山东省烟台市开发区第五初级中学2022-2023学年高二数学理摸底试卷含解析

山东省烟台市开发区第五初级中学2022-2023学年高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.连续抛两枚骰子分别得到的点数是a,b，则向量与向量垂直的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.若，则函数的图像大致是

参考答案：B略3.从区间内任取一个实数，则这个数小于的概率是(

)（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：C略4.已知双曲线E：的一条渐近线过点（1，﹣1），则E的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线E的方程可得其渐近线方程为y=±x，又由其一条渐近线过点（1，﹣1）可得=1，进而由离心率计算公式e==计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线E的方程为：﹣=1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，又由其一条渐近线过点（1，﹣1），则有=1，则E的离心率e===；故选：A．5.在复平面内，设复数对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是A、B，则点A、B对应的复数和是（

）A.0 B.6 C. D.参考答案：A【分析】先写出复数对应点坐标，求出对称点A、B坐标后可得其对应复数，按题意计算即可．【详解】对应点为，则，，对应复数分别为，．．故选：A．【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题．复数在复平面上对应点为．也可从对称性得出两点关于原点对称，从而对应的复数和为0．6.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可。【详解】圆化为,，配方为，因此圆心直角坐标为，可得圆心的极坐标为故选：B【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础。

7.已知向量，，，若与共线，则的值为（）A.4

B.8

C.0

D.2参考答案：A8.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比为（）Ａ．

Ｂ．

C．

D．参考答案：D9.如图，一个空间几何体正视图(或称主视图)与侧视图(或称左视图)为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为．A．

B．

C．

D．

参考答案：B10.已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的值为

（）

A.10

B.6

C.4

D.不存在参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数f（x）给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算=．参考答案：2016【考点】63：导数的运算；3T：函数的值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：由，∴f′（x）=x2﹣x+3，所以f″（x）=2x﹣1，由f″（x）=0，得x=．∴f（x）的对称中心为（，1），∴f（1﹣x）+f（x）=2，故设f（）+f（）+f（）+…+f（）=m，则f（）+f（）+…+f（）=m，两式相加得2×2016=2m，则m=2016，故答案为：2016．【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．12.已知函数有极值，则的取值范围为

参考答案：a>1或a<-113.原命题：“设＞bc”则它的逆命题的真假为

．参考答案：真略14.双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到轴的距离为_____________．参考答案：15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值．(12分)参考答案：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝……＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.16.某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：学校A高中B高中C高中D高中参考人数80012001000600

现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在D高中中抽取的学生人数为_______．参考答案：24【分析】计算出D高中人数占总人数的比例，乘以144得到在D高中抽取的学生人数.【详解】应在D高中抽取的学生人数为．【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.17.已知设P：函数；若P或Q为真，P且Q为假，则的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}的前n项和为，且a1与a5的等差中项为18．（1）求{an}的通项公式；（2）若an=2log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）依题意，可求得p的值，继而可求得数列{an}的首项与公差，从而可得通项公式；（2）由an=2log2bn可求得bn=24n﹣3，利用等比数列的求和公式可求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵数列{an}为等差数列，且a1与a5的等差中项为18，∴a3=18，又a3=S3﹣S2=（9p﹣6）﹣（4p﹣4）=5p﹣2，∴5p﹣2=18，解得：p=4，∴a1=S1=4﹣2=2，∴公差d==8，∴an=2+（n﹣1）×8=8n﹣6；（2）∵an=2log2bn=8n﹣6，∴bn=24n﹣3，∴数列{bn}是以2为首项，24=16为公比的等比数列，∴数列{bn}的前n项和Tn==（16n﹣1）．19.如图，四棱锥的底面为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中，,平面底面，是的中点．(1)求证：//平面；

(2)求证：；(3)求与平面所成角的正弦值。

参考答案：试题解析：（1）证明：如图，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形

∴EM∥PD，BM∥AD；又∵BM∩EM=M，∴平面EBM∥平面APD；而BE?平面EBM，∴BE∥平面PAD；（3）解：∵CD⊥AF，AF⊥PD，CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD，

连接DE，则∠BDE为BD与平面PDC所成角．在直角△BDE中，设AD=AB=a，则BE=AF=，BD=，∴sin∠BDE=．考点：1.直线与平面所成的角；2.直线与平面平行的判定．20.已知A，B，C为△ABC的三内角，且其对边分别为a，b，c，若m＝，n＝，且m·n＝．(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝4，△ABC的面积为，求a的值．参考答案：(1)由m·n＝得－2cos2＋1＝?cosA＝－，所以A＝120°.(2)由S△ABC＝bcsinA＝bcsin120°＝，得bc＝4，故a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc＝12，所以a＝2．21.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；

（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，∴b==．22.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

参考答案：【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|