4，+∞）∪（－∞，－1）。183巩固练习：求下列不等式的解集

|2x+1|<53|1-4x|>9|4x|<-1|x2-5x|>-6

3<|2x+1|<5（-3，2）（-∞，-1/2）∪（1，+∞）R（-3，-2）∪（1，2）184

例:解不等式|5x-6|<6–x引伸：型如|f(x)|<a,|f(x)|>a的不等式中“a”用代数式替换，如何解？185解：对绝对值里面的代数式符号讨论：5x-6≥05x-6<6-x(Ⅰ)或(Ⅱ)

5x-6<0-（5x-6）<6-x解(Ⅰ)得：6/5≤x<2解(Ⅱ)

得：0<x<6/5取它们的并集得：（0，2）

解不等式|5x-6|<6–x(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为5x-6<6-x，解得x<2,所以6/5≤x＜2(Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为-(5x-6)<6-x，解得x>0

所以0<x<6/5综合(Ⅰ)、(Ⅱ)取并集得（0，2）解：186

解不等式|5x-6|<6–x解：分析：对6-x符号讨论，当6-x≦0时,显然无解；当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)综合得0<x<2(Ⅰ)或(Ⅱ)6-x≤0无解解(Ⅰ)得：0<x<2;(Ⅱ)无解187

解不等式|5x-6|<6–x解：分析：对6-x符号讨论，当6-x≦0时,显然无解；当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)X<6-(6-x)<5x-65x-6<(6-x)0<x<2进一步反思:不等式组中6-x>0是否可以去掉有更一般的结论：|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)类型1188练习：把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值不等式。3、|x-1|>2(x-3)4、5、|2x+1|>|x+2|1、|2x-3|<5x

2、|x2-3x-4|>4189类型2例：方法1：几何意义方法2：去绝对值方法3：函数的观点190解不等式

191课堂小结：(1)数学知识:常见的绝对值不等式的解法(2)数学思想分类讨论的思想整体的思想转化的思想192同学们再见！193

引例：某电机厂承担一项任务，为自来水厂加工一种圆形管道，管道直径设计为50毫米，由于实际加工过程中存在误差，规定成品管道实际直径与设计值相差不能超过1毫米，否则为次品，设成品管道的实际半径x毫米，那么x应该满足什么条件？解：由题意成品管道的直径为2x毫米由绝对值的意义可知，结果也可表示为:|2x-50|≦1050194解不等式：|x-1|>|x-3|方法一方法二方法三反思评价我们的解题方法：195解：因为|x-1|>|x-3|

所以两边平方可以等价转化为

（x-1)2>(x-3)2

化简整理：x>2平方法：注意两边都为非负数|a|>|b|依据：a2>b2196解：如图，设“1”对A，“3”对应B，“X”对应M（不确定的），即为动点。|x-1|>|3-x|由绝对值的几何意义可知：|x-1|=MA|x-3|=MB0132AB几何的意义为MA>MB,197分类讨论：分析：两个|x-1|、|x-3|要讨论，按照绝对值里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分类。解:使|x-1|=0,|x-3|=0，未知数x的值为1和30131、当x≧3时，原不等式可以去绝对值符号化为：x-1>x-3解集为R，与前提取交集，所以x≧3；2、当1≦x<3时,同样的方法可以解得2<x<33.当x<1时,x无解找零点分段讨论综合

综合有：x>2198书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！27七月2023绝对值三角不等式199（一）绝对值的定义：

对任意实数a，

复习200问题我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学能回答？或.当时，有：201

（二）绝对值的几何意义：

实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离（图1）。

如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B到坐标原点的距离。|a|OAx202

由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点与坐标原点的距离小于3，可表示为：

即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3203

同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：

如图204

设a,b是任意两个实数，那么|a-b|

的几何意义是什么？x|a-b|abAB205探究

用恰当的方法在数轴上把|a|，|b|，|a+b|表示出来，你能发现它们之间有何关系？

定理1

如果a,b是实数，则

|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。绝对值三角不等式206

如果把定理1中的实数a,b分别换为向量，能得出什么结论？你能解释其几何意义吗？探究？(1)当不共线时有(2)当共线且同向时有绝对值三角不等式207如何证明定理1?探究

你能根据定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|，|a+b|,|a-b|之间的其它关系吗?|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|结论:208注意：1

左边可以“加强”同样成立，即

2

这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3

同号时右边取“=”，

异号时左边取“=”推论1：

推论2：

证明：在定理中以

即：

209定理探索当时，显然成立，当时，要证只要证，即证而显然成立．

从而证得.

210定理探索还有别的证法吗？

由与，得.用可得什么结论？当我们把看作一个整体时，上式逆211定理探索证明吗？能用已学过得的可以表示为

即即.就是含有绝对值不等式的重要定理，

212例题求证.例2

已知，证明：213例题例3

求证.证明：在时，显然成立.当时，左边

214练习②已知求证.1．①已知，求证.②

.①；2．已知，求证：215216217①②由①，②，③得，③218课堂练习：219作业P20:1,2,3,4,220定理2

如果a,b,c是实数,那么当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立你能给出定理2的几何解释吗?如何证明定理2?推论:221绝对值三角不等式222绝对值的几何意义|a|=|a|AaOx|a-b|AaBxb几何意义:表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.|a-b|=几何意义：表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度223思考？类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？从“运算”的角度考察绝对值不等式。如：对于实数a,b，可以考察|a|,|b|,|a+b|,|a-b|,|a|+|b|,|a|-|b|等之间的关系。224探究？用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b|表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？xOaba+bxOaba+bxOaba+bxOaba+bab>0ab<0225(1)当ab>0时,xOaba+bxOaba+ba>0,b>0a<0,b<0由图可得:|a+b|=|a|+|b|(2)当ab<0时xOaba+bxOaba+ba>0,b<0a<0,b>0|a+b|<|a|+|b||a+b|<|a|+|b|(3)如果ab=0,则a=0或b=0易得:|a+b|=|a|+|b|综上所述,可得:226建立模型定理1:

如果a,b是实数,则|a+b||a|+|b|当且仅当ab0时,等号成立.引申与思考？如果把定理1中的实数a,b分别换为向量,能得出什么结果?227当向量共线呢?定理1的几何意义xyO在不等式|a+b||a|+|b|中,当向量不共线时,则由向量加法的三角形法则,用向量分别替换实数a,b,向量

构成三角形,故可得向量形式的不等式:|a+b|<|a|+|b|故该定理的几何意义为:三角形的两边之和大于第三边.绝对值三角不等式228证明绝对值三角不等式:|a+b||a|+|b|证明:当ab0时,ab=|ab||a+b|229证明当ab<0时,ab=-|ab||a+b|故|a+b||a|+|b|当且仅当ab0时,等号成立.230应用与拓展同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|,|a|+|b|与|a-b|,|a|-|b|与|a-b|等之间的关系?如:如果a,b是实数,则|a|-|b||a-b||a|+|b|再如:如果a,b,c是实数,则|a-c||a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.231建立模型定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c||a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.分析:由于a-c,a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c)证明:根据定理1,有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)||a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.则可使用定理1的结论进行证明.232定理2的几何意义xabcABCxbcaABCxacbABC在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,(1)当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|(2)当点B在点A,C之外时,|a-c|<|a-b|+|b-c|233典例分析例:已知>0|x-a|<|y-b|<,求证:|2x+3y-2a-3b|<5证明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)||2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2+3=5故|2x+3y-2a-3b|<5234典例分析例:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?235典例分析分析:如果生活区建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km.那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题:当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)236S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0<x102010<x204x-60x>20237S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x||(x-10)+(20-x)|=10当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故当10x20时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)238

[系列4

]

绝对值三角不等式

Oxy239创设情境在数轴上，你能指出实数a的绝对值的几何意义吗？0axA它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离那么，的几何意义呢？abxBA数轴上A,B两点之间的距离O-bB240探究设a,b为实数，你能比较之间的大小关系吗？当ab>0时，当ab<0时，当ab=0时，你能将上述情况综合起来吗？241定理1如果a,b是实数，则当且仅当时，等号成立。如果把定理1中的实数a,b分别换为向量，能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？242迁移类比当向量不共线时，Oxy当向量共线时，同向：反向：243向量形式的不等式当且仅当时，等号成立。由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为绝对值三角不等式。与同向244知识推广

如果将定理1中的实数a,b改为复数，不等式仍成立吗？245练习1、如果a,b,c是实数，证明当且仅当________________时，等号成立。2、如果a,b是实数，你能比较的

大小吗？并说明理由。当且仅当__________________时，等号成立。246定理1的完善如果a,b是实数，则当且仅当时，左边等号成立；当且仅当_________时，右边等号成立。小结247请你诊断学完定理1后，小明和小红分别提出了新见解。小明认为，如果a,b,c是实数，则小红认为，如果a,b是实数，则如果你是老师，你能帮他们评判一下吗？248小结1、的几何意义；2、定理1：如果a,b是实数，则当且仅当时，等号成立。（向量形式、复数形式）3、定理1的完善：4、推论：（定理1的变形）（定理1的推广）249作业：1、求证：（1）（2）2、求证：（1）（2）250知识应用：例1已知求证练习：设求证：251例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,那么于是，上面的问题就化归为数学问题：当x取何值时，函数取得最小

值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。252解：设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则因为当且仅当时取等号。解得所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。253254书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！6.3不等式的证明（1）2556.3不等式的证明（1）

___比较法

根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b256

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号—下结论。作商—变形—与1比较大小---下结论。要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。2576.3不等式的证明（1)--比较法例1.求证：

证：∵

≥1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。至于怎样变形，要灵活处理。2.本题的变形方法——配方法258例2.已知都是正数，并且求证证明：∵都是正数，

并且

即：

1.本题变形的方法—通分法2.本题的结论反映了分式的一个性质：若都是正数，当时，当时，259例3.已知都是正数，并且

，

求证：

证明：∵

都是正数，∴

又∵即：本题变形的方法—因式分解法260例4261例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点。解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有其中S，m，n都是正数，且m≠n,于是t1-t2<0从而可知甲比乙首先到达指定地点。即262小结：作差比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号—下结论。要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。263书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！6.3不等式的证明（3）264复习：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—定符号---下结论要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。265复习：综合法

利用已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法.

综合法的思路是“由因导果”、已知未知，即从已知出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直到推导出要证明的不等式。

综合法的思路是