自动控制第八章

自动控制第八章第1页，课件共47页，创作于2023年2月第八章线性离散控制系统的分析与综合8.1离散控制系统概述8.2连续信号的采样与复现8.3Z变换及Z反变换8.4线性离散系统的数学模型8.5离散控制系统稳定性分析8.6离散控制系统的稳态误差分析8.7离散控制系统的动态性能分析8.8数字控制器的模拟化设计8.9数字控制器离散化设计第2页，课件共47页，创作于2023年2月8.1离散控制系统概述一、离散控制系统特点：从系统结构上看，含有采样开关；从信号传递上看，系统中某一处或数处信号是脉冲序列或数字序列传递。二、离散控制系统的二种典型结构1、采样控制系统e﹡(t)是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作为脉冲控制器的输入,经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。

第3页，课件共47页，创作于2023年2月2、数字控制系统

计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，故需要A/D,D/A实现两种信号的转换。三、离散控制系统的分析方法

建立在Z变换的数学基础上，采用脉冲传递函数，并利用类似连读控制系统的分析方法进行分析、研究。第4页，课件共47页，创作于2023年2月8.2连续信号的采样与复现一、连续信号的采样、数学描述1、采样过程把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为

采样过程。例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示，设采样开关每隔T秒闭合一次（接通一次）。f(t)为输入连续信号，则经采样开关后，f*(t)为定宽度等于τ的调幅脉冲序列，在采样瞬时nt(n=0.1.2.3…）时出现。由于采样开关闭合时间τ很小，τ<<T，分析可认为τ=0。采样器的输出f*(t)信号，等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。第5页，课件共47页，创作于2023年2月2、数学描述为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个幅值调制的过程，如下图所示。

幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即f*(t)可以认为是输入连续信号f(t)调制在理想脉冲δT（t）上的结果。第6页，课件共47页，创作于2023年2月

δ（t-nT）

则采样脉冲序列的数学表达式：

二、信号的复现及装置

1、信号的复现

使采样信号f*(t)大体上回复为原连续信号f(t)的变化规律，称信号的复现。问题提出：怎样才能使采样信号f*(t)大体上回复原连续信号f(t)的变化规律呢？

分析方法：从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性看：=+++……+=第7页，课件共47页，创作于2023年2月

(1)、对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。(香农采样定理)(2)、系统中有一低通滤波器。

观察上图，信号的复现需满足两个条件：第8页，课件共47页，创作于2023年2月2、信号的复现装置

复现装置有0阶、1阶、2阶保持器。常用的为0阶保持器。(1)0阶保持器：使采样信号在每一个采样瞬时的采样值一直保持到下一个采样瞬时，这样，离散信号变成了一连续的阶梯信号。第9页，课件共47页，创作于2023年2月(2)0阶保持器的数学模型：

分析：0阶保持器输入一单位理想脉冲，其输出应为幅值为1，宽度为一个采样周期的脉冲。其输出的脉冲可分解为二个单位阶跃函数之和。用式子表示：第10页，课件共47页，创作于2023年2月0阶保持器的传递函数：0阶保持器的频率特性：第11页，课件共47页，创作于2023年2月8.3Z变换及反变换

一、Z变换

在数学上表示：对上式两边取拉氏变换可看出，是以复变量s表示的函数。引入一新变量z

----定义在Z平面上的一个复变量，称为Z变换子；----采样周期；

S---拉氏变换算子。Z变换的定义

8.2节指出，一个连续函数经采样后，其采样函数式中：第12页，课件共47页，创作于2023年2月

上式收敛时，被定义为采样函数的Z变换。即注意：

1、上面三式均为采样函数的拉氏变换式；2、是的Z变换式；3、只表征连续函数在采样时刻上的特性，不能反映。间的信号特性。出采样时刻之第13页，课件共47页，创作于2023年2月(2)Z变换方法

Z变换方法多种，主要的有

1)级数求和法。以例说明例求单位价跃函数1（t）的Z变换.解：因为或者，由两边同乘以z-1得：

两式相减得：

第14页，课件共47页，创作于2023年2月2)部分分式法方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。

；然后逐项进行Z变换。例巳知原函数的拉氏变换式为，求其Z变换。解：对拉氏变换式用部分分式展开逐项进行Z变换(查Z变换表)有第15页，课件共47页，创作于2023年2月(3)Z变换的主要性质1)线性性质2)延迟定理

说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-n,算子z-n的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟n个周期。3)超前定理若则4）复数位移定理第16页，课件共47页，创作于2023年2月5）终值定理若，在平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点或（z-1）F(z)全部极点位于Z平面单位圆内。则例设的Z变换函数为求的终值。解：用终值定理第17页，课件共47页，创作于2023年2月二、Z反换

Z反变换是已知Z变换表达式F（Z），求离散序列f（nT）或的过程。Z反变换的方法也有多种，主要方法有1.部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：①先将变换式写成，并展开成部分分式，

②两端乘以Z。F（Z）=

③查Z变化表。=例巳知，求其原函数。解写成第18页，课件共47页，创作于2023年2月两边同乘z查z变换表

2、幂级数法（长除法）将表达式直接用长除法，求按降幂排列的展开式，便可直接写出脉冲序列的表达式。例己知求其反z变换。解可先改写z表达式第19页，课件共47页，创作于2023年2月用长除法，分子、分母相除有依z变换的定义，有

注：在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了，是开放形式。第20页，课件共47页，创作于2023年2月8.4线性离散系统的数学模型一、脉冲传递函数的概念定义：线性定常离散系统，在零初始条件下，系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比。用式子为二、开环脉冲传递函数的求法

系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置和数目有关。1.串联环节之间有采样开关(图a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.串联环节间无采样开关(图b)G(Z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)第21页，课件共47页，创作于2023年2月结论:

有采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的积；

无采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数等于两个连续环节传递函数串联之后的Z变换。本结论可推广到n个环节。

例：设G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。解：(1)二环节间有采样器G(Z)=G1(Z)G2(Z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]=(2)二环节间无采样器第22页，课件共47页，创作于2023年2月三、闭环脉冲传递函数

由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性，故闭环离散系统脉冲传递函数没有唯一的结构形式，通常须采用列出方程式，再消去中间信号变量求出闭环转递函数。

例求下图所示系统的闭环脉冲转递函数解由图取Z变换有又由图有由以上三式，消去中间变量可得该系统的闭环传递函数：第23页，课件共47页，创作于2023年2月注意：1、典型系统的传递函数或输出表达式见表8.1

2、元部件相同但采样开关的位置或个数不同，系统的传递函数不同；

3、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。第24页，课件共47页，创作于2023年2月8.5离散控制系统稳定性分析S平面Z平面左半平面单位园内虚轴单位园上右半平面单位园外一、S平面与Z平面的对应(映射)关系注：

对应关系的证明见P196；第25页，课件共47页，创作于2023年2月二、离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是，系统的特征方程的根全部位于Z平面以原点为园心的单位园内。例某离散控制系统如右图所示，采样周期为1s，系统能否稳定工作？解：系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为特征方程=0特征方程根由于在Z平面的单位园外，所以该系统是不稳定。第26页，课件共47页，创作于2023年2月三、离散系统的稳定性判据劳斯判据。具体方法、步骤；

1、求出特征方程式，

2、Z–W变换：令特征方程式中的，得到

3、对方程，用第三章劳斯判据的方法判稳。例8-12(p197)第27页，课件共47页，创作于2023年2月8.6离散控制系统的稳态误差分析

离散系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。离散系统稳态误差的分析、计算与连续系统的相类似，计算方法同样有两种。一、用Z变换的终值定理计算

若系统稳定,即全部极点位于z平面单位图内,则可用z变换终值定理求出采样瞬时终值误差。方法、步骤如下：1、求出误差传递函数

2、求出误差Z变换式3、终值定理计算第28页，课件共47页，创作于2023年2月二、误差系数方法(只适用于给定输入信号；与连续系统的方法相似)

其中含有的z=1重极点个数为n(相当于连续系统中的积分个数)，表征系统的无差度。n=0，称为有差系统；n=1，称为一阶无差系统；n=2，称为二阶无差系统。

分析：

称为位置误差系数。且有设单位反馈系统，开环传递函数为（1）阶跃输入时

由终值定理有N=0,

N=0,

N=0,

N=0,

n=0n>1第29页，课件共47页，创作于2023年2月(2)斜坡输入

，速度误差系数当n=0时，当n=1时，有限值，当n=2时，(3)加速度输入第30页，课件共47页，创作于2023年2月，称为加速度误差系数，且：例：(t)r(t)求下列系统单位阶跃、斜波、抛物线信号共同作用下的稳态误差。其中采样周期扛0.2s。第31页，课件共47页，创作于2023年2月解开环传递函数开环脉冲传函特征方程W变换误差系数稳态误差第32页，课件共47页，创作于2023年2月8.7离散控制系统的动态性能分析

一、闭环极点（根的位置）与时间响应的关系

在连续系统里，如果已知闭环极点在S平面上的位置，可知系统对应的瞬态响应的情况。

在离散系统中，若己知闭环脉冲传函的极点在Z平面上的位置与系统响应之间关系，这对系统设计、分析会有重要意义。

分析：设闭环脉冲传递函数为)当r(t)=1(t),离散系统输出的z变换C(z)=Φ(z)R(z)=第33页，课件共47页，创作于2023年2月展成部分分式为了方便讨论，假设无重极点A=式中反Z变换，输出的脉冲序列：第34页，课件共47页，创作于2023年2月根据Pj在单位圆的位置，可以确定C*(t)的动态响应形式(1)单极点位于Z平面实轴上①Pj>1；闭环极点位于Z平面单位圆外的正实轴上：脉冲响应单调发散②Pj=1；单位圆上：动态响应为等幅（常值）脉冲序列。③0<Pj<1；单位圆正实轴上：单调递减。④-1<Pj<0；单位圆内负实轴：正负交替递减脉冲序列。⑤Pj=-1；正负交替的等幅脉冲序列⑥Pj<

-1；正负交替发散脉冲序列用图表示第35页，课件共47页，创作于2023年2月(2)极点（共轭复数极点）位于Z平面复平面上①|P|>1,单位园外：振荡发散序列、|P|越大，发散越快；

②|P|=1，单位园上：等幅振荡脉冲序列；

③|P|<1，单位园内：收敛振荡，|P|越小，收敛越快。用图表示设系统具有一对复数极点则单位阶跃信号输入下，系统输出可表示为分析：第36页，课件共47页，创作于2023年2月离散控制系统的动态性能计算复杂。P203页提供式(8-39)、(8-39)作为离散控制系统的动态性能估算公式。二、离散控制系统的动态性能估算结论：想要获得优良的动态性能，闭环极点最好位于Z平面上单位园内的右半平面的正实轴上，且尽可能靠近原点的地方。第37页，课件共47页，创作于2023年2月8.8数字控制器的模拟化设计

一、设计原理

先把数字调节器的脉冲传递函数看成为模拟调节器的传递函数，把离散系统视为一连续系统，再按连续系统的校正方法(例如第六章)求出校正网络；最后对求出的模拟调节器的传递函数进行数字化。二、模拟调节器的传递函数进行数字化常用方法：

1、直接差分法(后向差分法)

令传递函数中的s等于：例：己知如下传函，求对应的数字化式解：用直接(后向)差分法第38页，课件共47页，创作于2023年2月三、数字控制器的模拟化设计方法的步骤：

1、求出带零阶保持器的被控对象传函，依静态性能指标作未校正前对数频率特性；

2、根据动态性能要求，用第六章开环对数频率特性的博德图法，求出校正网络的传递函数；

3、选择采样频率；

4、校正网络传递函数的离散化处理；

5、求出差分方程，计算机程序实现。2、双线性变换法令传递函数中的s等于：第39页，课件共47页，创作于2023年2月四、例题(P207；例题8-17)

某计算机控制系统如图所示。设计数字控制器，使系统的开环截止频率大于或等于15(1/s)，相位裕度大于或等于45度，开环增益(控制精度)大于或等于30。解:(1)未校正前的开环频率特性根据静态性能要求，取开环放大系数为30；把零阶保持器近似为一个惯性环节，设取采样周期为0.01秒，于是未校正前系统的开环传递函数为校正前系统的开环频率特性如图中实线所示第40页，课件共47页，创作于2023年2月由图可知，开环截止频率约等于10(1/s)，相位裕度约等于14度，相位裕度也可以通过下式计算：(2)根据第六章，采用串联超前校正。串联校正传函取为

采用串联校正后，系统开环频率特性如图中虚线所示。由图有开环截止频率等于19(1/s)，相位裕度等于60度，开环增益(控制精度)大于或等于30。满足性能要求值。(3)选取采样频率采样频率值己选为0.01秒。第41页，课件共47页，创作于2023年2月(4)模似校正装置的离散化

采用双线性变换的离散化方法，令传递函数中s等于于是，数字控制器的脉冲传递函数为(5)化数字控制器的脉冲传递函数为差分方程第42页，课件共47页，创作于2023年2月代入各时间常数的值，有

为了避免运算过程中出现溢出，因此将控制量中误差项的传递系数缩小20倍，其增益的补偿将由系统中的功放实现。于是数字调节器的输入输出表达式为根据上式编制计算机控制算法程序。第43页，课件共47页，创作于2023年2月8.9数字控制器的离散化设计

数字控制器的离散化设计方法有Z平