微积分的创立I

第六章微积分的创立第一节半个世纪的酝酿第二节牛顿的“流数术”•科学思想与方法论——培根（英，1561-1626）提倡实验科学，伽利略（意，1564-1642）寻求基本原理。•天文学的革命——开普勒（德，1571-1630）三定律，伽利略发明天文望远镜。•力学体系的诞生——伽利略的自由落体运动，胡克（英，1635-1703）的引力定律。•化学确立为科学——波义耳（英，1627-1691）的朴素元素观，施塔尔（德，1660-1734）的燃素说。•生物学的孕育——维萨留斯（比，1514-1564）的解剖学，哈维（英，1578-1657）的血液循环过程。近代科学的兴起•16世纪之前的数学基本上是常量数学，而近代数学的本质却是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已经变成自然科学的中心问题，这就需要有一种新的数学工具，从而导致了变量数学也就是近代数学的诞生。变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明，然后就是微积分的发明。第一节半个世纪的酝酿•微积分的思想萌发，特别是积分学，可以追溯到古代，面积和体积的计算自古以来就是科学家们感兴趣的课题，在古代希腊、中国数学家们的著述中，不乏用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。•与积分学相比而言，微分学的起源则要晚的多，刺激微积分发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。第一节半个世纪的酝酿•近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这个世纪。1、1608伽利略制成的第一台天文望远镜。2、1619年开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。第一节半个世纪的酝酿•开普勒行星运动三大定律：1、每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中；2、在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线所扫过的面积都是相等的。3、各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。•从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。第一节半个世纪的酝酿•1638年《关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明》伽利略（意，1564-1642）的切线构造第一节半个世纪的酝酿•1638年，伽利略（1564—1642）的《关于两门新科学的对话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45°时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。•凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点。第一节半个世纪的酝酿•确定非匀速运动物体的速度与加速度是瞬时变化率问题的研究成为当务之急；•望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；•确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点和远日点等涉及的函数极值问题也亟待解决；•行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴起被重新激发起来。第一节半个世纪的酝酿•在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内取得了迅速的进展。1、开普勒与旋转体体积无穷小求和思想第一节半个世纪的酝酿•开普勒（德，1571-1630）的旋转体体积第一节半个世纪的酝酿•开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。•他认为球的体积是天数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。第一节半个世纪的酝酿•卡瓦列里（意，1598-1647）的不可分量原理无穷小方法计算面积和体积2、卡瓦列里不可分量原理第一节半个世纪的酝酿•他在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。•卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等价于下列积分式子：

3、笛卡儿的“圆法”笛卡儿（法，1596－1650年，《折光》：折射定律《气象》：虹的形成原理《几何学》：解析几何思想第一节半个世纪的酝酿•笛卡儿的代数方法对推动微积分的早期发展有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起点而踏上研究微积分的道路的。笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算。•1658年荷兰数学家胡德提出构造曲线切线的形式法则，称为“朗德法则”。朗德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，能完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算。4、费马求极大值和极小值方法费马（法，1601－1665年）第一节半个世纪的酝酿•费马是在牛顿和莱布尼兹之前，在微分和积分两个方面作出贡献最多的一个数学家。第一节半个世纪的酝酿•费马《求极大值与极小值的方法》写于1636年以前，在求曲线的切线问题和函数的极大，极小值问题上做出了重要贡献。用现代语言来说，他都是先取增量，而后让增量趋于0。这正是微分学的实质之所在。费马还考虑了求抛物体的重心问题。第一节半个世纪的酝酿•他是用求极大，极小值的方法得到，而不是用求和的方法。这使他的朋友罗贝瓦尔感到惊奇。但是，他居然没有看到这两类问题——微分学问题和积分学问题——的基本联系，与微积分基本定理擦肩而过。•在数学史上，拉格朗日，拉普拉斯和傅立叶都曾称“费马是真正发明者。”但泊松指出，费马不应当享有这一荣誉。5、巴罗的“微分三角形”巴罗（英，1630-1677）的特征三角形与曲线切线第一节半个世纪的酝酿•巴罗是牛顿的老师，是英国剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当巴罗发现牛顿的杰出才能时，于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任。6、沃利斯的“无穷算术”沃利斯（英，1616-1703年）第一节半个世纪的酝酿•沃利斯的一项重要的研究是计算四分之一单位圆的面积，并由此得到的无穷乘积表达式。第二节牛顿的“流数术”•牛顿（1642—1727）于伽利略去世那年，出生于英格兰林肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是早产的遗腹子，生后勉强存活．少年牛顿不是神童，成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具．17岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅舅和格兰瑟姆中学校长史托克斯的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。•史托克斯校长的劝说辞中，有一句话：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”第二节牛顿的“流数术”•牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利赂、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。第二节牛顿的“流数术”•1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论……可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。1、流数术的初建第二节牛顿的“流数术”•牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣。①就在此时，牛顿首创了“ο”记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。②1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分，取得了突破性进展。③1665年11月发明“正流数术”（微分法）。④次年5月又建立了”反流数术”（积分法）。⑤1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文《流数简论》，《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。第二节牛顿的“流数术”•《流数简论》标志着微积分的诞生。牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。这年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的员献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文：①1669年的《运用无限多项方程的分析》；②1671年的《流数法与无穷级数》；③1691年的《曲线求积术》。2、流数术的发展第二节牛顿的“流数术”•《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景，该文以速度形式引进了“流数”（即微商）概念。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题：①设有两个或更多个物体在同一时刻内描画线段．已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度的关系。②已知表示线段和运动速度之比的关系方程式，求另一线段。第二节牛顿的“流数术”•《简论》中对微积分基本定理的论述不是现代意义下的严格证明，牛顿在后来的著作中对微积分基本定理给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。•

在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率人手通过反微分计算面积．前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础．第二节牛顿的“流数术”•正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。•

在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一的算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。第二节牛顿的“流数术”•牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中。因此《原理》也成为数学史上的划时代著作。•

《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬，这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。第二节牛顿的“流数术”•

《流数简论》标志着微积分的诞生，它在许多方面是不成熟的，牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬．他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，它们分别是：《运用无限多项方程的分析》完成于1669年；《流数法与无穷级数》完成于1671年；《曲线求积术》完成于1691年。•

这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。第二节牛顿的“流数术”•第一篇论文《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。1668年苏格兰学者麦卡托发表了对数级数的结果，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果．《分析学》利用这些无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微积分与无穷级数紧密结合的特点。•

牛顿接着给出了另一条法则：若y值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理。第二节牛顿的“流数术”•由上述可知，牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为零，从而带上了浓厚的不可分量色彩。•

第二篇论文《流数法》可以看作是1666年《流数简论》的直接发展。牛顿在其中又恢复了运动学观点，但对以物体速度为原型的流数概念作了进一步提炼，并首次正式命名为“流数”。第二节牛顿的“流数术”•牛顿后来对《流数法》中的流数概念作了如下解释：“我把时间看作是连续的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长，我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬”。第二节牛顿的“流数术”•大约到17世纪80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出。首末比法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》一书中发布，其详尽的分析表述则是在其第三篇微积分论文《曲线求积术》中给出的。第二节牛顿的“流数术”•《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述，牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬o的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。”•

在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。确切地说，它们构成增量的最初比。”•

牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。第二节牛顿的“流数术”•牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎．除了两篇光学著作，他的大多数著作都是经朋友再三催促才拿出来发表．上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》，1704年载于《光学》附录；《分析学》发表于1711年；而《流数法》则迟至1736年才正式发表，当时牛顿已去世。•牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》（以下简称《原理》，之中，因此《原理》也成为数学史上的划时代著作。第二节牛顿的“流数术”•

《原理》中并没有明显的分析形式的微积分。整部著作是以综合几何的语言写成的，但牛顿在第一卷第l章开头部分通过11条引理，建立了“首末比法”。•

尽管《原理》表现出以极限方法作为微积分基础的强烈倾向，但并不意味着牛顿完全摒弃无限小观点。在第二卷第2章中，人们可以看到无限小瞬方法的陈述：•“任何生成量的瞬，等于生成它的各边的瞬乘以这些边的幂指数及系数并逐项相加。”此处所谓“生成量”，即函数概念的雏形。三、《原理》与微积分第二节牛顿的“流数术”•牛顿说明这类量的例子有积、商、根等，并把它们看成是“变化的和不定的”；生成量的瞬则是指函数的微分．因此上述陈述实际上相当于一些微分运算法则。•

《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬，这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。第二节牛顿的“流数术”•《原理》被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”．全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力。苹果和《自然哲学的数学原理》（英国，1987）第二节牛顿的“流数术”•牛顿的科学贡献是多方面的。①他的代数名著《普遍算术》，包含了方程论的许多重要成果，如虚数根必成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公式等等；②几何杰作《三次曲线枚举》，首创对三次曲线的整体分类研究，是解析几何发展新的一页；③在数值分析领域，今天任何一本教程都不能不提到牛顿的名字：牛顿—格里高利公式、牛顿—拉弗森公式、牛顿—斯特林公式……牛顿还是几何概率的最早研究者。第二节牛顿的“流数术”•牛顿是一位科学巨人，对此，莱布尼茨有过高度的评价：“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作”。•

拉格朗日对牛顿的作用和影响也有过评语，说他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人——因为宇宙体系只能被发现一次。第二节牛顿的“流数术”•与这些颂扬相反，牛顿对他的工作有自己谦虚的评价：“我不知道世间把我看成什么样的人；但是，对我来说，就像一个在海边玩耍的孩子，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，在我面前是完全没有被发现的真理的大海。”第二节牛顿的“流数术”•在尊重他的前辈的成果方面，他这样解释：“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”还有一次，当别人问他是怎样作出自己的科学发现时，他的回答是：“心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明！”第二节牛顿的“流数术”•据他的助手回忆，牛顿往往一天伏案工作18小时左右，并且有超人的集中注意力的能力。有几个有趣的故事，说的是他如何聚精会神忘记一切。例如，一次他请一些朋友吃晚饭，他离席去拿一瓶酒，可是他跑回房间竟然把取酒这事忘了，而穿上白衣，进了祈祷室。另一次，牛顿的朋友斯图克利博士请他吃鸡肉饭。牛顿出去了一会儿，但是，桌子上已经放好盖着的盆子，里面是烹调好的鸡肉。牛顿忘记吃饭这事，而超过了时间，斯图克利把鸡吃了，然后再把骨头放在盖着的盘子里。牛顿回来后，发现只剩下骨头了。他说：“亲爱的：我竟然忘了我们已经吃了饭。”还有一次，他从格兰瑟姆骑马回家时，下了马步行牵着它上城外的斯皮特门山。牛顿不知道马在上山时滑脱了，到了山顶，准备再上马时，才发现手里只剩下个空缰绳。第二节牛顿的“流数术”•关于牛顿的很多轶事多半是不真实的，人们常把牛顿偶像化加以神话式的宣扬。最突出的例子是英国诗人波普（16