湖南省张家界市天门中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

湖南省张家界市天门中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点与抛物线只有一个公共点的直线的条数是(

)(A)1

(B)2

(C)3

(D)4参考答案：C解：三条直线：，；；，切点。∴选(C)。2.已知函数，则（

）A.f(x)的图象关于直线对称 B.f(x)的最大值为2C.f(x)的最小值为－1 D.f(x)的图象关于点对称参考答案：A【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数，当时，，所以函数的对称轴，故A正确；由，所以函数的最大值为，最小值为，所以B、C不正确；又由时，，所以不是函数的对称中心，故D不正确，故选A．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：?x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】由题设条件，先判断出命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx是真命题，命题q：?x∈R，x2＞0是假命题，再判断复合命题的真假．【解答】解：当x=10时，10﹣2=8＞lg10=1，故命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx是真命题；当x=0时，x2=0，故命题q：?x∈R，x2＞0是假命题，∴题pVq是真命题，命题p∧q是假命题，命题pV（￢q）是真命题，命题p∧（￢q）是真命题，故选D．4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是（

）A．[0.4,1)

B．(0,0.4]

C．(0,0.6]

D．[0.6,1)参考答案：B5.（本小题满分13分）

已知椭圆的右焦点，离心率为．过点的直线交椭圆于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率的取值范围参考答案：解：（1）由已知得：，所以，从而椭圆的方程为……………4分（2）设直线的方程为，由，得………6分设，则，且，所以，同理………………8分故．由，得………………11分所以直线的斜率的取值范围是……………13分6.已知角α的终边上一点的坐标为(，－)，则角α的正弦值为(

)A．－

B.

C．－

D.参考答案：A略7.曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．【解答】解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．8.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是（

）A．[－，6]

B．[－，－1]

C．[－1，6]

D．[－6，]参考答案：A略10.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2

B.3

C.

D.参考答案：解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是____参考答案：略12.已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=

．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，即d=，解得r=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在抛物线上，且，则△PKF的面积为________.

参考答案：814.命题“正方形是平行四边形”逆否命题为 ．参考答案：如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形【考点】四种命题．【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据原命题“正方形是平行四边形”及四种命题的定义，我们可以写出其逆否命题．【解答】解：逆否命题为：“如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形”，故答案为：如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形【点评】本题考查的知识点是四种命题的之间的关系，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形OAB的外接圆方程是

．参考答案：16.观察下列等式：照此规律，第n个等式可为

参考答案：17.已知复数且，的取值范围是______参考答案：【分析】由复数，得到复数表示的轨迹，设，即，则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，再利用直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由复数，可得，即复数表示的轨迹为，表示以为圆心，以为半径的圆，设，即，则表示的几何意义是点与原点的连线的斜率，如图所示，当最大时，直线与圆相切（过一三象限的直线），则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的几何意义得到复数表示的轨迹，合理利用直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．【解答】解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q?b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．19.已知函数(Ⅰ)求的极值；(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围；(Ⅲ)已知(14分)参考答案：略20.已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，试求：

（I）直线AB的方程；

（II）椭圆C2的方程.参考答案：（I）由e=，得=，a2=2c2,b2=c2。

...........2分

设椭圆方程为+=1。又设A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2。

又+=1，+=1，两式相减，得+=0。

∴

...........5分

∴直线AB的方程为y－1=－(x－2)，即y=－x+3。

...........6分（II）将y=－x+3代入+=1，得3x2－12x+18－2b2=0又直线AB与椭圆C2相交，∴Δ=24b2－72>0。

...........8分由|AB|=|x1－x2|==,得·=。解得

b2=8，

...........11分故所求椭圆方程为+=1

...........12分略21.（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．参考答案：22.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足，则称b为这三个数的中位数）参考答案：(1)(2)【分析】（1）首先列举出事件“抽取的卡片上的数字满足”出现的所有可能的结果有三种，然后利用古典概型的概率公式求解；（2）首先计算出事件“抽取的卡片上的数字完全相同”的概率，再利用对立事件的概率公式，求出事件“抽取的卡片上的数字