导数的应用一课件

第三章导数的应用导数的应用§3-1中值定理罗尔定理(Roll)

:

定理1若函数

f(x)满足:

在闭区间[a,b]上连续;(2)

在开区间(a,b)内可导;(3)

f(a)=f(b).则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=0证明:

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几何意义:xyoabξABC导数的应用

拉拉格朗日(Lagrange)中值定理：定理2：若函函数y=f(x)满足：（1）

在闭区间[a,b]上连续（2）

在开区间(a,b)内可导．则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使可写成：导数的应用导数的应用几何意义：曲线y=f(x)（除端点外）在每点都有切线的弧上，至少存在一点，在该点曲线的切线平行于联结弧的两端点的弦。

ξxyAA’BB’oabM导数的应用Lagrange中值定理，它是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数与其导数之间的桥梁。是微积分学中一个重要定理。推论1

如果函数的导数在某一区间(a,b)内恒等于零，则函数在

(a,b)内是一个常数。推论2

如果两个函数的导数在[a,b]内恒等，则这两个函数在(a,b)

内相差一个常数。例1

p46

导数的应用柯西Cauchy中值定理:定理3：若函数f(x)与g(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在开区间(a,b),g’(x)≠0则至少存在一点ξ∈(a,b),使得证明p47导数的应用四、

罗必达法则1、两个无穷小量之比的极限（0/0）导数的应用例：求极限例：导数的应用2、两个无穷大量之比的极限（∞/∞型）与0/0型相同处理。例：导数的应用例：例：导数的应用3、其他未定型极限的求法例：例：p48例2、3、4、5、6、7、8、9、10导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用§3-2

函数形态的研究一、函数的单调性和极值1、

函数的单调性定理1

（必要条件）如果函数在(a,b)内可导，且f(x)是递增的，则对(a,b)内所有的x,有。反之是递减的。（充分条件）（1）在区间(a,b)内所有x，如，则在区间内函数f(x)是递增的；（2）在区间(a,b)内所有x，如，则在区间内函数f(x)是递减的。导数的应用判断函数单调性步骤：（1）确定定义域；（2）求出导数为零或不存在的点，分若干区间；（3）判断各区间上导数的符号，确定单调性。导数的应用几何意义：αα曲线递增时，;递减时，例：p51例1、2、3例：判断函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间。解（1）定义域（-∞，+∞）（2）（3）判断导数的应用导数的应用、2、函数的极值1（1）

极值的概念：如果函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，对于此邻域内任一点x均有，则称f(x)在点取得极大值(localmaximum)，点叫做极大值点。反之，为极小值(localminimum)。极值(extremevalue)：极大值+极小值极值点(extremepoint)：取得极大值和极小值的点。注意：极大和极小是局部概念。可能有几个极值，极大值可能小于极小值。导数的应用导数的应用（2）

极值的判断定理2

若函数f(x)在点x0处有极值，且f’(x0)存在，则

f’(x0)=0驻点：使函数的导数为零的点。可导函数的极值点，必定是它的驻点。可导函数的驻点，不一定是它的极值点。定理3（第一判断法）设函数f(x)在点x0的邻近可导，且f’(x0)=0（1）如果x<x0时，f’(x)>0;x>x0时,f’(x)<0,则f(x)在点x0处有极大值（2）如果x<x0时，f’(x)<0;x>x0时,f”(x)>0,则在点x0处有极小值。（3）在x0两侧，f’(x)符号不变，则f(x)在点x0处没有极值导数的应用求极值步骤：（1）求出函数的导数；（2）找出驻点和导数不存在的点；（3）判断驻点两侧符号，求出极值。例：p53

4、5、6导数的应用例：求函数极值x(-∞,2)2(2,+∞)y’+不存在-y=f(x)↑极大值↓21导数的应用定理4（第二判断法）设y=f(x)在点xo处有一、二阶导数，且

f’(x0)=0（1）

若f’’(x0)<0，f(x0)为极大值。上凸（2）

若f’’(x0)>0，f(x0)为极小值。上凹（3）

若f’’(x0)=0，不能确定。在不可导点或二阶导数为0点无法判断。例:例7p54导数的应用导数的应用导数的应用3、函数的最大值和最小值如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上必有最大值和最小值。计算时，只要算出极大、极小和端点函数值，进行比较即可。例：p55

例8、9例：求极值导数的应用例1：已知半径为R的圆内接矩形。它的长和宽为多少时矩形面积最大？θxyR导数的应用例2：某中药厂要建一毛面积为512米2的矩形晒药场。一边可利用原有石条沿，另三边需砌新的石条沿。问场地长和宽为多少时，材料最省。解：材料最省，即长度最短。x512m2512/x导数的应用例：某药厂年产量为a个单位，分若干批生产，每批生产准备费为b元。若平均库存量为批量的一半，设每年每单位的药品库存费为c元。如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小。设每批生产x个单位，库存费+准备费=y。年产量为a，每年生产批数为a/x(整数)，准备费为b·a/x，库存量为x/2，库存费为c·x/2,因此导数的应用因为函数的最小值一定存在，且在(0,a)内只有一个驻点，故y有最小值。导数的应用例:导数的应用例:lhRθ设圆桌面的半径为R,在桌面中心的上方挂一电灯.已知其照度为问电灯距桌面多高时,才能使桌面边缘照得最亮.导数的应用导数的应用hRr导数的应用REr导数的应用二、曲线的凹凸与拐点1、曲线的凹凸性定义2：若曲线位于它上面任一点切线的上方，则曲线是上凹的(concave)。

若曲线位于它上面任一点切线的下方，则曲线是上凸的(convex)。xyABCD上凸上凹导数的应用凹凸判断法设函数f(x)在(a,b)内有二阶导数f’’(x),则在该区间内（1）当f’’(x)>0时，曲线是上凹的；（2）当f’’(x)<0时，曲线是上凸的。例10p56导数的应用2、

曲线的拐点拐点(inflectionpoint)：连续曲线的凹与凸的分界点。判断方法：（

（1）求函数f(x)的二阶导数f’’(x)=0的根或不。存在的点。若f’’(x)在根x0两侧符号不同，则((x0,f(x0))就是函数y=f(x)的拐点。(2)求出f’’(x)=0所有的点，按大小排列，考察各区间f’’(x)的符号，比较根两边的符号变化，寻找拐点。导数的应用例：p57例11、12拐点F’’(x)=0导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用三、曲线的渐近线例：p59例13导数的应用《函数图形的描绘》1、确定函数y=f(x)的定义域。2、确定函数y=f(x)的对称性。3、确定曲线与坐标轴的交点。4、一阶导数确定单调区间和极值。5、二阶导数确定凹凸区间和拐点。6、考察渐近线。7、补充一些适当的点，列表，绘图。例：p60例14、15、16导数的应用§3-3

函数展为幂级数一、用多项式近似表示函数（用简单函数代替复杂函数，函数在一点附近的近似值）在微分应用近似计算中得到：导数的应用x0(x0,f(x0)Mf(x)p1(x)提高近似度，用二阶多项式近似n次多项式：导数的应用为f(x)的n阶近似，即例：p64例1例：求近似式导数的应用导数的应用二、常用的几个函数的幂级数展开式1、幂级数称为无穷级数，简称级数。第n项un称为通项。数项级数—每一项都是常数的级数。函数项级数—每一项都是变量的级数