1.2.1排列(优质公开课教案)

1.2.1排列(优质公开课教案)

本节课将学习排列，排列数的意义和公式，以及解决实际问题的方法。分类计数原理和分步计数原理是解决排列问题的基础，需要认真理解和掌握。排列与组合的区别在于是否与顺序有关，需要注意顺序对问题求解的影响。在排列、组合教学的起始阶段，需要先做出表率，要求学生严格按原理去分析问题，分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础。分类计数原理和分步计数原理贯穿排列、组合学习过程的始终，是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题。本节课的教学重点是排列数公式的理解与运用，排列应用题常用的方法有直接法，间接法。教学难点是排列数公式的推导。教师需要引导学生理解排列数公式的意义，掌握公式的推导方法，能够正确地解决实际问题。在教学过程中，首先进行复习引入，介绍分类加法计数原理。然后讲解分类计数原理和分步计数原理的概念和应用，引导学生掌握解决排列问题的基础方法。接着，讲解排列数的意义和公式，以及解决实际问题的方法。最后，进行练习和巩固，帮助学生掌握排列的应用技巧。分步乘法计数原理是指完成一件事情需要分成n个步骤，每一步有m种不同的方法，那么完成这件事情就有m1×m2×...×mn种不同的方法。接下来，我们通过几个例子来理解这个原理。问题1：从甲、乙、丙三名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？我们把被取的对象叫做元素，于是问题可以叙述为：从3个不同的元素a、b、c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab、ac、ba、bc、ca、cb，共有3×2=6种。问题2：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？第1步，确定百位上的数字，在1、2、3、4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法。根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2=24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数。排列的概念是指从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，共有n×(n-1)×...×(n-m+1)种不同的排列方法。从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。需要注意的是，排列的定义包括两个方面，即取出元素和按一定的顺序排列。同时，两个排列相同的条件是元素完全相同且排列顺序也相同。排列数的定义是从n个不同元素中任取m个元素的所有排列的个数，用符号An表示。需要注意的是，An只表示排列数，而不表示具体的排列m。排列数公式可以通过依次填空位来考虑。对于An，可以得到公式An=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。其中，m取1时，得到的是全排列数，即n的阶乘n!。另外，规定0!=1。举个例子，比如有14个队参加足球比赛，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，那么比赛的总场次是A14=14×13=182。再举个例子，如果要从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法的种数是2A53=5×4×3=60。如果是从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法呢？这个问题需要重新考虑，因为这是组合问题，不是排列问题。由于有5种不同的书，每个同学可以选择其中的1本书，所以送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是125种。例8中问题的区别在于：问题1是从5本不同的书中选出3本分送3名同学，每个人得到的书不同，属于求排列数问题；而问题2中，由于不同的人可以得到相同的书，不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算。例9中，从1到9这10个数字中，不能排在百位上，因此是一个特殊的元素。我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题。解法1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列。第1步，排列百位上的数字，可以从1到9这9个数字中任选1个，有9种选法；第2步，排列十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有9种选法。根据分步乘法计数原理，所求的三位数有9×9×8=648个。解法2：从1到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10^3，其中0在百位上的排列数是A9^2，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即A10^3-A9^2=9×9×8=648。排列的特征