四川省雅安市重点高中2022-2023学年高一上学期9月开学测试数学试题（含解析）

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一、单选题（每小题5分，共6题，共60分.）

1．不等式的解集为（）

A．或B．

C．或D．

2．将分解因式，所得结果正确的是（）

A．B．

C．D．

3．方程组的解组成的集合为（）

A．B．或

C．，D．

4．关于x的不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

5．已知集合，若.则实数a的值为（）

A．1B．1或C．D．或

6．如果集合中只有一个元素，则a的值是（）

A．0B．-1C．0或1D．0或-1

7．若集合，，则（）

A．B．

C．D．

8．已知集合，.若，则实数m的取值范围为（）

A．B．C．D．

9．函数的值域（）

A．B．C．D．

10．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则代数式写的最小值是（）

A．-8B．-5C．1D．2

11．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）

A．B．C．D．

12．设集合，.则（）

A．B．C．D．

二、填空题（每题5分，共4题，共20分）

13．因式分解：.

14．已知，则的值等于.

15．已知，，，则代数式的值为.

16．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是.

三、简答题（共6小题，共70分）

17．

（1）解不等式；

（2）已知方程有一个根，求整数m的值.

18．已知集合，集合.

（1）当时，求；

（2）若，求实数m的取值范围

19．设，，，

（1）分别求，

（2）若，求实数a的取值范围.

20．已知集合，.

（1）在①，②，③这三个条件中选择一个条件，使得，并求；

（2）已知，求实数a的取值范围.

21．已知函数的最小值为-2，求实数a.

22．设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合T为集合S的“耦合集”.

（1）若集合，求集合的“耦合集”；

（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证对于任意，有；

（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】解：结合二次函数的图象解不等式得，

∴不等式的解集为．

故答案为：B．

【分析】结合二次函数的图象解不等式，可得不等式的解集。

2．【答案】D

【知识点】一元二次方程

【解析】【解答】解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=[(a+1)(a-1)]2=(a+1)2(a-1)2.

故选：D

【分析】利用完全平方公式和平方差公式即可得答案.

3．【答案】D

【知识点】集合的表示法

【解析】【解答】解：由得或，

故方程组的解组成的集合为.

故选：D

【分析】首先求出方程组的解，再用列举法表示集合.

4．【答案】C

【知识点】其他不等式的解法

【解析】【解答】解：由，解得x1，

故不等式的解集为.

故选：C

【分析】将原不等式化为，即可求出.

5．【答案】C

【知识点】元素与集合关系的判断

【解析】【解答】解：因为，

所以a-2=-1或2a2-a-2=-1，

所以a=1或a=-，

经检验得a=-，

故选：C

【分析】由题可知a-2=-1或2a2-a-2=-1，即求.

6．【答案】D

【知识点】集合中元素个数的最值

【解析】【解答】时，，满足题意，

时，，，此时，

综上或，

故答案为：D．

【分析】按和分类讨论．

7．【答案】D

【知识点】并集及其运算

【解析】【解答】解：因为，，

所以.

故选：D

【分析】先对集合A，B进行化简，再由并集运算即可求出答案.

8．【答案】C

【知识点】集合的包含关系判断及应用

【解析】【解答】解：当时，m+1>2m-1，解得m<2，成立；

当时，，解得，成立；

综上所述，

故选：C

【分析】讨论，两种情况，分别计算得到答案.

9．【答案】D

【知识点】函数的值域

【解析】【解答】解：令t=x2，0<t<1，所以，

因为对勾函数在0<t<1上单调递减，且没有最大值，

所以，

所以.

故选：D

【分析】令t=x2，将原式整理成，利用对勾函数易得在0<t<1上单调递减，且没有最大值，即可求得答案.

10．【答案】C

【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；一元二次方程

【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，，

所以，解得，

因为，是的两个实数根，

所以由韦达定理得x1+x2=2(k+2)，x1x2=k2+2k

所以，

当时，y=(k+5)2-8的值随着k的增大而增大，

所以当时，的最小值为(-2+5)2-8=1，

故选：C

【分析】根据得到，再将所求的式子进行变形，用韦达定理将式子变成关于k的二次函数，再由二次函数的性质求最值即可.

11．【答案】C

【知识点】交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】解：因为，，

所以，

所以.

故选：C

【分析】依题意图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得.

12．【答案】B

【知识点】集合的包含关系判断及应用

【解析】【解答】解：对于集合，，

∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，

∴，

故选：B

【分析】将集合M、N中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、N的包含关系.

13．【答案】（x+2）（x-7）

【知识点】一元二次方程

【解析】【解答】解：由题意得（x+2）（x-7）.

故答案为：（x+2）（x-7）

【分析】由十字相乘法因式分解即可.

14．【答案】0

【知识点】函数与方程的综合运用

【解析】【解答】解：因为，所以b-a=ab(a≠0，b≠0)即a-b=-ab(a≠0，b≠0)，

所以，

故答案为：0

【分析】根据可得a-b=-ab(a≠0，b≠0)，代入所求的式子即可得到答案.

15．【答案】3

【知识点】一元二次方程

【解析】【解答】解：因为，，，

所以

，

故答案为：3

【分析】将变形成，代入a，b，c即可得到答案.

16．【答案】

【知识点】二次函数的性质

【解析】【解答】若，则，在为减函数，不符题意，舎；

若，则为二次函数，对称轴为，因为在不单调，故，所以，填.

【分析】根据函数在不单调可得且，从而得到实数的取值范围.

17．【答案】（1）解：

当时，原绝对值不等式可化为解得，无解；

当时，原绝对值不等式可化为，解得，无解；

当时，原绝对值不等式可化为，解得，则；

当时，原绝对值不等式可化为，解得，则.

故不等式的解集是.

（2）解：当即时，方程为或均只有一个根，满足题意；

当即时，方程为一元二次方程，要满足方程有一个根，则需满足.

即，解得.

综上所述或.

【知识点】绝对值不等式；绝对值不等式的解法

【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法可求不等式的解集.

（2）利用判别式可求整数m的值.

18．【答案】（1）解：当时，，

∴

（2）解：由，

则有：，解得：

即，

∴实数m的取值范围为.

【知识点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算

【解析】【分析】（1）由题意可得，利用交集的定义运算即得；

（2）由题可得，即得．

19．【答案】（1）解：解不等式可得，.

所以，，

（2）解：由可得，且，

所以，解得，即.

【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换

【解析】【分析】（1）解不等式求得几何A，B，直接计算集合的交集并集与补集；

（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.

20．【答案】（1）解：若选①，则，此时，不合乎题意；

若选②，则，则，合乎题意；

若选③，则，则，合乎题意；

（2）解：∵，则.

当时，，即满足条件；

当时，则有，解得.

综上，实数a的取值范围是.

【知识点】集合的包含关系判断及应用；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换

【解析】【分析】（1）根据所选条件验证是否成立，再利用交集的定义可求得；

（2）分析可得，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.

21．【答案】解：函数的最小值为-3，

配方得：，函数的对称轴为直线，顶点坐标为.

（1）当即时，

函数最小值为，不合题意；

（2）当即时，

∵当时，y有最小值0，不符合题意；

（3）当即时，

∵当时，y有最小值；

∴y有最小值，解得.

综上实数a的值为.

【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值

【解析】【分析】先利用配方得到，得到对称轴为直线x=-a，接着讨论，和三种情况，即可得到答案.

22．【答案】（1）解：由已知条件②得的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以

（2）解：证明：因为，由已知条件②得的可能元素为：，，，，，，由条件③可知，得，同理得，，，，，所以对于在意，有

（3