传热学29321第二章稳态热传导

第二章稳态热传导§2.1导热基本定律一、傅立叶定律定义：在导热现象中，单位时间内通过给定面积的热量，正比例于垂直于该截面上的温度变化率和截面积。数学表达式：热流量形式：x¶xF =

-lA

¶t

[W

]热流密度形式：¶x=

-l

¶t

[W

/

m2

]Aq=

F

xx向量表达式：q

=

-lgradt¶z¶t

¶t

¶x

¶y¶t

i

-

l

j

-

l

k=

-l

=

qxi

+

qy

j

+

qz

k二、导热系数由傅立叶定律：[W

m K

]gradtql

=

-介质铜钢水空气导热系数(W/m.K）400400.60.026导热系数是物性参数；导热系数由实验确定；常用材料的导热系数值见教材附录2、3。关于导热系数应了解：1.

lmetal

>

lliquid

>

lgas2.常温下下列常用介质的导热系数图2-1常用材料导热系数工程中常把λ＜0.2W/mK的材料称为绝热或保温材料。保温材料一般呈蜂窝状多孔结构，以充分利用空气导热系数低的特点。3.导热系数一般与温度有关。三、温度场及其有关术语温度场：每一时刻物体中各点温度的集合。等温线及热流线：等温线是指在同一时刻下物体中温度相同的各点所构成的线或面。用图解法来表示温度场时常采用等温线。热流线是表示热量传递方向的曲线，热流线上任一点处热流密度的流向都与热流线相切，换句话说，热流线与等温线处处垂直相交。如图2-2所示。图2-2热流线与等温线关系§2.2导热问题的数学描写求解导热问题的实质是要求解导热物体的温度场，而要求解导热物体的温度场就要求解满足一定定解条件的温度场微分方程式，即导热微分方程。所以导热问题的数学描写就是指导热微分方程及其定解条件，这些方程又叫控制方程。一、建立导热微分方程的依据及方法依据：1）热力学第一定律；2）傅立叶定律。方法：对从物体中分割出来的微元平行六面体进行热量平衡的方法。二、导热微分方程的建立1）直角坐标中微分方程的推导图2-3 微元平行六面体的导热分析在各向同性的导热物体中取出一微元体如图2-3所示，具有均匀的内热源Φ（W/m3）。根据热力学第一定律对微元体做能量平衡，则：单位时间内微元体内热能的增量（1）=同一时间间隔导入该元体的热量（2）—同一时间间隔导出该元体的热量（3）+该元体内热源的生成热（4）(1)=

rc

¶t

dxdydz¶t(2)=

F

x

+

F

y

+

F

z在x方向：x¶xF =

-l

¶t

dydz(3)=

F

x+dx

+

F

y

+dy

+

F

z

+dz在x方向：x

x

¶x

¶x¶x

¶xx+dxF =

F +

¶

(F

)dx

=

-l

¶t

dydz

+

¶

-

l

¶t

dxdydz(4)=

F

dxdydz将以上各式代入热平衡方程式并进行适当化简，得直角坐标系下的三维非稳态具有源项的导热微分方程式：

¶t

¶

¶t

¶

¶t

¶

¶t

rc

=

l

+

l

+

l

+

F¶t

¶x

¶x

¶y

¶y

¶z

¶z当导热系数为常数时方程成为：rcF

+++=¶t

rc¶t

l

¶2t2¶x

¶y

2

¶z¶2t

¶2t

22）导热微分方程的通用形式将直角坐标系下的微分方程用算子来表示，则分别成为：变物性：¶trc

¶t

=

div(lgradt

)+

F常物性：rc2t

+

F¶t

=

a¶t非稳态项（周期、非周期）导热项（一维/多维；直角/圆柱/球）源项（常数/非常数）z¶A+x

+¶Ay¶x

¶y

¶z¶AdivA

=¶

¶

¶

=

i

+

j+

k¶x

¶y

¶z对圆柱坐标系，如图2-4，则拉普拉斯算子（LaplaceOperator）为：图2-4圆柱坐标系22r

+r

¶rt

=

1

¶

¶t

1

¶2

t

¶2

t¶r

r

¶f

2

+

¶z

2对球坐标系，如图2-5，则拉普拉斯算子（LaplaceOperator）为：21

¶2

t2

2222r

sin

q

¶fsinqr

sinq

¶q¶q+¶t

1

¶

+1

¶

¶t

t

=r

2¶r

r

¶r图2-5球坐标系在求解微分方程时应根据求解对象的形状选用相应的坐标系，以简化计算。3）两个重要的特例常物性稳态导热问题（Poisson方程）：l

2t

+F

=0常物性稳态无内热源导热问题（Laplace方程）：2t

=

0三、导热微分方程的定解条件导热微分方程式是描写导热过程共性的数学表达式。为了获得满足某一具体导热问题的温度分布还必须给出用以表征该特定问题的一些附加条件（即确定通解中各常数的公式），这些使微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件，在数学上称为定解条件。定解条件包含对于非稳态问题的初始条件及边界条件。1.初始条件—规定初始时刻导热物体中的温度分布。(t

r

,0

)=

f

(

)r2.边界条件—规定导热物体边界上的温度、热流或换热条件。常规的分析解所用的边界条件可以分为三类：（1）规定边界上的温度值，叫第一类边界条件t>0tw

=

f

(t)（2）规定了边界上的热流密度，叫第二类边界条件t>0=

f

(t

)

¶

n

wl

¶

t

（3）规定了物体边界与周围流体间的表面换热系数h及流体温度tf，叫第三类边界条件=

h(tw

-

t

f

)

t>0

¶n

w-

l

¶t

§2.3典型一维导热问题的分析解一、通过平壁的导热无限大平壁：平板的宽度和高度远大于其厚度，板中各点的温度可以认为仅是厚度的函数数学模型（单层平壁）：=

022

tdxdt

=

t1t

=

t2x

=

0x

=d计算结果：1t

=

t2

-

t1

x

+

tddxdF

=

-lA

dt

=

lA

t1

-

t2

[W

]0

<

x

<

d[W

](d

lA)t

-

tF

=

1

2A

d

lq

=

F

=

Dt

[W

m2

]B.C.热阻形式图2-6单层壁导热物理模型多层平壁：图2-7复合壁导热物理模型应用热阻的概念：[W

m2

]nq

=

t1

-

tn+1dii=1li数学模型（单层）：22=

0+¶z

2¶rr

+1

¶

¶t

1

¶

2

t

¶

2

tr

¶rr

¶jr1

<

r

<

r2B.C.r

=

r1r

=

r2t

=

t1t

=

t2计算结果：积分一次1drr

dt

=

C温度分布12

1ln(r

r

)ln(r r

)t2

-

t11t

=

t

+换热量2

1DtF

=ln(d d

)2pll图2-8单层圆筒壁导热物理模型二、通过圆筒壁的导热多层圆筒壁：图2-9复合圆筒壁导热物理模型应用热阻的概念：[W

]nt1

-

tn+1ln(di+1

di

)

2plili=1F

=三、变截面或变导热系数的一维问题以直角坐标一维问题为例，傅立叶定律的数学表达式为：dxF

=

-

A

l

(t

)dtF2tt1t

)dt=

-

l(xx12

dx

A则l(t

)dt(t2

-

t1

)t2

-

t12tt1=

-当导热系数为温度的函数时，只要把所求解温度范围内导热系数的积分平均值代入即可按一般公式进行计算。xx12

dxF

=

l

(t1

-

t2

)A分离变量，并对控制体积分图2-10变截面物体导热物理模型四、带第二、三类边界条件的一维导热问题数学模型：=

0dx

2d

2

tdtB.C.

-

l

=

q0

,

x

=

0dx¥dx-

l

dt

=

h(t

-

t

),

x

=

d解之得：t

=

t¥+

q0

+

l

h

d

-

x

1

图2-11电熨斗底面导热物理模型例：一电熨斗，电功率为1200W，底面竖直置

于环境温度为25℃的房间中。金属底板厚为

5mm，导热系数λ＝15W/(mK)，面积A=300cm2，考虑辐射作用在内的表面传热系数h=80W/m2K，试确定稳态条件下底板两表面的温度。00.03m

2q

=

1200W

=

40000W m

2t

x=0

0.005 1

+

=

53815

80=

25

+

40000

·

=

t¥

+

q0

+

l

h

d

1

1=

25

+

40000

·

=

5258001

t

x=dh=

t¥

+

q

0

+§2.4通过肋片的导热一、肋片及其作用肋片是依附在基础表面上的扩展换热面。肋片的作用：1.增强换热;改善换热表面的温度工况。二、等截面直肋的分析解图2-12环肋示意图简化假设问题是一维的;过程是稳定的;常物性;忽略表面与环境之间的辐射换热;肋顶是绝热的.图2-13通过肋片的导热物理模型2.肋片导热微分方程及边界条件由稳态导热微分方程：+F

=

02d

2tdxl将肋片侧面的对流换热考虑为肋片的一种负的内热源F

=

-

hPdx(t

-

t¥

)=

-

hP(t

-

t¥

)Ac

dx

Ac故直角坐标系下一维肋片的导热微分方程为：2dx

2d

2t¥-

m

(t

-

t

)=

0其中：m2lAc=

hP¥为将该非齐次方程齐次化，引入过余温度变量：q

=

(t

-

t

)则肋片导热微分方程及边界条件为：d

2q2-

m

q

=

0dx

20

<

x

<

Hq0

=

t0

-

t¥x

=

0dq

=

0dxx

=

H该导热微分方程的通解为：mx-mx+

c

e1

2q

=

c

e将边界条件代入整理后得肋片温度分布解析式：(

)em(x-H

)

+

e-m(x-H

)emH

-

e-mHch[m(x

-

H

)]

ch(mH

)=

q0q

x

=

q0通过肋片的总导热量可以用两种方法来求：即肋片表面对流散热量或通过肋基的导热量。采用后一种方法mdxc

0

0=

lA

q

mth(mH

)=

hP

q

th(mH

)c

F

=

-lA

dq

x=0图2-14肋片温度分布曲线附：双曲函数特性chx

=shx

=2ex

+

e-xex

-

e-

xshxthx

=

chx(shx

)¢=

chx(chx

)¢=

shxch(0)=

12三、分析解的应用—温度计套管测温误差的分析1、物理模型如何与简化模型挂钩将温度计套筒按等截面直肋问题进行处理2.按照简化模型获得的分析解图2-15温度计套筒测温误差分析模型q0ch(mH

)Hq

=即:ch(mH

)fHt0

-

tt

-

t

=

f其中:ldhm

=如何降低测温误差减小t0-tf,管道绝热;增大ch(mH)。可增加套管长度H,减小壁厚δ,采用低导热系数λ的材料,及增加流体表面换热系数

h等四、肋片的效率肋效率的定义肋效率=肋片的实际散热量/整个肋片处于肋基温度下的散热量等截面直肋肋效率的计算mHf0hPHq=

lAcq0th(mH

)=

th(mH

)h3.有关其它截面形状肋片效率曲线可查阅传热手册五、简化模型分析解的改进图2-16等截面直肋肋效率曲线端面绝热的边界条件;表面换热系数为变数的影响§2.5具有内热源的一维导热问题一、具有内热源的平板导热已知如图，求温度分布曲线解：简化一维稳态导热微分方程图2－17具有均匀内热源的平壁Fdx2

+

l

=

0d

2t0

<

x

<

dB.C.dxdt

=

0,

x

=

0dxf-

l

dt

=

h(t

-

t

),

x

=

d方程齐次化，引入过余温度θ＝t-tf，则：Fd

2qdx

2

+

l

=

0

0

<

x

<

dB.C.dxdq

=

0,

x

=

0dx-

l

dq

=

hq,

x

=

d求解齐次方程得：hF

d+Fq

=

(d

-

x

)2

22l讨论：1）有内热源时温度分布呈二次曲线；非对称加热时温度分布曲线的极值点会偏移；热阻分析方法不能随便使用。二、具有内热源的圆柱体导热图

2-18 具有内热源的圆柱体导热数学模型：1

d

r

dt

+

F

=

0r

dr

dr

l

B.C.drdt

=

0,

r

=

0t

=

t1

,

r

=

r1求解：方程变形

Fdr

r

dr

+

r

l

=

0d

dt

积分一次：2dtr

+

r

=

C1dr

2lFdr

dt

=

0,

r

=

0\

C1

=

0三、计算导热量的形状因子法对于较复杂几何形状物体的导热，我们引入形状因子S(m)，它的值取决于等温面面积沿热流途径的改变方式。任意两等温面的导热量：F=lSDt[W

]24l再积分一次：t

+

F

r

2=

C1r

2124

l\

C

=

t

+

t

=

t1

,

r

=

r11

F221(r

-

r

)1则：t

-

t

=4lF则柱体中的最高温度出现在圆心处：

tmax

=21r

+

t14lF图2-19偏心圆形状因子Baron

Jean

Baptiste

JosephFourier

(1768-1830)This

French

Mathematician

and

Physicist,

famous

for

his

pioneerwork

on

the

representation

of

functions

by

trigonometric

series,was

born

at

Auxere,

France

on

March

21,

1768.

He

was

the

son

ofa

tailor

who

became

a

teacher

of

mathematics

at

age

sixteen

at

the

military

school

in

Auxere.

He

laterjoined

the

faculty

at

theEcole

Normale

at

Paris

in

the

year

of

its

founding

(1795)

when

hewas

twenty-seven.

His

teaching

success

soon

led

to

the

offerof

theChair

of

Analysis

at

the

Ecole

Polytechnique

and

in

1807,

he

wasmade

a

member

of

the

Academy

of

Sciences.Fourier's

masterpiece

was

his

mathematical

theory

of

heat

conduction

stated

in

TheorieAnalytique

de

la

Chaleur(1822).

As

one

of

t