2022年山东省临沂市资邱中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年山东省临沂市资邱中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在面积为的内部任取一点，则的面积大于的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知集合，，，则实数的不同取值个数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.设命题p：?x0∈（0，+∞），e+x0=5．命题q：?x∈（0，+∞），+x≥2﹣1．那么，下列命题为真命题的是（）A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q）参考答案：C【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】利用函数零点存在定理以及基本不等式分别判断两个命题的真假，然后结合复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．【解答】解：设f（x）=ex+x﹣5，则f（x）=1﹣5=﹣4＜0，f（5）=e5+5﹣5=e5＞0，则：?x0∈（0，+∞），使f（x0）=0，即e+x0=5成立，即命题p是真命题，+x=+x+1﹣1≥2﹣1=2﹣1，当且仅当=x+1，即x+1=，x=时取等号，故：?x∈（0，+∞），+x≥2﹣1成立，即命题q为真命题．则p∧q为真命题，其余为假命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系的判断，利用条件判断p，q的真假性是解决本题的关键．4.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则A.

B.

C.

D.参考答案：D5.在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x?B”成立的充要条件是(

)A．－1<x≤1

B．x≤1C．x>－1

D．－1<x<1参考答案：D7.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx| C．y=cosx D．y=ex﹣1参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点．【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确；对于B，函数不是偶函数，不正确；对于C，既是偶函数又存在零点，正确；对于D，函数不是偶函数，不正确．故选C．8.已知则向量的夹角为A. B. C. D.参考答案：B，所以，所以，所以，选B.9.定义域为R的函数对任意X都有，且其导函数满足，则当时，有(

)参考答案：C略10.如果执行右边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是（

）A．9

B．3

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正数a，b满足3a+2b＝1，则的最小值为

▲

．参考答案：2412.曲线和曲线围成的图形的面积是________.参考答案：13.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为

．参考答案：－1向量满足，可得，即为，两式相减可得，则向量在向量上的投影为，故答案为－1.

14.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”.其中，正确的结论的个数是

．参考答案：3，，真；，，假；显然③真；若则,,则,若,则,，,④真.15.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且则

.参考答案：16.已知函数在上的值域为[0,1]，则实数的取值范围是

．参考答案：17.已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，为半径的圆交C的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为_________.参考答案：【分析】先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.【详解】由题意，得，另一个焦点，由对称性知，，又因为线段的垂直平分线经过点，，则，可得是正三角形，如图所示，连接，则，由图象的对称性可知，，又因为是等腰三角形，则，在中，由余弦定理：，上式可化为，整理得：，即，由于，则，故，故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等比数列的前项和为，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）数列是首项为-6，公差为2的等差数列，求数列的前项和.

参考答案：（Ⅰ）由已知得,则.代入，得，解得（舍去）或.所以.（Ⅱ）由题意得，所以.设数列的前项和为，则.略19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知可得PA⊥CD，再由∠ADC=90°，得CD⊥AD，利用线面垂直的判定可得CD⊥平面PAD；（Ⅱ）由CD⊥平面PAD，可知∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，从而∠PDA=45°．在平面ABCD内，作Ay⊥AD，以A为原点，分别以AD，AP所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，求出A，P，E，C的坐标，进一步求出平面PCE的一个法向量，由法向量与向量所成角的余弦值的绝对值可得直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由已知，PA⊥CD，又∠ADC=90°，即CD⊥AD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD；（Ⅱ）解：∵CD⊥平面PAD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，从而∠PDA=45°．如图所示，在平面ABCD内，作Ay⊥AD，以A为原点，分别以AD，AP所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），∴，，．设平面PCE的一个法向量，则，取x=2，则．设直线PA与平面PCE所成角为α，则．∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查利用空间向量求解线面角，是中档题．20.已知各项为正数的等差数列满足，，且（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．参考答案：略21.已知向量a＝(sin3x，－y)，b＝(m，cos3x－m)(m∈R)，且a＋b＝0.设y＝f(x)．(1)求f(x)的表达式，并求函数f(x)在上图象最低点M的坐标；(2)若对任意x∈，f(x)>t－9x＋1恒成立，求实数t的范围．参考答案：(1)因为a＋b＝0，即消去m，得y＝sin3x＋cos3x，即f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，当x∈时，3x＋∈，sin∈，即f(x)的最小值为1，此时x＝．所以函数f(x)的图象上最低点M的坐标是．(2)由题，知f(x)>t－9x＋1，即2sin＋9x>t＋1，当x∈时，函数f(x)＝2sin单调递增，y＝9x单调递增，所以g(x)＝2sin＋9x在上单调递增，所以g(x)＝2sin＋9x的最小值为1，为要2sin＋9x>t＋1在任意x∈上恒成立，只要t＋1<1，即t<0.故实数t的范围为(－∞，0)．22.已知函数f（x）=alnx﹣x+1，g（x）=﹣x2+（a+1）x+1．（1）若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数h（x）在其定义城内存在实数x0，使得h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k≠0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1为保a阶函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，再由x﹣lnx＞0得恒成立．构造函数F（x）=，利用导数求其最小值得答案；（2）由H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念列式，整理得到ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，转化为，由x0＞0可得实数a的取值范围是．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即alnx﹣x+1≥﹣x2+（a+1）x+1恒成立，a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤lne=1≤x，∵上式等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立．令F（x）=，∴a≤F（x）min（x∈[1，e]），由于，由于1≤x≤e，∴x﹣1＞0，x+2﹣2lnx=x+2（1﹣lnx）＞0，∴F′（x）＞0．∴函数F（x）=在区间[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）=．∴a≤﹣1；（2）∵H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a