天津武清区杨村第六中学高三数学理模拟试卷含解析

天津武清区杨村第六中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量,向量,则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.3.若双曲线的左、右顶点分别为，点是第一象限内双曲线上的点．若直线的倾斜角分别为，且，那么的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D考点：导数的概念和几何意义因为，；

数，，

所以，得，只有D符合

故答案为：D5.函数的图像是

参考答案：B本题考查了幂函数的图象，考查了学生的识图能力。

是奇函数，并且恒过（1，1）点，当时，在的上方；当时，图象在的下方，故选B6.一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．7.含有数字0，1，2，且有两个相同数字1或2的四位数的个数为（A）12

（B）18

（C）24

（D）36参考答案：B略8.下列结论中正确的是（

）①命题：的否定是；②若直线上有无数个点不在平面内，则；③若随机变量服从正态分布，且，则；④等差数列的前n项和为，若，则A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D9.

设,则使得为奇函数,且在上单调递减的的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A

10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19＞0，S20＜0，则使Sn取得最大值的n为(

)A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】直接由S19＞0，S20＜0，得到a10＞0，a11＜0，由此求得使Sn取得最大值的n值．【解答】解：由S19=，得a1+a19＞0，则a10＞0，由S20=，得a1+a20＜0，则a10+a11＜0，∴a10＞0，a11＜0，∴使Sn取得最大值的n为10．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

。参考答案：3/212.如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为

．参考答案：2【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先联立两个解析式解方程，得到积分区间，然后利用积分的方法表示出阴影部分面积让其等于，列出关于k的方程，求出解即可得到k的值．【解答】解：直线方程与抛物线方程联立解得x=0，x=2k，得到积分区间为，由题意得：∫02k（2kx﹣x2）dx=（kx2﹣x3）|02k=4k3﹣k3=，即k3=8，解得k=2，故答案为：213.已知为等比数列，是它的前项和。若，且与的等差中项为，则=

.参考答案：31

14.公差不为零的等差数列的前n项和为是的等比中项，，则=______

参考答案：60略15.点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0总成立，则m的取值范围是．参考答案：m≥3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若2x﹣y+m≥0总成立?m≥y﹣2x总成立即可，设z=y﹣2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y﹣2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线经过点C（0，3）时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=3﹣0=3，∴m≥3，故答案为：m≥316.已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是．参考答案：考点： 导数的几何意义．

专题： 计算题；数形结合．分析： 由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答： 解：根据题意得f′（x）=﹣，∵，且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈，故答案为：．点评： 本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．函数17.f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．参考答案：(1，＋∞)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（2）求证：；（3）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用an=sn﹣sn﹣1，可得，由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，可得bn+1﹣bn=2，（2）利用裂项求和，（3）利用错位相减求和．【解答】解：（1）∵an是Sn与2的等差中项，∴Sn=2an﹣2，∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2，∴an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，又a1=2，∴an≠0，（n≥2，n∈N*），即数列{an}是等比数列，，∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，∴bn﹣bn+1+2=0，bn+1﹣bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n﹣1．（2）∵，∴==．（3）∵，∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，∴，因此，，即，∴．【点评】本题考查了数列的递推式的应用，及常见的非等差、等比数列求和，属于基础题．19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣x+m的距离为半径1，?m=，?A（0，），B（，0）代入椭圆方程，求出a、b即可（2）由原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r?m2=（1+k2）r2．联立直线方程和与椭圆的方程，利用求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣x+m的距离为半径1，∴，?m=，切线l：y=﹣x+，?A（0，），B（，0）∴a=，b=，∴椭圆E的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．．．∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴；?（k2+1）x1x2+km（x1+x2）=m2（a2+b2）=（k2+1）a2b2…①又∵圆O的一条切线l：y=kx+m，∴原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r?m2=（1+k2）r2…②由①②得r2（a2+b2）=a2b2．∴以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关为：r2（a2+b2）=a2b2．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．20.（本小题满分12分）四棱锥底面是平行四边形，面面,,,分别为的中点.（1）求证：平面（2）求证：（3）求三棱锥的体积.参考答案：（1）取中点,连接又分别为的中点.是的中位线，即又四边形底面是平行四边形，分别为的中点,即四边形是平行四边形所以，又平面所以，平面（2）

①

所以，

②由①②可知，（3）取中点,连接,又平面又因为，分别为的中点所以，到平面的距离等于的一半，即所以21.（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数图象上的两点的横坐标依次为,为坐标原点,求的外接圆的面积.参考答案：（Ⅰ）8,（）;（Ⅱ）（Ⅰ），……………2分所以，函数的最小正周期为．

………3分由（）得（），

函数的单调递增区间是（）………………5分（Ⅱ），

，……………………7分从而

，………………10分设的外接圆的半径为，由的外接圆的面积………………12分

22.某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？参考答案：【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．【解答】解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，则目标函数为z=6x+8y．作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y