(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元三角

一、选择题1．已知，则（）A． B． C． D．2．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到函数的图像，在的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A． B． C． D．3．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．4．已知函数（）的图象与直线的相邻两个交点距离等于，则的图象的一条对称轴是（）A． B．C． D．5．在中，已知，那么一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状无法确定6．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．7．（）A． B． C． D．8．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）A． B． C． D．10．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则（）A． B． C． D．11．已知函数，且图象的相邻对称轴之间的距离为，则当时，的最小值为（）A． B． C． D．12．设，、，则有（）A． B． C． D．二、填空题13．方程在上的解的个数为______.14．设函数，，若恰有个零点，则下述结论中：①恒成立，则的值有且仅有个；②存在，使得在上单调递增；③方程一定有个实数根，其中真命题的序号为_________.15．若，则___________.16．将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_________．17．若函数在区间和上均递增，则实数的取值范围是______．18．若是第二象限角，则__________．19．已知，则__________.20．将函数图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，则______．三、解答题21．已知，中，角，，所对的边为，，.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求周长的最大值22．已知函数的部分图象如下图所示，最高点的坐标为．（1）求函数的解析式；（2）将的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到的图象，求函数在上的单调递增区间；（3）若存在，对任意，不等式恒成立，求的取值范围．23．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且，.（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，（i）当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；（ii）设，点，且.求关于的函数的解析式，并求其单调增区间.24．在①函数的图象关于点对称；②函数在上的最小值为；③函数的图象关于直线对称.这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.已知函数，若满足条件与.（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象上点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.25．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）求在区间上的取值范围.26．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.（1）若点的横坐标为，求的值.（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，若，求的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先用诱导公式化为，再用二倍角公式计算．【详解】.故选：D2．A解析：A【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到，然后令求解.【详解】将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，，再将所得图像向左平移个单位得到函数，令，解得，所以在的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为，故选：A3．B解析：B【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；【详解】解：将向右平移个单位长度得到，，∴的对称中心为，当时为.故选：B.4．D解析：D【分析】首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求，再求函数的对称轴.【详解】，，由题意可知，，，令，解得：，当时，.故选：D5．A解析：A【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在中，已知，∴，∴，，又，∴，，三角形为等腰三角形．故选：A．6．D解析：D【分析】由，向左平移个单位长度得到，再令求解.【详解】因为函数，由题意得，所以，解得，故选：D7．D解析：D【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】，故选：D8．A解析：A【分析】利用图象可得出，求出函数的最小正周期，可求得的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，求出的值，进而可得出函数的解析式.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，，，又，可得，，，，解得，因此，.故选：A.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.9．B解析：B【分析】由正弦函数的性质可得，结合已知单调区间列不等式组求解集即可.【详解】由函数解析式知：在上单调递增，∴，单调递增，又∵在区间上单调递增，∴，解得，所以当时，有，故选：B【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.10．D解析：D【分析】利用三角函数的最值，取自变量、的特值，然后判断选项即可.【详解】因为函数的周期为，由题意可得：，若，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有，所以不妨取，则，即在取得最小值，所以，此时，又，所以此时不符合题意，取，则，即在取得最小值，所以，此时，当时，满足题意，故选：D．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出，得出，再利用正弦函数取得最小值的点，求得的值，属于中档题．11．D解析：D【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值.【详解】因为，由题意知的最小正周期为，所以，即，所以，当时，，所以，因此，所以函数的最小值为．故选：D.12．B解析：B【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】，，，显然，所以．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．二、填空题13．3【分析】先求出解的一般形式再根据范围可求解的个数【详解】因为故故令故故答案为：3解析：3【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数.【详解】因为，故，故，令，故，故答案为：3.14．①②③【分析】可把中的整体当作来分析结合三角函数的图象与性质即可得解【详解】由于恰有4个零点令由有4个解则解得①即由上述知故的值有且仅有个正确；②当时当时解得又故存在使得在上单调递增正确；③而所以可解析：①②③【分析】可把中的整体当作来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解．【详解】由于恰有4个零点，令，，由有4个解，则，解得，①即，由上述知，故的值有且仅有个，正确；②当时，，当时，，解得，又，故存在，使得在上单调递增，正确；③，而，所以可取，共4个解，正确，综上，真命题的序号是①②③.故答案为：①②③.【点睛】三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】将已知等式两边平方可得结合已知的范围可得从而可求进而利用二倍角公式平方差公式即可求解【详解】解：因为两边平方可得可得所以可得所以故答案为：解析：【分析】将已知等式两边平方，可得，结合已知的范围可得，，从而可求，进而利用二倍角公式，平方差公式即可求解.【详解】解：因为，两边平方，可得，可得，所以，，可得，所以.故答案为：.16．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析：【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为，再根据其图象关于原点中心对称得，进而计算得.【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：，由函数图象关于原点中心对称，故，即所以.故答案为：【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.17．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应解析：【分析】由的范围求出的范围，结合正弦函数性质得不等关系．【详解】时，，时，，由题意，又，解得．故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在中，，则的单调性与的单调性一致，因此对一个区间，我们只要求得的范围，它应在的单调区间内，那么在上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．18．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：【分析】根据条件分别求，，，再代入求两角和的正弦【详解】，且是第二象限角，，，.故答案为：19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3【分析】由平方关系求出，用两角和的正弦公式求得，再得，然后可得．【详解】∵，∴，，∴，∴，．故答案为：3．【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得，这就要确定的范围．以确定余弦值的正负．20．【分析】把的图象反过来变换可得的图象得然后再计算函数值【详解】把的图象上点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变得的图象再向左平移个单位得∴故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的图象变换三角函数的图解析：【分析】把的图象反过来变换可得的图象，得，然后再计算函数值．【详解】把的图象上点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得的图象，再向左平移个单位得，∴．．故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的图象变换，三角函数的图象中注意周期变换与相位变换的顺序不同时，平移单位的变化．向右平移个单位，再把横坐标变为原来的倍得图象的解析式为，而的图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象再向右平移个单位得图象的解析式为．三、解答题21．（1），；（2）.【分析】（1）首先利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再求函数的单调递增区间；（2）先求角，再根据余弦定理和基本不等式求周长的最大值.【详解】（1），∴在上单调递增，∴，（2），得，即，，则，而，由余弦定理知：，有，所以当且仅当时等号成立，∵周长，∴周长最大值为【点睛】思路点睛：已知一边及一边所对角求解三角形面积或周长的最大值时，可利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求所需的两边和或乘积的最值，代入三角形周长或面积公式，求得结果.22．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据图像可得，，进而求出，再将代入，即可求出的解析式；（2）先根据题意得到的图像，再利用换元法即可求得在上的单调递增区间；（3）不等式恒成立等价于，求出的最小值代入得到，把它看成以为自变量的不等式，解不等式即可.【详解】解：（1）由题图可知：，，，即，将代入，即，，又，，；（2）根据题意可得：，令，则，令，即，解得：，在上的单调递增区间为；（3），，，，，由题意可知：，即，即以为自变量的不等式，，解得：或，的取值范围为．【点睛】方法点睛：已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出；(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.23．（1）；（2）（i）；（ii）；增区间为和.【分析】（1）由三角函数定义得，再弦化切代入计算，即可求的值；（2）（i）设PA中点为H，，，则，，由此可求点O的轨迹方程；（ii）确定，即可求其单调增区间.【详解】解：（1）由三角函数定义得，所以.（2）∵四边形是平行四边形，∴与互相平分，（i）设中点为，，，则，，又，所以，代入上式得点Q的轨迹方程为.（ii）因为，所以，又由（i）知，∴，∴∵，∴或，∴的增区间为和.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.24．（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）分别选①②，②③，①③三种情况，根据三角函数的性质，即可求出函数解析式；（2）由（1）的结果根据三角函数的伸缩变换与平移原则，求出，再根据正弦函数的单调性，即可求出单调递减区间.【详解】解：（1）选①②因为为的对称中心，所以又，所以；因为，所以，所以所以，所以；所以选②③因为为的一条对称轴，所