线性代数 矩阵及其运算

某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986为了方便，常用下面右边的数表表示§2.1矩阵的概念2.1.1矩阵的引入第1页，课件共98页，创作于2023年2月1.定义2.1由m×n个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作2.1.2矩阵的定义第2页，课件共98页，创作于2023年2月2.说明:矩阵与行列式不同

形式不同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.内容不同矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.

3.实矩阵、复矩阵第3页，课件共98页，创作于2023年2月5.矩阵相等充要条件是:4.同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵第4页，课件共98页，创作于2023年2月2.1.2一些特殊矩阵1.方阵若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。2.

行矩阵、列矩阵行矩阵只有一行的矩阵。列矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵第5页，课件共98页，创作于2023年2月n阶单位矩阵第6页，课件共98页，创作于2023年2月4.对角矩阵与数量矩阵5.上（下）三角形矩阵第7页，课件共98页，创作于2023年2月§2.2矩阵的运算2.2.1.矩阵的加法与数乘:

注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。1.矩阵的加法（定义2.2）:

A=(aij)

、B=(bij)第8页，课件共98页，创作于2023年2月2.矩阵的数乘定义2.3

数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：负矩阵:

A=(

aij)

减法：Ａ

B=Ａ+(

B)第9页，课件共98页，创作于2023年2月3.矩阵线性运算律：

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB

第10页，课件共98页，创作于2023年2月例1．若X满足其中求X.解X=第11页，课件共98页，创作于2023年2月

2.2.2.矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵A为m×s

阶矩阵、矩阵B为s×n

阶矩阵，A=(aij)

m×s

、B=(bij)s×n，则矩阵A与B的乘积为一m×n

阶矩阵C=(cij)

m×n，记C=AB，且第12页，课件共98页，创作于2023年2月就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。第13页，课件共98页，创作于2023年2月例2计算

第14页，课件共98页，创作于2023年2月例3.非齐次线性方程组的矩阵表示记则非齐次线性方程组可简记为第15页，课件共98页，创作于2023年2月关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵A

与矩阵B

做乘法必须是左矩阵的列数与右

矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律第16页，课件共98页，创作于2023年2月（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也

不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；

A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4第17页，课件共98页，创作于2023年2月定理2.1

若矩阵A的第i行是零行，则乘积AB的第i行也是零；若矩阵B的第j行是零列，则乘积AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积AB也是零矩阵。例5设求AB与BA解第18页，课件共98页，创作于2023年2月只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：

(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm

(3)(AB)k≠AkBk3.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：第19页，课件共98页，创作于2023年2月例6

解

第20页，课件共98页，创作于2023年2月4.方阵A的n次多项式第21页，课件共98页，创作于2023年2月5.矩阵的转置定义2.6A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所得矩阵如果A是一个m×n阶矩阵，AT是一个n×m阶矩阵。矩阵的转置的性质第22页，课件共98页，创作于2023年2月证明（1）、（2）、（3）易证，下证明(4).设矩阵A为m×s阶矩阵，矩阵B为s×n阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji

，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故

(AB)T=ATBT第23页，课件共98页，创作于2023年2月6.对称矩阵与反对称矩阵设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵。如右边的矩阵A为对称矩阵第24页，课件共98页，创作于2023年2月7.方阵的行列式（1）方阵A的行列式，记为|A|或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，λ为实数)第25页，课件共98页，创作于2023年2月1)伴随矩阵：设A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵8、再讲几类特殊的矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊第26页，课件共98页，创作于2023年2月矩阵运算举例第27页，课件共98页，创作于2023年2月第28页，课件共98页，创作于2023年2月第29页，课件共98页，创作于2023年2月第30页，课件共98页，创作于2023年2月第31页，课件共98页，创作于2023年2月

设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得

AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B称为A的逆矩阵，记为A－1=B

。1）.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质§2.3逆矩阵第32页，课件共98页，创作于2023年2月证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时有第33页，课件共98页，创作于2023年2月3）.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故

A－1=B

必要性证明：∵A可逆∴AA－1=A－1

A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0

，A可逆，同时还有奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵Ａ的行列式|A|≠0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。第34页，课件共98页，创作于2023年2月4）.逆矩阵的性质

如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且

(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1

(kB)－1＝k－1A－1(k为非零）

|A－1|=|A|－1

证明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E

故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T

同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E

∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1第35页，课件共98页，创作于2023年2月有关逆矩阵例题第36页，课件共98页，创作于2023年2月第37页，课件共98页，创作于2023年2月第38页，课件共98页，创作于2023年2月第39页，课件共98页，创作于2023年2月第40页，课件共98页，创作于2023年2月第41页，课件共98页，创作于2023年2月

本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。§2.4分块矩阵第42页，课件共98页，创作于2023年2月第43页，课件共98页，创作于2023年2月即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。2.4.1分块矩阵的加法：设矩阵A,矩阵B为：第44页，课件共98页，创作于2023年2月2.4.2分块矩阵的乘法：设矩阵Am×n、Bn×p且矩阵A列的分法与矩阵B的行的分法相同。第45页，课件共98页，创作于2023年2月第46页，课件共98页，创作于2023年2月2.4.3分块矩阵的转置第47页，课件共98页，创作于2023年2月

它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称A为准对角矩阵（或对角块矩阵）。

对于准对角矩阵，有以下运算性质：若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设2.4.4准对角矩阵

若矩阵A的分块矩阵具有以下形式第48页，课件共98页，创作于2023年2月则：第49页，课件共98页，创作于2023年2月☞若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且☞第50页，课件共98页，创作于2023年2月2.4.5矩阵分块的应用第51页，课件共98页，创作于2023年2月第52页，课件共98页，创作于2023年2月第53页，课件共98页，创作于2023年2月第54页，课件共98页，创作于2023年2月2.4.6矩阵按列分块1.矩阵按列分块第55页，课件共98页，创作于2023年2月2.线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式第56页，课件共98页，创作于2023年2月如果把系数矩阵A按列分成n块，则线性方程组可记作第57页，课件共98页，创作于2023年2月§2.5初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换(Elementaryoperation)1

初等变换定义定下面的三种变换称为矩阵的初等变换

：(i).

对调两行(ii).以非0数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。

第58页，课件共98页，创作于2023年2月例18设（1）用行初等变换把A化为阶梯形，进一步化为行标准形（2）再用列初等变换把A化为标准形解（1）第59页，课件共98页，创作于2023年2月（行阶梯形）第60页，课件共98页，创作于2023年2月第61页，课件共98页，创作于2023年2月第62页，课件共98页，创作于2023年2月2行阶梯形矩阵定义2.11一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行

如下面的阶梯形矩阵第63页，课件共98页，创作于2023年2月行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型第64页，课件共98页，创作于2023年2月3.定理2.3设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型第65页，课件共98页，创作于2023年2月

4

定理矩阵A可经初等变换化为标准形:第66页，课件共98页，创作于2023年2月（1）.已知分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵乘法将这两种变换表示出来。第67页，课件共98页，创作于2023年2月解交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵

左乘A：第68页，课件共98页，创作于2023年2月将A的第一列的2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘A：

第69页，课件共98页，创作于2023年2月2.5.2初等矩阵1.初等矩阵的定义（定义2.12）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。第70页，课件共98页，创作于2023年2月对于n阶单位矩阵I，交换E的第

行，得到的初等矩阵记作：

第71页，课件共98页，创作于2023年2月(2)用非零数k乘以I的第

行，得到的初等矩阵记作:第72页，课件共98页，创作于2023年2月(3)将I的第

行的

倍加到第

行，得到的初等矩阵记作：第73页，课件共98页，创作于2023年2月(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵2.初等矩阵之间的关系第74页，课件共98页，创作于2023年2月3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；4.初等矩阵与初等变换之间的关系；1）.先看下面的例题第75页，课件共98页，创作于2023年2月1）行初等矩阵左乘矩阵（3）.列初等矩阵右乘矩阵第76页，课件共98页，创作于2023年2月2）.结论定理2.4A为矩阵,对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A，对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A。

5.矩阵等价定义2.13若矩阵A经过行（列）初等变换可化为B则称A与B行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价第77页，课件共98页，创作于2023年2月6.初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有第78页，课件共98页，创作于2023年2月7.结论定理2.6可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积。证明：因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵使得第79页，课件共98页，创作于2023年2月因A可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而r=n,即有于是有第80页，课件共98页，创作于2023年2月证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。第81页，课件共98页，创作于2023年2月定理2.5矩阵A与B等价当且仅当存在可逆的P与Q，使得PAQ=B.特别地，矩阵A等价于A的标准形。证明：初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积第82页，课件共98页，创作于2023年2月8.

可逆矩阵的逆的求法A可逆,则有行初等行矩阵使得则有记第83页，课件共98页，创作于2023年2月则有行初等矩阵使得上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：第84页，课件共98页，创作于2023年2月例4求A的逆矩阵第85页，课件共98页，创作于2023年2月例5求A的逆矩阵解第86页，课件共98页，创作于2023年2月§2.6矩阵的秩2.6.1矩阵的秩的概念(Rankofamatrix)1.定义在mn矩阵A中，任取k行k列（km，kn），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。2.定义2.14

如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D，并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩阵A的秩，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩等于零。第87页，课件共98页，创作于2023年2月4.由矩阵的秩的定义易得：（1）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数（2）矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常数k与矩阵A的积的秩等于矩阵A的秩。（3）n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵（满秩矩阵）。（4）若A有一个r阶子式不等于零，则r(A)大于等于r;若