914.和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试(9年级)

914.和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试(9年级)

FN2=EH·EF+FH·FE=2EK·FK，即EK⊥FK，证毕。圆幂定理是圆内线段比例关系的重要定理，包括相交弦定理和切割线定理。相交弦定理指出，圆内相交的两条弦被交点分成的线段长度乘积相等；其推论是，若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。切割线定理指出，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长度比例中项；其推论是，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长度的积相等。在解题时，我们可以直接应用圆幂定理，或者找相似三角形，通过等积式、比例式、中间比和相似三角形来证明线段的比例关系。最后，我们要熟悉基本的图形，掌握圆幂定理的应用方法。根据勾股定理，可以得到FN2=(EH+FH)·EF=EF2。又因为EM=EK，FN=FK，所以EK2+FK2=EF2。因此，△EKF为直角三角形，且∠EKF=90°，即EK⊥FK。在图中，⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点，在公共弦QP延长线上取一点M，过M作两圆的割线分别交两圆于A、B、C、D。要证明AD/BD=DM/BC。根据切割线定理得到MA·MB=MP·MQ=MC·MD，所以A、B、D、C四点共圆，可得∠ADB=∠ACB。又因为S△ADB=AD/2·BD/2·sin∠ADB，S△ACB=AC/2·BC/2·sin∠ACB，所以S△ADB/S△ACB=AD/BD=DM/BC。在图中，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N。要证明AE2=BN·EN，并求出当AD经过圆心O，且AE=EC时，∠AFC的度数。因为AE、ABC分别是小圆的切线和割线，所以AE2=AB·AC。作OH⊥AD于H，则AH=DH，BH=CH，所以AB=CD。同理得BM=EN。由相交弦定理得AB·BD=MB·BN，所以AB·AC=EN·BN。因此，AE2=EN·BN。连结OE，因为AF是切线，所以OE⊥AF于E，所以AE=EF。因为AE=EC=EF，所以易证得∠ACF=90°。因为AD过圆心D，所以FC是小圆的切线。所以FC=FE=EC，所以∠AFC=60°。从圆外一点P作⊙O的切线，切点为Q，割线PBC与圆交于B、C两点，∠QPC的平分线分别交QC、QB于E、D，要求出DB/QB+EC/QC的值。在△QPC中，由PE平分∠QPC，得QE/EC=PQ/PC。同理，在△QPB中有QD/DB=PQ/PB。于是，QE/QD=PQ2/DB·PC，EC/DB=PQ2/QD·PC，因此QE/QD·EC/DB=PQ2/PB·PC/PC=DB/QB+EC/QC。⊙O于B、C两点，且PB=3，PC=4，OT=2，则PA的长为5。3.如图，ABCD为正方形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，连接OF，交⊙O于G，若OF=6，则OG的长为3。4.如图，ABCD为矩形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，若OG=3，则OF的长为6。5.如图，ABCD为矩形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，若OG=3，且EF=4，则CD的长为8。6.如图，ABCD为矩形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，若OG=3，且EF=4，则BC的长为6。7.如图，ABCD为矩形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，若OG=3，且EF=4，则AE的长为3。8.如图，ABCD为矩形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，若OG=3，且EF=4，则AG的长为5。9.如图，ABCD为正方形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，若OG=3，且EF=4，则AE的长为4。10.如图，ABCD为正方形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，若OG=3，且EF=4，则BF的长为3。二、解答题11.如图，ABCD为矩形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，连接OG，交BC于H，求证：（1）EF·GH=2AC·BD；（2）OH·OG=2AC2.12.如图，ABCD为正方形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，连接OG，交BC于H，求证：GH=2EF.13.如图，ABCD为正方形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，连接OG，交BC于H，若OH=3，求证：EF=2.14.如图，ABCD为正方形，以AB为直径作⊙O，交AC于E，交BD于F，交⊙O于G，连接OG，交BC于H，若OH=3，且EF=4，求证：AB=6.=4，BD=3，那么CD的长为。3.如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O上一条切线，交AB于E，CD=6，那么AE的长为。4.如图，⊙O的半径为3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，且CD=2，那么BC的长为。5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是BC上一点，且∠BAD=50°，那么∠ACD的度数为。6.如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，且CD=4，那么AD的长为。7.如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，且CD=3，那么∠ACB的度数为。8.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，CE是CD的延长线，且CE=AB，那么∠ACB的度数为。9.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，CE是CD的延长线，且CE=2AB，那么∠ACB的度数为。10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，CE是CD的延长线，且CE=3AB，那么∠ACB的度数为。二、解答题11.如图，⊙O内接于△ABC，AD是△ABC的高，且AB=AC，那么∠BOD的度数为多少？12.如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，CE是CD的延长线，且CE=AB，那么△ABC的面积为多少？13.如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上一条切线，CE是CD的延长线，且CE=AB，F是AB上一点，且OF垂直于AB，那么OF的长为多少？14.如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的直径