抛物线的简单性质同步 市赛获奖

太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有．问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？提示：有；1条．类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图像抛物线的简单性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)性质焦点准线范围对称轴x≥0，y∈Rx≥0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0x轴y轴类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)性质顶点离心率开口方向通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝

.O(0,0)e＝12p向左向上向下向右[一点通]

由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值，其主要步骤为：1．以椭圆x2＋2y2＝1中心为顶点，右顶点为焦点的

抛物线的标准方程为________．答案：y2＝4x答案：C3．已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)．由对称性知抛物线方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.[例2]

若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，求动点M的轨迹方程．[思路点拨]

“点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝0为准线的抛物线．4．平面上点P到定点(0，－1)的距离比它到y＝2的距离小1，则点P轨迹方程为________．解析：由题意，即点P到(0，－1)距离与它到y＝1距离相等，即点P是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x2＝－4y.答案：x2＝－4y5．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．[思路点拨]

解答本题可设出A、B两点坐标，并用A、B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．[一点通]

(1)

涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．

(2)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，则①|AB|＝x1＋x2＋p，6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|的值为 (

)A．10 B．8C．6 D．4解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.答案：B7．(2011·山东高考改编)