北京四中2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷 后有答案

北京四中2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷后有答案

北京四中2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，共计150分。考试时间：120分钟。卷(I)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A.a^2<b^2B.1/a<1/bC.a^2>b^2D.a^3>b^32.等差数列{an}中，若a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（）A.7B.15C.20D.253.不等式（1/x-1）>1的解集为（）A.{x>1}B.{x<1}C.{x>2}D.{x<2}4.△ABC中，三边a，b，c的对角为A，B，C，若B=45°，b=23，c=32，则C=（）A.60°或120°B.30°或150°C.60°D.30°5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N*），则a5=（）A.32B.31C.16D.156.等差数列{an}中，an=6-2n，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6=（）A.42B.-42C.±42D.无法确定7.△ABC中，若∠ABC=π/2，AB=2，BC=3，则sin∠BAC=（）A.4/5B.3/10C.5/10D.1/108.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×2=13，那么将二进制数（11...1）2转换成十进制数是（）{共9位}A.512B.511C.256D.2559.不等式①x2+3>3x；②a2+b2≥2(a-b-1)；③ba+≥2，其中恒成立的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③10.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A.0.5小时二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.不等式x2+x-2<0的解集为_________。解：(-2,1)12.递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a2/2，a5=3，则a6=_________。解：51.已知数列{an}的前n项和Sn=n^2-9n，第k项满足5<ak<8，则k=（）答案：C解析：由题意得，an=Sn-Sn-1=n^2-9n-(n-1)^2+9(n-1)=2-7n，因此5<ak<8转化为5<2-7k<8，解得k=7。2.已知a>0，b>0，a+b=1，且α=a+3/11，β=b+4/11，则α+β的最小值为（）答案：B解析：由题意得，α+β=a+b+7/11=18/11，因此最小值为18/11÷2=9/11。3.△ABC中，三边a，b，c的对角为A，B，C，若C=120°，c=2a，则a和b的大小关系为（）答案：B解析：由正弦定理得，b/sinB=c/sinC=2a/sin120°=2a×2/√3，因此b=4a/√3，即a:b=1:4/√3>1。4.不等式xx<x的解集为___________。答案：x<0或x>1解析：将不等式化简得x(x-1)<0，解得x<0或x>1。5.△ABC中，三边a，b，c的对角为A，B，C，若a，b，c成等差数列，则角B的最大值为_________。答案：60°解析：设公差为d，则b=a+d，c=a+2d，由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/4，因此角B的最大值为60°。6.数列{an}的通项公式为an=n*cos(π/2+nπ)，其中n为正整数。7.(I)在△ABC中，由勾股定理得AC=5。根据题意，AD=4/5*AC=4，DC=1/5*AC=1，所以BD=BC-CD=2。(II)在△CBD中，由正弦定理得sin∠CBD=BD/BC=2/3。8.(I)设等比数列{bn}的通项公式为b1*q^(n-1)，则由题意得b2+b1*q=12，解得q=6/5。设等差数列{an}的通项公式为a1+(n-1)*d，则由等差数列前n项和公式得Sn=n/2*(2a1+(n-1)*d)，代入已知条件得S2=2a1+3d=12-b2，代入b2的通项公式得2a1+3d=12-(3/5)a1，解得a1=15/7，d=6/7，所以an=15/7+(n-1)*6/7，bn=(6/5)^(n-1)。(II)根据题意，S1+S2+...+Sn=(-1)^(n-1)*(n/2)*(3n-1)，代入已知条件得111/(S1*S2*...*Sn)=111/(n*(n+1)/2*(15/7+6n/7)*(6/5)^(n-1))，化简得111/(S1*S2*...*Sn)=5*(3/2-2/(5^n))，所以S1*S2*...*Sn=111/(5*(3/2-2/(5^n)))，由于bn>0，所以Tn=S1*S2*...*Sn*b1*b2*...*bn>0，即111/(5*(3/2-2/(5^n)))*(6/5)^(n*(n-1)/2)>0，解得n<=5或n>=6，所以x的取值范围为(-∞,0)和(3,∞)。解：根据题意，我们对文章进行格式、内容上的修改：解题过程：（II）解：由已知，得：$$\begin{aligned}a_4&=a_{4+m}\\a_{4+m}&=a_{4+n}\end{aligned}$$因此$a_{4+n}=a_4$，即$2m+4=4(2n+4)$，化简得$n=\frac{1}{2}(m+2)^2-2$。又因为$f(x)=\frac{1}{(x+2)^2-2}$，所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。又知$f(1)=\frac{5}{3}$，$f(2)=\frac{6}{7}$，因此$m=2$时，$n$有最小值$6$。（I）由余弦定理，得：$$\begin{aligned}\cosC&=\frac{3}{5}\\\sinC&=\frac{4}{5}\\BD^2&=BC^2+CD^2-2BC\cdotCD\cdot\cosC=3^2+1^2-2\cdot3\cdot1\cdot\frac{3}{5}=\frac{10}{5}\\BD&=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\\sin\angleCBD&=\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{4\sqrt{10}}{25}\end{aligned}$$（II）由等差数列和等比数列的通项公式，得：$$\begin{aligned}a_n&=3n\\b_n&=3^n\end{aligned}$$又因为$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdotn=\frac{3+n\cdot3}{2}\cdotn=\frac{3n^2+3n}{2}$，$b_2+S_2=12$，因此$q=3$，$d=3$。所以$a_n=3n$，$b_n=3^{n-1}$。因此：$$\begin{aligned}S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{3(1-3^n)}{1-3}=-\frac{3(3^n-1)}{2}\end{aligned}$$（III）由题意，得$c_n=x(-1)^{n-1}$，因此$c_n$是首项为$x$，公比为$-1$的等比数列。又因为$T_n=\frac{c_1(1-(-1)^n)}{1-(-1)}=x(1-(-1)^n)$，所以$1\leqT_n=\frac{x(1-(-1)^n)}{3}\leq3$。因此，$1\leqx(1-(-1)^n)\leq9$，即$\frac{1}{3}\leq\frac{x}{3n}\leq\frac{3}{1-(-1)^n}$。当$n$为偶数时，有：$$\begin{aligned}\frac{1}{3}\leq\frac{x}{3n}\leq\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}\leq\frac{x}{n}\leq2\end{aligned}$$因此，$x$的取值范围为$\left[\frac{2n}{3},2n\right]$。注意：文章中修改过程中，有些地方需要加上符号，例如分数线、正负号等，需要注意细节。根据题意，当$x\leq4$时，有$1<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$，即$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}<1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$。因为$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$和$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$都是常数，所以当$1<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}$时，$x$的取值范围为$1<x\leq3$；当$\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$时，$x$的取值范围为$3\leqx<4$。因此，当$n$为偶数时，当$1<x\leq3$时，对任意$n\inN^*$，$T_n\in[1,3]$恒成立。当$n$为奇数时，有$1\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}-x}}<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$，即$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}-x}}<1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$。因为$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$和$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$都是常数，所以当$\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}