山东省青岛市城阳第六中学高三数学理测试题含解析

山东省青岛市城阳第六中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是不同的直线，是不重合的平面，下列结论正确的是（

）A．若

B．若C．若

D．若参考答案：D2.（4分）已知sina=，则cos（π﹣2a）=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：B3.定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。4.下列图象中，不可能成为函数图象的是（）参考答案：AA选项中，当x=0时，有两个y与之对应，与定义矛盾5.已知函数的最小正周期为，则函数的图象（

）A.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向左平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得参考答案：D由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.6.椭圆的焦距为

A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：C略7.（5分）（2015?揭阳校级三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．48 B． C．16 D．32参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由题意作出其直观图，从而由三视图中的数据代入求体积．解答：解：该几何体为四棱柱，如图，其底面是直角梯形，其面积S=×（3+5）×2=8，其高为4；故其体积V=8×4=32；故选：D．点评：本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．8.极坐标方程表示的圆的半径是（

）． A． B． C． D．参考答案：D极坐标方程，两边同乘，得，化为直角坐标方程：，整理得，所表示圆的半径，故选．9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．分析；由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．解：由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．10.椭圆的左右焦点分别为，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是，则椭圆M的离心率的取值范围是

（

）A

B

C

D

参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在一个棱长为的正四面体内，有一点，它到三个面的距离分别是，则它到第四个面的距离为

；参考答案：4略12.的展开式中，的系数为

（用数字作答）．参考答案：10.

13.对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是______；中位数是______.参考答案：C样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为中位数是频率为时，对应的样本数据，由于，故中位数为14.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是

。

参考答案：15.已知点G是的重心，若的最小值是

。参考答案：16.设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面积的最小值为______参考答案：略17.函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数m的取值范围是

．参考答案：作出的图象，与交点个数就是方程的个数，由图知，点当时，，，当直线与相切时，设切点，则，得，当直线由绕点转至切线过程中，与由四个交点，所以的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）已知椭圆：的离心率，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，试判断直线的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.参考答案：解：（1）由题意，,椭圆C经过点A，，又，解得，所以椭圆方程为.……………4分

（2）设直线的方程为：，代入得.………………5分且；…………8分设，由题意，，；…………9分分子为：又，，.………………………12分即，直线的斜率之和是为定值.……………13分19.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∠FGE=∠BAF，证明∠EFG=∠FGE，即可证明：△EFG为等腰三角形；（2）求出EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，即可求线段MG的长．【解答】（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∴∠FGE=∠BAF∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE∴EF=EG，∴△EFG为等腰三角形；（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，∴ED=OM=4EF2=ED?EC=48，∴EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG=8﹣4．【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.

已知椭圆过点，离心率，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。参考答案：(Ⅰ)由已知得，，方程为···········3分(Ⅱ)设，则（1）当直线的斜率存在时，设方程为

联立得：有

①

由以为直径的圆经过坐标原点O可得：·整理得：

②将①式代入②式得：,

···········6分

又点到直线的距离··········8分所以

··········10分(2)当直线的斜率不存在时，设方程为（）

联立椭圆方程得：代入得到即，综上：的面积是定值，又的面积

，所以二者相等.

·········

12分略21.已知，．（1）求f(x)的最大值、最小值；（2）CD为△ABC的内角平分线，已知，，，求．参考答案：(1)见解析

(2)分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小．详解：(1)在上单增，上单减，；（2）中，中，，∵，，，，中，，中，，，∴．点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．22.（2017?长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴P