线性代数模型

线性代数模型第1页，课件共129页，创作于2023年2月有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。线性代数模型西北大学数学系第2页，课件共129页，创作于2023年2月Durer魔方德国著名的艺术家AlbrechtDurer(1471--1521)于1514年曾铸造了一枚名为“MelencotiaI”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。西北大学数学系第3页，课件共129页，创作于2023年2月1Durer魔方16321351011896712415141特点每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。所出现的数是1至16的自然数。四角之和、中间对边之和均为34。最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？西北大学数学系第4页，课件共129页，创作于2023年2月06118910601509119960711891070160911997108010015014011050407020160901201303060定义如果4×4数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为Durer魔方。R=C=D=S西北大学数学系第5页，课件共129页，创作于2023年2月你想构造Durer魔方吗？如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？2Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=4西北大学数学系第6页，课件共129页，创作于2023年2月a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D加法和数乘封闭，且构成一线性空间。记M={所有的4×4数字方}，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，则任一个Durer方均可由这组基线性表示。西北大学数学系第7页，课件共129页，创作于2023年2月由0,1数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8个，记为Qi,i=1,2,…,8。Q1=1000001000010100Q2=1000000101000010Q3=Q4=00011000001001000001010010000010西北大学数学系第8页，课件共129页，创作于2023年2月Q5=0010100001000001Q6=0100001010000001Q7=0010010000011000Q8=0100000100101000西北大学数学系第9页，课件共129页，创作于2023年2月易知则线性相关。而由0000000000000000=线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。西北大学数学系第10页，课件共129页，创作于2023年2月结论：1Durer方有无穷多个。2Durer方可由线性组合得到。AlbrechtDurer的数字方的构成：=16321351011896712415141西北大学数学系第11页，课件共129页，创作于2023年2月3Durer方的应用推广（1）要求数字方的所有数字都相等。基为1维空间（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对角线数字和都相等。基为5维空间1010101001010101西北大学数学系第12页，课件共129页，创作于2023年2月0110100101101001100101101001011001011010101001011100001111000011西北大学数学系第13页，课件共129页，创作于2023年2月例1721116161122-3127621126712R=C=H=N=46H主对角线，N付对角线数字和。（3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。8维空间Q。基为D是Q的7维子空间。01-10000000000-110西北大学数学系第14页，课件共129页，创作于2023年2月例679812657510967779R=C=D=30（4）要求行和、列和数字相等。10维空间W。基为010-110-10-10010-1100000100-1-100100000100100000010010西北大学数学系第15页，课件共129页，创作于2023年2月（5）对数字没有任何要求的数字方16维空间M空间维数015781016思考能否构造出其他维数的数字方？西北大学数学系第16页，课件共129页，创作于2023年2月练习完成下面的Durer方61494887116798597R=C=D=S=30R=C=D=S=100西北大学数学系第17页，课件共129页，创作于2023年2月作业构造你自己认为有意义的Durer方。6798125586119467710西北大学数学系第18页，课件共129页，创作于2023年2月植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa和aa。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？西北大学数学系第19页，课件共129页，创作于2023年2月1建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对，基因对就确定了后代所表现的特征。常染色体遗传的规律：后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型。西北大学数学系第20页，课件共129页，创作于2023年2月如果考虑的遗传特征是由两个基因A、a控制的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa和aa。金鱼草花的颜色是由两个遗传因子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa型的开粉红花，而aa型的开白花。人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA，或Aa型的人眼睛颜色为棕色，而aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA，Aa表示同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。如西北大学数学系第21页，课件共129页，创作于2023年2月父体-母体的基因对AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aa后代基因对AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵西北大学数学系第22页，课件共129页，创作于2023年2月2假设分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。第n代植物的基因型分布为表示植物基因型初始分布。假设1西北大学数学系第23页，课件共129页，创作于2023年2月假设2植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由上表确定。父体-母体的基因对AA-AAAA-AaAA-aa后代基因对AA11/20Aa01/21aa0003建模西北大学数学系第24页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第25页，课件共129页，创作于2023年2月4求解模型关键计算特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1为对角型矩阵。特征值为1，1/2，0的特征向量分别为西北大学数学系第26页，课件共129页，创作于2023年2月则西北大学数学系第27页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第28页，课件共129页，创作于2023年2月当时，经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。5结论西北大学数学系第29页，课件共129页，创作于2023年2月练习题1若不选用AA型植物与每种植物结合的方案，而是采用将相同基因型植物相结合，则情形怎样？父体-母体的基因对AA-AAAa-Aaaa-aa后代基因对AA11/40Aa01/20aa01/41在极限状态下，后代仅具有基因型AA和aa。西北大学数学系第30页，课件共129页，创作于2023年2月遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病。常染色体的隐性疾病西北大学数学系第31页，课件共129页，创作于2023年2月常染色体遗传的正常基因记为A，不正常基因记为a，并以AA、Aa和aa分别表示正常人，隐性患者和显性患者的基因型。若在开始的一代人口中AA、Aa和aa基因型的人所占百分比为a0，b0，c0，讨论在下列两种情况下第n代的基因型分布。1控制结合：显性患者不能生育后代，正常人与隐性患者必须与正常人结合生育后代；2自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。西北大学数学系第32页，课件共129页，创作于2023年2月父体-母体的基因对AA-AAAa-AA后代基因对AA11/2Aa01/2西北大学数学系第33页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第34页，课件共129页，创作于2023年2月当时，即经过足够长的时间后，隐性患者消失。西北大学数学系第35页，课件共129页，创作于2023年2月练习题2若采用随机结合的方式，各基因型的分布及变化趋势如何？在美国，以镰状网性贫血症为例。如果黑人中有10%的人是隐性患者，在随机结合的情况下，计算隐性患者的概率从25%降到10%需要多少代？在控制结合下，经过这么多代，隐性患者的概率相应下降到多少？西北大学数学系第36页，课件共129页，创作于2023年2月思考在中国的婚姻政策中有一项控制近亲（指直系血缘关系在三代以内）结婚的限制。试用常染色体的隐性病模型分析这项政策的深远意义。西北大学数学系第37页，课件共129页，创作于2023年2月作业血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止。很有意思的是，虽然男人和女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力。若已知某时刻的男人和女人的比例为1:1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型。西北大学数学系第38页，课件共129页，创作于2023年2月森林管理问题森林管理问题西北大学数学系第39页，课件共129页，创作于2023年2月森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。西北大学数学系第40页，课件共129页，创作于2023年2月题目要求做什么？给出什么条件？

重要关系的描述，数据及其说明寻找条件与问题的联系。1.确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。关于审题如果已判断该题是某类问题，按此类问题的要求寻找线索建模。西北大学数学系如：优化模型第41页，课件共129页，创作于2023年2月森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。西北大学数学系第42页，课件共129页，创作于2023年2月1建模分析目标函数：被砍伐树木的经济价值。决策变量：被砍伐的树木的数量。约束条件：持续收获，总数不变。西北大学数学系第43页，课件共129页，创作于2023年2月2模型假设按高度将树木分为n类：第一类，高度为幼苗，其经济价值第k类，高度为每棵树木的经济价值第n类，高度为每棵树木的经济价值假设1记为第t年开始时森林中各类树木的数量。西北大学数学系第44页，课件共129页，创作于2023年2月每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。设分别是第1，2，…，n类树木在采伐时砍伐的棵数。假设2西北大学数学系设森林中树木的总数是s，即根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。假设3第45页，课件共129页，创作于2023年2月假设4每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。设是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。西北大学数学系第46页，课件共129页，创作于2023年2月3建模先看没有砍伐时树木生长规律西北大学数学系变形，矩阵形式第47页，课件共129页，创作于2023年2月定义高度状态向量和生长矩阵：则没有砍伐时树木生长方程为西北大学数学系第48页，课件共129页，创作于2023年2月再考虑有砍伐和补种时的情形根据问题的要求，要维持持续收获，即生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补种的幼苗数应等于生长期开始的量西北大学数学系第49页，课件共129页，创作于2023年2月各式相加后，得西北大学数学系第50页，课件共129页，创作于2023年2月再记则西北大学数学系第51页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第52页，课件共129页，创作于2023年2月所收获树木的价值问题西北大学数学系第53页，课件共129页，创作于2023年2月4模型求解利用线性规划的理论和方法，得如下结论：砍伐某一类树木而不砍伐其他类的树木时，可获得最大收益。利用这一结论，设被砍伐的树木为第k类，则根据所建模型，西北大学数学系第54页，课件共129页，创作于2023年2月根据所建模型，得西北大学数学系第55页，课件共129页，创作于2023年2月结果表明：森林从幼苗开始长到第k年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。从第k年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。因此，森林中没有高于或等于k类高度的树木。问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？西北大学数学系第56页，课件共129页，创作于2023年2月由西北大学数学系第57页，课件共129页，创作于2023年2月当森林中各参数给定时，分别计算f

k

的值，再比较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。西北大学数学系第58页，课件共129页，创作于2023年2月5算例已知森林具有6年的生长期，其参数如下。求出最优采伐策略。解得故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。西北大学数学系第59页，课件共129页，创作于2023年2月6进一步思考1持续养鱼问题2企业持续发展问题3经济（社会）持续发展问题西北大学数学系第60页，课件共129页，创作于2023年2月马氏链简介（MarkovChain）西北大学数学系第61页，课件共129页，创作于2023年2月马氏链（MarkovChain）是随机过程的的一个特例，专门研究无后效条件下时间和状态均为离散的随机转移问题，但在建模过程中采用线性代数的方法，因此，也在线性代数模型中来学习。马氏链简介西北大学数学系第62页，课件共129页，创作于2023年2月（一）商品的经营问题某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或销路坏这两种状况之一表示。已知如果本月销路好，下月仍保持这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变为销路好的概率为0.4。试分析假若开始时商店处于销路好的状况，那么经过若干月后能保持销路好的概率有多大？若开始时商店处于销路坏的状况呢？一正则链（RegularChain）西北大学数学系第63页，课件共129页，创作于2023年2月0123410.50.450.4450.4445？00.50.550.5550.5555？1分析西北大学数学系第64页，课件共129页，创作于2023年2月0123400.40.440.4440.4444？10.60.560.5560.5556？西北大学数学系第65页，课件共129页，创作于2023年2月表示销路好；表示销路坏；2符号说明商店的经营状况是随机的，每月转变一次。建模目标是经过一段时间（若干月）后，经营状况如何，即经营好或经营坏的概率分别为多少？用随即变量表示第n个月的经营状况称为这个经营系统的状态。用表示第月处于状态的概率，即称为状态概率。西北大学数学系第66页，课件共129页，创作于2023年2月表示已知这月处于状态，下月处于状态的概率，即称为状态转移概率。状态及转移情况见图。0.50.40.50.612西北大学数学系第67页，课件共129页，创作于2023年2月3建模令P概率转移矩阵西北大学数学系第68页，课件共129页，创作于2023年2月4求解P特征值为1，1/10西北大学数学系第69页，课件共129页，创作于2023年2月当西北大学数学系第70页，课件共129页，创作于2023年2月5结论不论初始状态如何，经过相当长的时间后经营状态趋于稳定的概率。注意到经营系统在每个时期所处的状态是随机的，但从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各个时期的状态无关。西北大学数学系第71页，课件共129页，创作于2023年2月这种性质称为无后效性，或马尔可夫（Markov）性，即已知现在，将来与历史无关。具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程，通常用马氏链（MarkovChain）模型描述。马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域有广泛应用，不仅可以解决随即转移过程，还可以处理一些确定性系统的状态转移问题。西北大学数学系第72页，课件共129页，创作于2023年2月，当它的所有分量是非负，一般地，一个行向量且行和为1，称此向量为概率向量。每行都为概率向量的矩阵，称为概率转移矩阵。可证明若A,B为概率转移矩阵，则AB也为概率转移矩阵。若P为概率转移矩阵，则Pn也为概率转移矩阵。西北大学数学系第73页，课件共129页，创作于2023年2月证明若A,B为概率转移矩阵，而AB=C的第i行，第j列元素为显然，西北大学数学系第74页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第75页，课件共129页，创作于2023年2月定义1一个有个状态的马氏链如果存在正整数使从任意状态经过次转移都以大于零的概率到达状态，则称为正则链。定理1若马氏链的转移矩阵为，则它是正则链的充要条件是，存在正整数使（指的每一元素大于零）。特点从任意状态出发经过有限次转移都能到达另外的任意状态。（用这个定理检验一个马氏链是否为正则链。）西北大学数学系第76页，课件共129页，创作于2023年2月定理2由存在，记作的每一行都是稳态概率如果记那么，有使得当时状态概率概率无关。正则链存在唯一的极限状态概率与初始状态由又称为稳态概率。西北大学数学系第77页，课件共129页，创作于2023年2月上例中西北大学数学系第78页，课件共129页，创作于2023年2月从状态出发经次转移，第一次到达状态的概率称为到的首达概率，记作，于是为由状态第一次到达状态的平均转移次数。特别地，是状态首次返回的平均转移次数。与稳态概率有密切关系，即定理3对于正则链西北大学数学系第79页，课件共129页，创作于2023年2月（二）信息传播问题一条消息在等人中传播，传播的方式是传给传给如此继续下去，每次传播都是由传给每次传播消息的失真率为即将消息传给时，传错的概率为这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息的真实程度如何？西北大学数学系第80页，课件共129页，创作于2023年2月第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为表示消息假；表示消息真；用表示第个人处于状态的概率，即状态概率为由题意，状态转移概率矩阵为西北大学数学系第81页，课件共129页，创作于2023年2月由为正则矩阵。求w=?令设西北大学数学系第82页，课件共129页，创作于2023年2月得西北大学数学系第83页，课件共129页，创作于2023年2月结论长时间传播消息的真实性趋于稳定，且消息的真假概率各半。例1中西北大学数学系第84页，课件共129页，创作于2023年2月练习迷宫问题（1）下面给出一个迷宫图。迷宫有两个分隔间，分别记为1，2。每个分隔间粉刷成不同的颜色，试验者把一只老鼠放在迷宫的某个分隔间内，不同的颜色对老鼠的吸引作用不同，从第i个分隔间转移到第j个分隔的概率为（见后）迷宫112西北大学数学系第85页，课件共129页，创作于2023年2月随后，试验者周期地观察老鼠的位置。因为观察的时间是间断的，试验者不可能确定任何时刻老鼠的位置，但希望知道，不论运动过程如何，在经过较长的一段时间后，运动是否趋于稳定？三个分隔间的情形如何？迷宫2123西北大学数学系第86页，课件共129页，创作于2023年2月思考右图给出一个迷宫图。迷宫3231在第一个分隔间放进实物，其他两个分隔间粉成不同的颜色，老鼠可由一个分隔间到达其他分隔间，但当到达第一分隔间时，被实物吸引，不再运动到其他分隔间，已知转移矩阵P，长时间后，老鼠运动状态如何？迷宫问题（2）西北大学数学系第87页，课件共129页，创作于2023年2月二吸收链(AbsorbingChain)迷宫问题（2）问题（1）经过n次观察后，老鼠处于各个分隔间的概率？（2）长时间运动后，老鼠的运动状态如何？（3）若再增加一个放食物的分隔间，情况又如何？西北大学数学系第88页，课件共129页，创作于2023年2月1）分析时间的离散性每个时段状态的随机性处于第i个状态的概率若转移概率矩阵为P西北大学数学系第89页，课件共129页，创作于2023年2月2）马氏链模型可以看出，老鼠从第2，3个分隔间可以以大于零的概率达到每个分隔间，但从第1个分隔间，不能以大于零的概率达到其他分隔间。猜测：最后老鼠停留在第1个分隔间。3）求解计算求西北大学数学系第90页，课件共129页，创作于2023年2月记西北大学数学系第91页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第92页，课件共129页，创作于2023年2月由于从第2，3个分隔间总是以大于零的概率达到第1个分隔间，又由记西北大学数学系第93页，课件共129页，创作于2023年2月本例中西北大学数学系第94页，课件共129页，创作于2023年2月4）结论不论初始老鼠处在那个分隔间，长时间运动后，老鼠处在第1个分隔间的概率为1，其他的概率为零。状态1为吸收态，2，3为非吸收态。西北大学数学系第95页，课件共129页，创作于2023年2月5）问题的进一步考虑增加一个放食物的分隔间。注：1，2分隔间放食物，3，4分隔间涂色。西北大学数学系第96页，课件共129页，创作于2023年2月记西北大学数学系第97页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第98页，课件共129页，创作于2023年2月初始极限初始极限西北大学数学系第99页，课件共129页，创作于2023年2月结论若初始老鼠处在1，2分隔间，长时间运动后，老鼠仍处在1，2分隔间；若初始老鼠处在第3，4分隔间，则经长时间运动后，在分隔间3，4的概率为零，而以正概率分别进入1，2分隔间。即无论初始状态如何，经过长时间后，都将被吸收态吸收。西北大学数学系第100页，课件共129页，创作于2023年2月定义2转移概率的状态称为吸收状态。如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。吸收链的转移矩阵的标准形式：个吸收状态，其中，阶子方阵的特征值满足一般地个非吸收态西北大学数学系第101页，课件共129页，创作于2023年2月表示以任何非吸收态出发，经过n步转移后，到达t个非吸收状态的转移概率。从状态出发经次转移，第一次到达状态的概率称为到的首达概率，记作，于是为由状态第一次到达状态的平均转移次数。定义西北大学数学系第102页，课件共129页，创作于2023年2月定理4对于吸收链的标准形式（上面矩阵），可逆，且记列向量，则的第分量是从第被某个吸收状态吸收的平均转移次数。（基矩阵）F中的每个元素，表示从任何非吸收状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次数；个非吸收状态出发，西北大学数学系第103页，课件共129页，创作于2023年2月设状态是非吸收状态，是吸收状态，那么首达概率实际是经次转移被吸收的概率，而则是从非吸收状态出发最终将被吸收状态吸收的概率。记，下面的定理给出了计算的方法。定理5设吸收链的转移矩阵表为标准形式，则西北大学数学系第104页，课件共129页，创作于2023年2月练习智力竞赛问题甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则为：竞赛开始时，甲、乙两队各记2分，在抢答问题时，如果加队赢得1分，那么甲队的总分将累加1分，同时乙队总分将减少1分。当甲（或乙）队总分达到4分时，竞赛结束，甲（或乙）获胜。（1）甲队获胜的概率是多少？（2）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数是多少？（３）甲队获得１，２，３分的平均次数是多少？西北大学数学系第105页，课件共129页，创作于2023年2月1）分析表示轮数每轮得分情况处于第i个状态的概率转移概率矩阵甲设甲得1分的概率为p0123401234西北大学数学系第106页，课件共129页，创作于2023年2月标准型0412304123西北大学数学系第107页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第108页，课件共129页，创作于2023年2月西北大学数学系第109页，课件共129页，创作于2023年2月（1）甲队获胜的概率（2）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数（３）甲队获得１，２，３分的平均次数分别为西北大学数学系第110页，课件共129页，创作于2023年2月作业1一个服务网络由k个工作站依次串联而成，当某种服务请求到达工作站时，能处理的概率为，转往下一站处理的概率为，拒绝处理的概率为，满足。构造马氏链模型，确定到达的请求平均经过多少工作站才能获得接受处理或拒绝处理的结果，被接受和拒绝的概率个多大？西北大学数学系第111页，课件共129页，创作于2023年2月2空气污染问题有k个城市，每一时刻t=0,1,2,…,的空气中污染物浓度，从t到t+1，空气中污染物扩散到去的比例是，有扩散到k各城市之外的那部分污染物永远不再回来。西北大学数学系第112页，课件共129页，创作于2023年2月健康与疾病问题人寿保险公司对受保人的健康状况非常关注，需通过大量的数据对状态转变的概率作出估计，才能制定出不同年龄、不同健康状况的人的保险金和理赔金数额。假定对某一年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8，即明年转为疾病状态的概率为0.2；而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，即明年保持疾病状态的概率为0.3。如果一个人投保时处于健康状态，研究若干年后他分别处于两种状态的概率。西北大学数学系第113页，课件共129页，创作于2023年2月0.20.70.80.312西北大学数学系第114页，课件共129页，创作于2023年2月经计算0123410.80.780.7780.77787/900.20.220.2220.22222/90123400.70.770.7770.77777/900.30.230.2230.22232/9西北大学数学系第115页，课件共129页，创作于2023年2月0.02问题的进一步考虑人寿保险公司考虑到人的死亡情况，把死亡作为第三种状态，用表示。0.180.650.80.251230.1西北大学数学系第116页，课件共129页，创作于2023年2月设表示状态概率，表示状态转移概率，,其值见上图。第年的状态概率可由全概率公式得到：西北大学数学系第117页，课件共129页，创作于2023年2月经计算0123305010.80.7570.72850.26980.1293000.180.1890.18350.06800.0326000.020.0540.08800.66210.83811如果设初始状态概率为则当时，的趋向与上表相同。结论：不管初始状态如何，最终都要转到状态3，这代表了另一种重要的马氏链类型。西北大学数学系第118页，课件共129页，创作于2023年2月钢琴销售的存贮策略问题：钢琴是奢侈品，销售量很小，商店里一般不会有多大的库存量让它积压资金。一家商店根据以往经验，平均每周只能售出一架钢琴，现在经理制订的存贮策略是，每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。试估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。西北大学数学系第119页，课件共129页，创作于2023年2月问题分析：对于钢琴的销售，顾客的到来是相互独立的，在服务系统中通常认为需求量近似服从波松分布，其参数可由均值为每周销售1架得到，由此可以算出不同需求量的概率。周末的库存可能是0，1，2，3架，而周初的库存量只有1，2，3这3种状态，每周不同的需求将导致周初库存状态的变化，于是可用马氏链来描述这个过程。当需