人教版九年级上册数学期中考试试题（含解析）

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一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）

1．下列四个图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

3．正五边形绕着它的中心旋转和与本身重合，最小的旋转角度数是（）

A．36°B．40°C．72°D．108°

4．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

A．x（x+1）=1035B．x（x﹣1）=1035×2C．x（x﹣1）=1035D．2x（x+1）=1035

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）

A．30°B．40°C．45°D．50°

6．如图，是一个中心对称图形的一部分，点是对称中心，点和点是一对对应点，，那么将这个图形补成一个完整的图形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形

7．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（）

A．B．C．D．

8．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（）.

A．B．C．D．

9．二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（）

A．B．C．D．

10．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

二、填空题。（每小题3分，共18分）

11．抛物线的顶点坐标是________．

12．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________________．

13．若（m-2）-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______．

14．已知等腰△ABC内接于⊙O，底边BC＝8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长AB＝________cm

15．如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，2为半径的圆上一动点，连接，，则的面积最大值是______．

16．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____．

三、解答题

17．（10分）解方程：

（1）（用公式法）（2）

18．（12分）如图，已知点的坐标分别为，．

（1）画出关于原点对称的图形（点对应点）；

（2）将绕点按逆时针方向旋转得到（点对应点）．画出；

（3）点的坐标是_______，点的坐标是______，此图中线段和的关系是_______．

19．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．

20．（10分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

21．（10分）参与两个数学活动，再回答问题：

活动：观察下列两个两位数的积两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于，猜想其中哪个积最大？

，，，，，，，，．

活动：观察下列两个三位数的积两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于，猜想其中哪个积最大？

，，，，，，．

分别写出在活动、中你所猜想的是哪个算式的积最大？

对于活动，请用二次函数的知识证明你的猜想．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE，CF相交于点D．

(1)求证：BE＝CF；

(2)当α＝90°时，求四边形AEDC的面积．

23．（10分）如图，内接于，是的直径，与交于点，点是延长线上的一点，，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，点等分半圆，求的长．

24．（10分）如图，是圆的直径，弦交于点，，.

（1）求的度数；

（2）若，求扇形的面积.

25．（10分）已知，点，点和抛物线，将抛物线沿着轴方向平移经过点，画出平移后的抛物线如图所示．

（1）平移后的抛物线是否经过点？说明你的理由；

（2）在平移后的抛物线上且位于直线下方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在平移后的抛物线上有点，过点作直线的垂线，垂足为，连接，当时，求点的坐标．

参考答案

1．D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合所给图形的特点进行判断即可．

【详解】

解：第一个：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

第二个：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

第三个：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

第四个：是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．

故选D．

【点睛】

本题考查了轴对称及中心对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．C

【分析】

根据圆周角的性质，圆的对称性，以及圆周角定理即可解出．

【详解】

①是圆周角定理的推论，故①正确；

②根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故②正确；

③根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故③正确；

④应是不共线的三个点，故④错误，

故选C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理及其推论，圆的对称性，确定圆的条件等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

3．C

【分析】

根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角．

【详解】

解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是．

故选C．

【点睛】

考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．

4．C

【分析】

如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．

【详解】

∵全班有x名同学，

∴每名同学要送出（x﹣1）张；

又∵是互送照片，

∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．

故选：C．

【点评】

本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．

5．B

【详解】

试题解析：

在中，

故选B.

6．A

【分析】

如图，根据中心对称的性质可得AC′=BC，BC′=AC，然后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答.

【详解】

解：如图，∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形，

∴AC′=BC，BC′=AC，

∴四边形ACBC′是平行四边形，

∵∠C=90°，

∴平行四边形ACBC′是矩形．

故选A．

【点睛】

本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定，矩形的判定.

7．B

【分析】

根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．

【详解】

解：∵y=-x2-2x+b，

∴函数y=-x2-2x+b的对称轴为直线x=-1，开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小，

∵-1-（-3）=2，-1-（-1）=0，2-（-1）=3，

∴y3＜y1＜y2，

故选B．

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．

8．B

【分析】

根据，有，可设点C、B的坐标为，代入解析式，即可解得答案.

【详解】

,

OB=OC，

可设点C、B的坐标为(0,c)、(c,0)，

把B(c,0)代入，得

即

故选：B

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴有交点，根据题意得到点C、B的坐标是解题的关键.

9．D

【分析】

由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出，结合图象最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．

【详解】

解：二次函数的大致图象如解图，

∵，且，

∴，，

①当时，当时，y取最小值，即，

解得(舍去)或；

当时，y取最大值，即，

解得(舍去)或(舍去)；

②当时，当时y取最小值，即，

解得(舍去)或；

当时，y取最大值，即，

解得，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数的增减性结合函数图像确定函数最大值是解题的关键．

10．A

【分析】

连接OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB为等边三角形，得到∠AOB=60°，根据垂径定理、圆周角定理计算．

【详解】

解：连接OB，

∵四边形ABCO是菱形，

∴OA＝AB，

∵OA＝OB，

∴△AOB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∵OP⊥AB，

∴∠BOP＝∠AOB＝30°，

由圆周角定理得，∠PAB＝∠BOP＝15°，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是菱形的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握菱形的性质、圆周角定理、垂径定理是解题的关键．

11．（0，-1）

【详解】

∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0，，

∴抛物线的顶点坐标是(0，-1)，

故答案为（0，-1）.

12．

【分析】

由抛物线图像可得，对称轴是x=－1，抛物线与x轴的一个交点为(－3,0)，则抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，根据二次函数的图像写出当时，x的取值范围即可．

【详解】

由题意可得：对称轴是x=－1，抛物线与x轴的一个交点为(－3,0)，

抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，

当时，．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质，根据二次函数图像的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题关键．

13．﹣2

【解析】

试题分析：一元二次方程是指：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程．根据定义可得：，解得：m=-2．

14．或.

【分析】

直接利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的性质再利用勾股定理得出答案．

【详解】

解：如图1所示：连接AO，交BC于点D，连接BO，

∵底边BC=8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，

∴BD=DC=4cm，

∴BO=AO=5cm，

∴AD=2cm，

∴

如图2所示：连接AO，并延长交BC于点D，连接CO，

∵底边BC=8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，

∴BD=DC=4cm，

∴CO=5cm，

∴AD=8cm

∴

综上所述：腰长AB为或.

故答案为：或

15．15

【分析】

求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．

【详解】

解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，-3），3x-4y-12=0，

即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5

过C作CM⊥AB于M，连接AC，

则由三角形面积公式得：

∴

∴

∴圆C上点到直线的最大距离是：

∴面积的最大值是

故答案为：15．

【点睛】

本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离．

16．2

【分析】

根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可．

【详解】

解：连接OC，

∵C为的中点，

∴＝，

∴∠AOC＝∠BOC，

∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，

∴OM＝ON＝n，

∴CM＝＝，

∵CM⊥OA，

即OM⊥CD，

由垂径定理得：CD＝2CM＝2，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM．

17．（1），；（2），．

【分析】

（1）利用公式法即可求解；

（2）先移项，再运用因式分解法即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．

【详解】

解：（1）

这里，

∴

∴

（2）

，

解得，，

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

18．（1）见解析；（2）见解析；（3）D（-3，-2）；F（-2，3）；垂直且相等．

【分析】

（1）利用图形△AOB关于原点O对称的图形△COD分别延长BO，AO，再截取DO=BO，CO=AO，即可得出答案；

（2）将A，B绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，即可得出△EOF；

（3）利用图象即可得出点的坐标，以及线段BF和DF的关系．

【详解】

解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）结合图象即可得出：D（-3，-2），F（-2，3），线段BF和DF的关系是：垂直且相等．

【点睛】

此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤．

19．（1）1秒或4秒；（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．

（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．

【详解】

解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4．则

，

整理，得

t2﹣5t＋4＝0，

解得＝1，＝4．

答：如果P、Q两点同时出发，那么1秒或4秒后，△PBQ的面积等于4；

（2）△PBQ的面积能不能等于7理由如下：

设x秒后，△PBQ的面积等于4则

，

整理，得

t2﹣5t＋7＝0，

则△＝25﹣28＝﹣3＜0，

所以该方程无解．

∴△PBQ的面积不能等于7．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，判定所求的解是否符合题意，舍去不符合题意的解，找出等量关系是解题的关键；

20．10，8．

【详解】

试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程求出边长的值．

试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得化简，得，解得：

当时，（舍去），

当时，，

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．

考点：一元二次方程的应用题．

21．（1）的积最大；（2）见解析.

【分析】

的结果可根据整数乘法的运算法则，计算出大小在比较；的结果由的规律可得结果；

可将中的算式设为的形式2，3，4，5，6，7，8，，利用二次函数的最值证得结论．

【详解】

解：，，，，，

的积最大；

由中规律可得的积最大；

证明：将中的算式设为2，3，4，5，6，7，8，，

=-(x-5)2+9025,

，

当时，有最大值9025，

即的积最大．

【点睛】

本题主要考查了根据已知归纳规律和二次函数的最值问题，发现规律，运用二次函数的最值证明是解答此题的关键．

22．（1）证明见解析；（2）2．

【分析】

（1）先利用旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则根据“SAS”证明△AEB≌△AFC，于是得到BE＝CF；

（2）先判断△ABE为等腰直角三角形得到∠ABE＝45°，则AC∥BE，同理可得AE∥CF，于是可证明四边形AEDC为菱形，AF与BE交于点H，如图，通过证明△AHE为等腰直角三角形得到AH＝AE＝，然后根据菱形的面积公式计算．

【详解】

（1）证明：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，

∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，

∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF＋∠FAB＝∠BAC＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAC.

在△AEB和△AFC中，

∴△AEB≌△AFC(SAS)，

∴BE＝CF．

（2）解：∵α＝90°，

∴∠EAB＝∠FAC＝90°.

∵AE＝AB，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴∠ABE＝45°，

∴∠ABE＝∠BAC，

∴AC∥BE，

同理可得AE∥CF.

∵AE＝AC，

∴四边形AEDC为菱形．

设AF与BE交于点H.

∵∠EAF＝45°，

∴AH平分∠EAB，

∴AH⊥BE，

∴△AHE为等腰直角三角形，

∴AH＝AE·sin45°AE＝，

∴四边形AEDC的面积为AH·DE＝×2＝2．

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决（1）题的关键是证明△AEB≌△AFC．

23．（1）见解析；（2）．

【分析】

（1）连接OA、AD，利用圆周角定理得到，则可证明，利用CD为直径得到∠，从而得到∠，∠，则∠，于是可证明∠，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）作EH⊥AD于H，由点B等分半圆CD得到∠，设DH=x，则，，所以，然后求出x即可得到DE的长．

【详解】

（1）证明：连接OA、AD

∵，

∴

∵

∴

∴

∵CD是直径

∴∠

∴∠，∠

∴为等边三角形

∴∠

而∠

∴∠

∴OA⊥PA

∴PA是的切线；

（2）解：作EH⊥AD于H

∵点B等分半圆CD

∴∠

∴∠

设DH=x

在中，