人教版初中数学九年级下册全册教案

人教版数学九年级下册第二十六章反比例函数26.1.1反比例函数3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.(重点)一、情境导入2.冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃,每分钟平均变化的温度T(单变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第3题等于0.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第8题例5写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数.(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m,剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化.反比例函数.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第6题范围是不等于0的一切实数.3.确定反比例函数的解析式：待定系数法.4.建立反比例函数模型.26.1.2反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质2.理解反比例函数图象的性质.(重点，难点)已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.则所需要探究点一：反比例函数的图象解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可.X-1124y-1421方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题在同一坐标系中(水平方向是x轴),函数y=kx+3的图象大致是()解析：A.由函数图象可知k>0与y=kx+3的图象中k>0且过点(0,3)一解析：∵水池的容积为20L,∴xy=20,.,故选B.若正比例函数y=-2x与反比例函数象的一个交点坐标为(-A.图象必经过点(-1,2)图象可知，在第四象限内命题正确.故选B.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第1题例6在反比例函数的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是>0,解得k<1.故选A.的增大而减小；当k<0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第4题1.反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.这句话的必要性，体会数学的严谨性.第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用点)如图所示，对于反比例函数,在其图象上任取一点P,过P点作PQ⊥x二、合作探究面积为2,求该反比例函数的表达式.解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值.变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第1题【类型一】利用反比例函数的性质比较大小解析：∵k<0,故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随xP(2,y₃)在第四象限，∴y3<0.故yi,yz,y₃的大小关系为y₂>yi>y3.故选B.增大而减小.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第8题例3如图，直线1和双曲线交于A、B两点，PABB重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC的面积是Si,△BOD的面积是S2,△POE的面积是S₃,则()点所构成的三角形的面积是,且保持不变.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第2题函数的图象与直线y=-x没有交点，那么k的取值范围是()象必须位于第一、三象限，则1-k>0,即k<1.故选B.可总结为：①当k₁与k₂同号时，正比例函数y=kx与反比例函数有2个交点；②当k(3)P是线段AB上的一点，连接PC,PD,若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标.标代入y=kx+b''方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第7题握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力. x(元)3456y(张)利润.探究点二：比例线段【类型一】判断四条线段是否成比例例②下列各组中的四条线段成比例的是()解析：选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3,所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3,所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5,所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1×4=2×2,所以成比例，符合题意，故选D.方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】利用成比例线段的定义，求线段的长例3m解析：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a:b=c:d,而a=2m,b=4m,c=5m,方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】利用比例尺求距离若一张地图的比例尺是1:150000,在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm,则甲、乙两地的实际距离是()解析：设甲、乙两地的实际距离是xcm,根据题意得1:150000=5:x,x=750000(cm),750000cm=7500m.故选D.方法总结：比例尺=图上距离：实际距离.根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点三：相似多边形 【类型一】利用相似多边形的性质求线段和角例5如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b的长度及角α的值，解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答，解：因为四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，所以∠B'=∠B=63°,∠D′=∠D,,所,所以a=5,b=18.在四边形A'B'C'D'中，∠方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上，变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第8题【类型二】相似多边形的判定例6如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板ABCD如图所示，镶在其外围的木质边框宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗?为什解析：两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形是否相似，关键是看对应边是否成比例.解：不相似.∵矩形ABCD中，AB=1.5m,AD=3m,镶在其外围的木质边框宽75cm∵∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似.方法总结：判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计1.相似图形的概念；3.相似多边形的判定和性质.本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握，不要过高要求学生掌握更多的内容，学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似三角形的学习，当相似三角形的特征掌握之后，再进一步研究相似多边形的性质，学生就比较容易掌握.24求出BC即可求出AB.=24-15=9.方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置，变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC中，DE//BC,AD=2BDAC求AE的长.解析：根据DE//BC得到然后根据比例的性质可计算出AE的长.方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式，变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点三：相似三角形的引理请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比.解析：由平行四边形的性质可得：BC//AD,AB//CD,进而可得△EFB∽△EDA,△EFB△DFC,再进一步求解即可.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD,AB//CD,∴△EFB∽△EDA,△EFB相似比分别为1:4,1:3,3:4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第5题例5如图，已知AB//EF//CD,AD与BC相交于点0.推知EF与CD之间的数量关系，从而求得CD=10.5.6+2=8,即AD的长是8;错误.变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第6题3.相似三角形的引理.研究者.鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新.上课时27.2.1相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.一、情境导入【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?解析：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例.所,所以△ABC∽△EDF.例，而不是两边对应成比例.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第例2如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEE的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由.似?想想看，有几种解决方案.解：①当长为20cm的边长的对应边为50cm时，∵50:20=5:2,且第一个三角形教32cm;②当长为20cm的边长的对应边为60cm时，∵60:20=3:1,且第一个三角形教具cm;③当长为20cm的边长的对应边为80cm时，∵80:20=4:1,且第一个三角形教具的避免漏解.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第7题2.利用相似三角形的判定解决问题.题是否正确.课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题.从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.∴,解得AP=4,∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似，故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第5题 再结合条件证明△FDC∽△FAD,可,则可证得结论.方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式.BC=4,AE=2,求CD的长.解析：因为AC=3,所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=√BC²+AC²=√4²+3²=5.∵BC⊥CD,BE⊥方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第7题BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，解析：由AC与AB的关系，设出AC=3xcm,AB=5xcm,在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长，然后设出动点运动的时间为IS,根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值.中，由BC=8cm,根据勾股定理得25x²=9x²+64,解得x=2或x=-AB方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1.三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2.应用判定定理解决简单的问题.本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态.采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程.在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE=∠C或∠AED=∠B或可以得出变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第3题相似三角形与圆的综合应用结论.证明三角形相似.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】相似三角形与四边形知识的综合如图，在ABCD中，过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上且∠BFE=∠C.若AB=8,BE=6,AD=BF中用勾股定理求出AE的长，进而求出BF的长.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第7题例5如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=5m,AB=10m.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s;同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s.运动时间为ts.(2)当t为何值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值.NH,根据△AMN的面积为6m²,得到关于t的方程求得t值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t的二次函数求最值即可.面积为6m².方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题.2.应用判定定理解决简单的问题.27.2.2相似三角形的性质2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题.(难点)探究点一：相似三角形的性质【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解.的关键.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4、6题例2若△ABC△A'B'C,其面积比为1:2,则△ABC与△A'B'C'的相似比为()C.1:4D.√2:1△BDE的面积分别为18和8,DE=3,求AC边上的高，解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18,求出AC的长，即可求变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第6题 解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN与四变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第7题不重合),Q点在BC上.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第8题27.2.3相似三角形的应用举例1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.(难点)那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!"这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔【类型一】利用影子的长度测量物体的高度例1如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m,此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m,求树AB的长.用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长.△ABC中，∵∠A=30°,∴AB=2BC=12m,即树长AB是12m.例②小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度.如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20m.当她与镜子的距离CE=2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6m,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角=反射角).形的性质解答.度为12.8m.时要灵活运用所学各学科知识.变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第5题明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m,在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度.∴学校旗杆的高度为10m.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第3题 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问："这个纪念碑有多高呢?"请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图),并说明理由.解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可.在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高，解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高.理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED=∠AEB,∠D=∠B=90°,易得△ABE∽△CDE.根据,即可算出AB的高.方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第6题1.利用相似三角形测量物体的高度；2.利用相似三角形测量河的宽度；3.设计方案测量物体高度，通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识，基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.1.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相关观察图中有多边形相似吗?如果有，那么这种相似有什么共同的特征?下列3个图形中是位似图形的有()经过同一个点，对应边互相平行(或共线),所以位似图形是第一个和第三个，故选C.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第2题(1)图①中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；F就得出图形；(2)连接OA、OB、OC,作射线CP,在CP上取点M、N、Q使MN=NQ=CQ,连接OM,作NF//OM交OC于F,再依次作EF//BC,DE//AB,连接DF,就可以求出结论.解：(1)如图①,画图步骤：①连接OA、OB、OC;②分别延长OA至D,OB至E,OC(2)如图②,画图步骤：①连接OA、OB、OC,②作射线CP,在CP上取点M、N、Q使MN=NQ=CQ,③OMNFOMOCEFBCOB方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第7题在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏.如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面.若胶片上图片的规格是2.5cm×2.5cm,放映的银幕规格是2m×2m,光源P与胶片的距离是20cm,则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕求解.布满整个银幕，则位似比,解得x=16.即银幕距离光源P16m时，放映的 质以及相似三角形的性质求,求出EF即可.解得方法总结：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.位似图形的对应线段的比等于相似比.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第6题2.位似图形的性质及画法.成对位似图形的认识.教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一学生学有所收获.第2课时平面直角坐标系中的位似观察如图所示的坐标系.【类型一】利用位似求点的坐标例1如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心，解析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来得到线段CD,∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为(3,3),故选A.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第3题例②在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1,2).(1)以点M为位似中心，位似比为2,画出△ABC的位似图形△A'B'C";得出对应点坐标即可.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第7题的位似比是1:3.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型一】确定图形的面积例4如图，原点O是△ABC和△A'B'C的位似中心，点A(1,0)与点A(-2,0)是对应点，△ABC的面积则△A'B'C的面积是的位似比是1:2,∴△ABC和△A'B'C"的面积比是1:4,又∵△ABC的面积,∴△A'B′C′的面积是6.平方.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第6题例5如图，点A的坐标为(3,4),点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△AiOBi,则点Ai的坐标为(),△AjO₁B₁的面积为(4)以O为位似中心，按比例尺1:2将△AOB放大后得△A₄O₄B₄,若点B₄在x轴的负解析：(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A₁O₁B,则点A₁的坐标为(2,4),△A₁O₁B₁的面积;(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A₂O₂B₂,则点A₂的坐标为(一3,-4);(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A₃O₃B₃,则点A₃的坐标为(3,-4);(4)以O为位似中心，按比例尺1:2将△AOB放大后得△A₄O₄B₄,若点B₄在x轴的负半轴上，则点A₄的坐标为(-6,-8),△A₄O₄B₄的面积.故答案为(1)2,4;8;(2)-3,-4;关于原点成位似的两个图形，若位似比是k,则原图形上的点(的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,—ky).兴趣，提高课堂学习效率.28.1锐角三角函数第1课时正弦函数2.能运用正弦函数解决实际问题.(难点)坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管AC11,故选C.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第2题变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第3题的关键.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第6题 已知等腰三角形的一条腰长为25cm,底边长为30cm,求底角的正弦值.解析：先作底边上的高AD,根据等腰三角形三线合一的性质由勾股定理求出AD,然后根据三角函数的定义求解.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.∵AB=AC=25cm,BC=30cm,AD通过作高，构造直角三角形解答.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题解析：首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据直角三角形的性质可得DE=EC,根据等腰三角形性质可得∠EDC=∠C,进而si解答.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第8题ABD的值.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第7题2.利用正弦解决问题.合作交流的能力起着积极作用.28.1锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数一、情境导入教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的?为什么可以这样定义?=90°,当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了，现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢?为什么?方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第2题例2如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则解析：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°,∴故选D.方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第5题例3随着锐角α的增大，cosa的值()A.增大B.减小解析：当角度在0°~90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.=sin20°,正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°>cos70°=sin20°,故选D.方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1,0≤cosA≤1,tanA≥0.例5如图所示，△ABC内接于◎O,AB是⊙O的直径，点D在◎O上，过交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.由AB=5,AC=4,可根据勾股定理得到BC=3,易证△ACE∽△ABC,可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值.方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等.利用圆的有关性质，寻找变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第5题例6如图，△ABC中，AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,sinC的值.然后利用正弦的定义求解.合勾股定理是解答此类问题的关键.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第9题在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目.通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.28.1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数一、情境导入问题1:一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么问题2:两块三角尺中有几个不同的锐角?各是多少度?设每个三角尺较短的边长为1,分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.解析：将特殊角的三角函数值代入求解.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题例2,则锐角α的大致范围是()cos45°,∴锐角α的范围是45°<a<60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性.∴a=20°,故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第9题三角函数的定义求出BC的长即可.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第2题和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第8题90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=√3,∠ABC=30°,∴变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第2题1.特殊角的三角函数值：1课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前行了整体的复习，效果很好，在讲解特殊角的三角函数值时讲分的教学很成功，学生理解的很好.28.1锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角得到它的三角函数值呢?我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值.【类型一】已知角度，用计算器求函数值例1用计算器求下列各式的值(精确到0.0001):(3)cos25°18′;(4)sin1costan似数.(4)sin18°+cos55°-tan5变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值，用计算器求锐角的度数例2已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A,∠B的度数(结果精确到0.1°):键的顺序.方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序.【类型三】利用计算器验证结论例3(1)通过计算(可用计算器),比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：猜想：已知0°<α<45°,则sin2a2sinacosa.论.论,来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第6题解析：20sin87°≈20×0.9986=19.974,tan87°≈19.081,∵19.974>19.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第8题=37°,因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.(2)在Rt△BCH中，由求出BC的长，由AC+BC-AB即可得出结论.29.3=4.7km.方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第4题3.用计算器求三角函数值解决实际问题.备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折.舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.2.根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素.(难点)世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，设塔顶中心点为B,塔身中心线90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求∠A的度数.在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗?【类型一】利用解直角三角形求边或角方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解，变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题∠EDF=60°,利用解直角三角形解答即可.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第4题DC=6.求△ABC的面积.解析：首先利用正弦的定义设BC=3k,AB=7k,利用BC=CD=3k=6,求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第7题已知等腰三角形的底边长为√2,周长为2+√2,求底角的度数.底角的度数.AD⊥BC于点D,则即等腰三角形的底角为45°,方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第2题连接AC交OB于点P.AOP和Rt△ACE中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答.(2)延长AO交◎O于点CERtAOPOPAP中,∴,∴,解得x=3,∴AO=2√2x=6√2,即◎O的半径为变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第9题2.解直角三角形的综合.本节课的设计，力求体现新课程理念.给学生自主探索的时间和激发学生学习数学的积极性和主动性.第1课时解直角三角形的简单应用为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具.图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm,且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一CAB75°.图② 根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，≈4.0;sin68.2°≈0.93,cos68.2°tan解析：设AD=xm,则AC=(x+82)mRtABCAB82)m,在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x,依此得到关于x的方程算出所要求的物体的高度或长度.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第3题 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm,灯罩BC长为20cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°,使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成解析：首先过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G,进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案.解：过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G,∴四边形BFDG是矩形，∴+2=12+15√3≈38.0(cm).答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第6题例3小锋家有一块四边形形状的空地(如图③,四边形ABCD),其中AD//BC,BC=图①图①解析：(1)方案1,如图①所示，在Rt△AGE中，依据正切函数求得AG的长，进而求得DG的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2,如图②所示，在Rt△ALH中，依据正切函数求得AL的长，进而求得DL的长，然后与汽车的长度比较即可；AB放，如图③,在Rt△AMN中，依据正弦函数求得AM的长，进而求得DM的长，在Rt△PDM中，依据余弦函数求得PM的长，然后与汽车的长度比较即可.解：(1)如图①,在Rt△AGE中，∵∠A=53°,∴=AD-AG=5.5-3.68=1.82m<1.9m,故此方案不合理；如图②,在Rt△ALH中，∵∠A=(2)如图③,过DA上一点M作MN⊥AB于点N,过CD上一点P作PQ⊥AB于点Q,5.1m>4.9m,故此方案合理.角形的问题，利用三角函数解决问题.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第7题2.其他应用类问题.见，提高学生学习数学的兴趣.能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.铅铅垂线第2课时利用仰俯角解直角三角形2.初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力.(难点)一、情境导入【类型一】利用仰角求高度例1星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度.如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°,小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°,他们又测出A、B两点的距离为41.5m,假设他们的眼睛离头顶都是解析：设塔高为xm,利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利,求出x的值即可.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第7题如图，在两建筑物之间有一旗杆EG,高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF,继而可求出CD的长度.答：矮建筑物的高为20m.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第6题 如图，为了测量河的宽度AB,测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°,测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上),则河解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB=45°,求出BC=CD=21m,最后根据AB=AC-BC,代值计算即可.-21≈15.3(m).则河的宽度AB约是15.3m.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第3题 到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A解析：过点C作AB的垂线CE,再由BD=12m可知BE=CE=12m,垂足为E,根据题意可得出四边形CDBE是正方形，答：建筑物AB的高为19m.构造出直角三角形是解答此题的关键.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第7题4.仰角和俯角的综合.备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中第3课时利用方位角、坡度解直角三角形坡度通常写成1:m的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,有i=.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡，我们这节课就解决这方面的问题.【类型一】利用方位角求垂直距离 线段AB),经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长，从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区.解：过点P作PC⊥AB,C是垂足.则∠APC=30°,∠BPC=45°,AC=PC-tan30°,解得PC≈126.8km>100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区，方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用方位角求水平距离例②“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐，如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连.在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m,在B处测得C村在北偏东30°方向.为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度.(结果保留整数)中，据题意有∠CBD=60°,求得BD.又由AD-BD=500,从而解得CD.度即为公路长度.在Rt△ACD中，据题意CAD=√3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD=60°,∵,∴CD.又∵AD-BD=500,,解得CD≈433(m).答：所修公路长度约为433m.有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角，变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题例3如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD,坝顶宽BC=3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i=1:1,迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度.D解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD,可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i=1:1,迎水坡CD的坡角∠ADC为30°,根据坡度的定义，即可求解.=5+2√3(m).变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第6题m,斜坡的高度为AH(AH⊥BC),为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB=14°).tan14°≈0.25).(2)利用,求出BC的长即可.=90°,故,又∵∠ACB=14°,∴,即解得BC=12m.答：点B与点C之间的距离是12m.切值是解题的关键.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第6题3.应用方位角、坡度、坡比解决实际问题.地学习.1.理解平行投影和中心投影的特征；(重点)2.在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.(难点)一、情境导入北京故宫中的日晷闻名世界，是我国光辉灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器，它由"晷面"与“晷针"组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化，晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻，本节课学习有关投影的知识.探究点一：平行投影 【类型一】判断影子的形状例下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是()解析：选项A.影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；选项B.影子的方向不相同，错误；选项C.影子的方向不相同，错误；选项D.不同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误，故选A.方法总结：平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第2题例2在某一时刻，操场上有三根测杆，如图所示，其中测杆AB的影子为BC,你能画出测杆MN的影子NP吗?若测杆XY的影子的顶端恰好落在点B处，且XY=MN,你能找出XY所在的位置吗?请将上述问题画在下面的示意图中，并简述画法.面平行时的投影是全等的可找到XY的位置.解：连接AC,过点M作MP//AC交NC于点P,则NP为MN的影子，过点B作BX//AC,且BX=MP,过X作XY⊥NC交NC于点Y,则XY即为所求.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题例3李航想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼A、E、C在同一直线上).已知李航的身高EF是1.6m,请你帮李航求出楼高AB.解：过点D作DN⊥AB,垂足为EFCDMEACDN=20+1.2=21.2m.变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第6题例4下面属于中心投影的是()A.太阳光下的树影B.皮影戏C.月光下房屋的影子D.海上日出得到的投影为中心投影，故选B.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第6题例5晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在A.逐渐变短B.先变短后变长C.先变长后变短D.逐渐变长短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长，故选B.方法总结：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，物体与投影面平行时的变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第5题三人的影子.请根据要求，进行作图(不写画法，但要保留作图痕迹).即可得出小明的身高.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第8题例7如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1m,继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2m,已知王华的身高是1.5m,求路灯A的高度AB.顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答.=2m,设AB=x,BC=y,∴,解得y=3,经检验y=3是原方程的根.∵,即,解得x=6m.即路灯A的高度AB=6m.方法总结：解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度，变式训练：见《练习册》本课时练习“课后巩固提升”第7题1.平行投影的定义及应用；2.中心投影的定义及应用.本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷等学生熟悉的生活实际出发，引入物体投影的相关概念，通过观察图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的区别与联系，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值.第2课时正投影2.归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影.(难点)观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别?图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别?图①图②图③影图是()例②木棒长为1.2m,则它的正投影的长一定()A.大于1.2mB.小于1.2mC.等于1.2mD.小于或等于1.2m变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第6题【类型三】画投影面上的正投影例3画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影.下方的正投影也是长方形，第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第4题一个长8cm的木棒AB,已知AB平行于投影面a,投影线垂直于a.(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°,求旋转后木棒的影长A₂B₂(如图②).图②解：如图①,A₁B₁=AB=8cm;如图③,作AE⊥BB₂于E,则四边形AA₂B₂E是矩形，∴A₂B₂=AE,△ABE是直角三角方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线面时的正投影小于原线段，可以用解直角三角形求得投影的长度.变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第8题例5在长、宽都为4m,高为3m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩(如图所示).已知灯罩深AN=8cm,灯泡离地面2m,为了使光线恰解析：根据题意画出图形，则AN=0.08m,AM=2m,由房间的地面为边长为4m的正方形可计算出DE的长，再根据△ABC∽△ADE利用相似三角形对应边成比例解答.方法总结：解决问题的关键是画出图形，根据图形相似的性质和判定解题.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第7题2.正投影的综合应用.本节课的学案设计，力求具体、生动、直观.因此，学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主.比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征，归纳出物体正投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的念时，借助太阳光线进行投影实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感，能激发学生学习兴趣.第1课时三视图1.会从投影的角度理解视图的概念；(重点)2.会画简单几何体的三视图.(难点)一、情境导入(2)画出直三棱柱在水平投影面的正投影，得到的投影是什么图形?它与直三棱柱底面这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗?如不能，那么还需哪些投影面?【类型一】判断俯视图错误；选项C.圆柱的俯视图是圆，错误；选项D.是三角形，正确；选项D.主视图是长方形，中间还有一条线，错误；故选C.体的视图，即为主视图.)圆，不合题意；选项D.圆锥的左视图与主视图都是等腰三角形，不合题意；故选B.变式训练：见《练习册》本课时练习"课堂达标训练"第4题用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式ADAD 故选D.解析：从正面看，从左往右4列正方形的个数依次为1,3,1,1;从左面看，从左往右3列正方形的个数依次为3,1,1;从上面看，从左往右4列正方形的个数依次为1,3,1方法总结：画三视图的步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”;③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”,要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线.变式训练：见《练习册》本课时练习"课后巩固提升"第7题1.主视图、俯视图和左视图的概念；2.三视图的画法.本节课力求突出具体、生动、直观，因此，学生多以亲自操作、观察实物模型和图片等活动为主.使用多媒体教学，使学生更直观的感受知识，激发学习兴趣，在本次教学过程中，丰富了学生观察、操作、猜想、想象、交流等活动经验，培养了学生的观察能力和想象能力，提升了他们的空间观念.29.2三视图第2课时由三视图确定几何体2.体会立体图形的平面视图效果，并会根据三视图还原立体图形.(难点)并选择一位学生上台演示并在黑板上画出俯视图(如右图),教师在正方体上标上数字并说明数字含义.问：能不能根据上面的俯视图画出这个几何体的主视图和左视图?看哪些同学速度快.C.三棱锥D.三棱柱变式训练：见《练习册》本课时练习“课堂达标训练”第1题 主视图左视图俯视图长方体的顶面的两边相切且与长方体高度相同，只有C满足这两点，故选C.项D为此几何体的主视图.视图和侧视图. 如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视A.5个或6个B.6个或7个C.7个或8个D.8个或9个解析：从俯视图可得最底层有4个小正方体，由主视图可得上面一层是2个或3小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数是6个或7个，故选B. 由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小解析：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么组成该几何体的小立方体有3+1=4(个),故选B.形状，综合分析，合