高中数学-33-第2课时-函数的极值与导数课件-新人教A版选修11

成才之路·数学(shùxué)路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修(xuǎnxiū)1-11-2第一页，共43页。圆锥曲线(yuánzhuīqǔxiàn)与方程第三章第二页，共43页。3.3导数在研究函数(hánshù)中的应用第2课时函数(hánshù)的极值与导数第三章第三页，共43页。典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1第四页，共43页。自主预习学案第五页，共43页。结合函数(hánshù)的图象，了解函数(hánshù)在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数(hánshù)的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数(hánshù)性质中的一般性和有效性.第六页，共43页。重点：利用导数的知识求函数的极值(jízhí)．难点：函数的极值(jízhí)与导数的关系.第七页，共43页。新知(xīnzhī)导学函数(hánshù)的极值与导数的关系第八页，共43页。1．如图是函数(hánshù)y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递______，f′(x)_____0，右侧f(x)单调递_____，f′(x)_____0，在x＝a邻近的函数(hánshù)值都比f(a)小，且f′(a)______0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有__________．我们把点a叫做函数(hánshù)f(x)的极_______值点，f(a)是函数(hánshù)的一个极______值；把点b叫做函数(hánshù)f(x)的极_____值点，f(b)是函数(hánshù)的一个极______值．增>减<＝(c，f(c))(d，f(d))大大小小第九页，共43页。2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于(duìyú)包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________；如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得_________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为_____，极大值点与极小值点统称为_______．f(x)<f(x0)极大值极大值点f(x)>f(x0)极小值极小值点极值(jízhí)极值(jízhí)点第十页，共43页。3．理解(lǐjiě)极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧________的点而言的．(2)极值点是函数__________的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_______极值．附近(fùjìn)定义域内没有(méiyǒu)第十一页，共43页。(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数(hánshù)在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极______值．(如图)大第十二页，共43页。牛刀小试1．函数y＝x3＋1的极大值是()A．1 B．0C．2 D．不存在[答案]D[解析]∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函数y＝x3＋1在R上是单调(dāndiào)增函数，∴函数y＝x3＋1无极值．第十三页，共43页。[答案(dáàn)]A第十四页，共43页。3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题(mìngtí)：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题(mìngtí)有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]B第十五页，共43页。[解析]f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调(dāndiào)递增，在区间(0,2)上单调(dāndiào)递减．当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故①②错，③④对．第十六页，共43页。4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(děngyú)()A．2 B．3C．6 D．9[答案]D第十七页，共43页。典例探究学案第十八页，共43页。[分析]首先对函数求导，然后(ránhòu)求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．利用(lìyòng)导数求函数的极值第十九页，共43页。第二十页，共43页。[方法规律总结(zǒngjié)]1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．第二十一页，共43页。2．利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果(rúguǒ)f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．第二十二页，共43页。第二十三页，共43页。设函数f(x)＝x3－ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.(1)求函数f(x)的图象(túxiànɡ)在x＝0处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9，∵f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.∴f(x)＝x3＋3x2－9x，∴f′(x)＝3x2＋6x－9，∴f(0)＝0，f′(0)＝－9，∴函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x.第二十四页，共43页。第二十五页，共43页。[分析]f(x)在x＝1处的极小值为－1包含以下(yǐxià)的含义：一是f(1)＝－1，二是f′(1)＝0.已知函数极值(jízhí)求参数第二十六页，共43页。第二十七页，共43页。第二十八页，共43页。第二十九页，共43页。已知函数(hánshù)f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a、b的值；(2)求函数(hánshù)f(x)的极小值．第三十页，共43页。(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1.当f′(x)>0时，0<x<1；当f′(x)<0时，x<0或x>1.∴函数(hánshù)f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.第三十一页，共43页。图象(túxiànɡ)信息问题第三十二页，共43页。[分析]给出了y＝f′(x)的图象(túxiànɡ)，应观察图象(túxiànɡ)找出使f′(x)>0与f′(x)<0的x的取值范围，并区分f′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．[答案]③第三十三页，共43页。[方法规律总结]有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后(ránhòu)结合题目特点分析求解．第三十四页，共43页。函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个(yīɡè)极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案]C第三十五页，共43页。[解析(jiěxī)]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点.第三十六页，共43页。分类讨论思想在含参数的函数极值(jízhí)中的应用[解题思路探究]第一步，审题．审结论(jiélùn)明确解题方向，求函数f(x)的单调区间与极值，需求f′(x)，然后按单调性和极值与导数的关系求解；第三十七页，共43页。审条件，发掘解题信息，f(x)是三次函数，f′(x)是二次函数，由二次方程的根探求极值(jízhí)点和单调区间；f(x)解析式中含参数，应分类讨论．第二步，建联系，找解题途径．先求f′(x)，解方程f′(x)＝0找分界点，再按a的符号讨论单调性求极值(jízhí)．第三步，规范解答．第三十八页，共43页。第三十九页，共43页。第四十页，共43页。第四十一页，共43页。第四十二页，共43页。[辨析]根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x＝－1时函数两侧的单调性，